Главная » Просмотр файлов » Вопросы к зачету часть2

Вопросы к зачету часть2 (1085483), страница 4

Файл №1085483 Вопросы к зачету часть2 (Вопросы к зачету (ответы)) 4 страницаВопросы к зачету часть2 (1085483) страница 42018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

При этом

Доказательство. Докажем сначала, что указанный ряд пред­ставляет функцию f(x). Имеем

поскольку в последней сумме будет только одно ненулевое слагаемое при y=x.

Покажем теперь, что коэффициенты Caf однозначно опреде­ляются по функции f(x). Предположим, что существует другое разложение

Тогда

Домножив обе части этого равенства на (-1)(b,x) для bÎF2n и просуммировав по xÎF2n полученные равенства, имеем

Отсюда . Так как b - произвольный вектор из Fcn, полу­чаем требуемое утверждение.

Представление булевых и псевдобулевых функций через базисы линейных пространств.

33. Понятие псевдобулевой функции. Базис функций {fa: fa(b)=a,b, an.

ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

34. Базис функций - конъюнкций + константа 1.

35. Доказательство утверждений об однозначном представлении псевдобулевой функии в виде аналога СДНФ.

36. Доказательство утверждений об однозначном представлении псевдобулевой функии в виде аналога многочлена Жегалкина.

37. Характеры группы n.

38. Доказательство теоремы об ортогональности характеров.

39. Ряд Фурье псевдобулевой функции.

40. Выражение коэффициентов Фурье через веса функций.

§ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ И ПСЕВДОБУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ БАЗИСЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Введем одно обобщение понятия булевой функции. Для этого зафиксируем произвольное поле Р и будем рассматривать 0 и 1 из Ω как нуль и единицу поля Р.

Определение 1. Псевдобулевой функцией от n переменных, или n-местной псевдобулевой функцией, над полем Р при n>1 называется { любое отображение в Р. Нуль-местными псевдобулевыми функциями над Р называются все элементы поля Р.

Множество всех псевдобулевых функций от n переменных над полем Р обозначим через Р(n).В частности, при P=GF (2) класс Р(n) совпадает с классом булевых функций . В других случаях эти классы различны, и если условиться псевдобулеву функцию со значениями из считать булевой, то будем иметь:

.

Множество функций Р(n) относительно естественным образом определяемых операций сложения функций и умножения функций на элементы из Р образует линейное пространство над полем Р.

Его базисом, очевидно, может служить система функций

,

где - символ Кронекера, т. е.

Следовательно, размерность пространства равна , и любую его функцию можно однозначно представить в виде линейной комбинации над полем .

(1)

При этом будет булевой функцией в том и только том случае, когда коэффициенты принимают лишь значения 0, 1. Заметим, что в случае (2) разложение (1) функции совпадает с разложением, полученным заменой в ее совершенной дизъюнктивной нормальной форме операции на .

Из теоремы об однозначном представлении булевых функций многочленами Жегалкина следует, что при (2) множество функций

вместе с 1 также образует базис пространства , и представление функции многочленом Жегалкина есть разложение функции по указанному базису.

Представление булевых функций через базисы пространства сопряжено со многими трудностями. Во-первых, нетривиальным является вопрос об описании базисов пространства . Если же система. функций является базисом, то в общем случае сложным является вопрос о нахождении коэффициентов в разложении булевой функции по указанному базису.

В решении вопроса об описании базисов пространства иногда может оказаться полезным переход от пространства к пространству векторов-столбцов длины над полем .

Сопоставим с каждой функцией вектор-столбец значений этой функции . В итоге получим отображение v пространства функций

в пространство векторов-столбцов длины над полем . Нетрудно видеть, что v есть изоморфизм пространств, а потому система функций

является базисом пространства тогда и только тогда, когда матрица

является невырожденной.

В общем случае (в отличие от приведенных выше примеров) базис пространства может содержать и такие псевдобулевы функции, которые не являются булевыми. В качестве такого примера рассмотрим один из хорошо известных базисов псевдобулевых функций над полем комплексных чисел С, связанный с характерами абелевой группы относительно операции . Группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп порядка 2:

, (2)

где - группа, порожденная вектором

.

Найдем все гомоморфизмы группы в мультипликативную группу С* поля комплексных чисел С. Из разложения (2) видно, что любой гомоморфизм

однозначно определяется своими значениями на векторах . Кроме того, поскольку — гомоморфизм, то

.

А так как - нулевой вектор, то . Следовательно,

. Отсюда следует, что существует ровно различных гомоморфизмов группы в С* и каждый гомоморфизм определяется системой равенств

или набором . Гомоморфизм, определяемый указанными равенствами, обозначим через . Очевидно, что

для любого набора . Легко видеть, что в равенстве (3), не нарушая его, сумму можно заменить суммой , понимая под ее значением целое число 0 или 1 (как наименьший неотрицательный вычет по модулю 2). Эта сумма называется иногда булевым скалярным произведением векторов и из и обозначается в виде . По аналогии с этим линейную булеву функцию

иногда также обозначают в виде , где

, .

Используя эти обозначения, определенную выше псевдобулеву функцию можно записать в виде

(4)

Каждая из функций называется характером группы . Ниже будет доказано, что множество характеров

(5)

является базисом пространства C(n). Предварительно введем обозначение для любых функций из С(n), положив

(6)

докажем соотношение ортогональности для характеров:

(7)

Из равенств (4), (6) имеем:

Если , то и . Если же , то функция равновероятна и потому .

Из равенства (7) легко следует линейная независимость системы функций (5). Действительно, если выполняется равенство

,

то

для любого и из (7) следует, что .

Итак, система характеров образует базис пространства С(n) и потому каждая булева функция представляется в виде

(8)

Такое представление функции называют ее разложением в ряд Фурье. При этом числа называются коэффициентами Фурье для функции .

Выразим коэффициенты через .

Из равенства (8) следует, что

Отсюда имеем:

,

и потому

Найдем значение . По определению

,

где

;

;

Из определений множеств Ω', Ω" имеем:

Отсюда

Если , то и потому

Если же , то - ненулевая линейная функция от и потому вес ее равен . Следовательно, в этом случае

.

Пример. Найти разложение в ряд Фурье функции

.

Составим таблицу значений коэффициентов :

Таблица11

α

0

0 0 0

0

4

1

0 0 1

1

2

2

0 1 0

0

4

0

3

0 1 1

1

2

4

1 0 0

0

4

0

5

1 0 1

1

2

6

1 1 0

1

4

0

7

1 1 1

0

6

Из таблицы II имеем разложение

.

Статистическая структура двоичной функции.

41. Понятие статистического аналога двоичной функции.

Будем считать, что значения переменных двоичной функции f( ,.., ) являются независимыми случайными величинами с распределением

.

Тогда для любого двоичного набора

и

, где .

Двоичную функцию называют статистическим аналогом функции f( ,.., ) , если . Заметим, что если для некоторой функции g(x) , то стaтистическим аналогом функции f(x) будет функция .

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,77 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее