Главная » Просмотр файлов » Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс

Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс (1083731), страница 2

Файл №1083731 Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс (Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс) 2 страницаАлексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. ВМК, 2004. Электронный ресурс (1083731) страница 22019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Используя последний факт можно, например, получить оценку числа функций от 10 переменных. Всего таких функций будет . Таким образом, при росте числа переменных число функций возрастает очень быстро, и их табличное задание становится неудобным.

2°. Равенство функций. В обычной алгебре справедливо равенство x + y y = x, несмотря на то, что в левой части записана функция от двух переменных, а в правой — от одной. Таким образом, функции от разного числа переменных могут быть одинаковыми, что даёт повод ввести понятие существенных и фиктивных переменных.

Определение 2. Переменная xi называется существенной переменной функции алгебры логики f (x1, …, xn), если существуют такие
α1, …, αi – 1, αi + 1, …, αnE2, что

f (α1, …,αi – 1, 0, αi + 1,…, αn)  f (α1, …, αi – 1, 1, αi + 1, …, αn).

Такие наборы, отличающиеся лишь одной переменной xi, называются соседними по xi. В противном случае переменная xi называется фиктивной.

Если xi — фиктивная переменная функции f, то функция f однозначно определяется некоторой функцией g (x1, …, xi – 1, xi + 1, …, xn). Таблицу любой функции можно расширить введением любого числа фиктивных переменных.

Определение 3. Две функции алгебры логики называются равными, если одну из них можно получить из другой путём добавления и изъятия любого числа фиктивных переменных.

3°. Формулы.

Определение 4. Пусть имеется некоторое множество функций

A = {f1 (…), f2 (…), …, fn (…), …}.

Введем понятие формулы над A:

  1. Любая функция из A называется формулой над A.

  2. Если f (x1, …, xn)  A и для любого i Hi — либо переменная, либо формула над A, то выражение вида f (H1, H2, …, Hn) является также формулой над A.

  3. Только те объекты называются формулами над A, которые можно построить с помощью пунктов 1 и 2 данного определения.

Замечание. Среди H1, H2, …, Hn вполне могут быть одинаковые.

4°. Основные эквивалентности.

  1. Коммутативность:
    x y = y x ;
    xy = yx ;
    x y = y x ;
    x ~ y = y ~ x .

  2. Ассоциативность:
    (x y)  z = x  (y z) = x y z ;
    (xy) z=x (yz)=xyz ;
    (x y)  z = x  (y z) = x y z.

  3. Дистрибутивность:
    (x y) z = (xz)  (yz) ;
    (x y) z = (xz)  (yz) ;
    (xy)  z = (x z)·(y z).

  4. ,
    правила де Моргана:
    ,
    .

Законы поглощения.
x x = x
x · x = x


x  1 = 1
x · 1 = x
x  0 = x
x · 0 = 0.





Приоритет конъюнкции выше, чем приоритеты дизъюнкции и суммы по модулю 2. Благодаря этому, часто удаётся опустить ряд ненужных скобок. Имеют место следующие очевидные утверждения:

x1 · x2 · … · xn = 1  i xi = 1,

x1 x2  …  xn = 1  i: xi = 1.

Определение 5. x в степени сигма называется функция

;

x = 1  x = .

§2. Теорема о разложении функции алгебры логики по
переменным. Теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме

Теорема 1 (о разложении функции алгебры логики по переменным). Для любой функции алгебры логики f (x1, …, xn) и для любого k (1  k n) справедливо следующее равенство:

.

Доказательство. Для любого набора вычислим значение правой части на этом наборе. Как только хотя бы один из сомножителей будет равен нулю, вся конъюнкция обратится в нуль. Таким образом, из ненулевых конъюнкций останется лишь одна — та, в которой αi = σi для i = 1, …, k, и

а в силу того, что xx = 1, указанное выражение равно f (α1, α2, …, αn). Теорема доказана.

Следствие 1. Разложение произвольной функции алгебры логики по одной переменной имеет вид

.

Следствие 2 (теорема о совершенной дизъюнктивной нормальной форме). Для любой функции алгебры логики f (x1, x2, …, xn), отличной от тождественного нуля, справедливо следующее представление:

.

Доказательство. Пусть функция f (x1, x2,…, xn) отлична от тождественного нуля. Напишем разложение этой функции по k = n переменным:

,

что можно переписать в эквивалентном виде

Учитывая, что в первой дизъюнкции все значения функции равны единице, а вторая обнуляется из-за того, что все значения функции в ней равны нулю, получаем утверждение следствия. Следствие доказано.

Теорема 2 (о совершенной конъюнктивной нормальной форме). Для любой функции алгебры логики f (x1, x2, …, xn), отличной от тождественной единицы, справедливо представление

§3. Полные системы. Примеры полных систем
(с доказательством полноты)

Определение. Множество функций алгебры логики A называется полной системой P2), если любую функцию алгебры логики можно выразить формулой над A.

Теорема 3. Система A = {, &, ¬} является полной.

Доказательство. Если функция алгебры логики f отлична от тождественного нуля, то f выражается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, в которую входят лишь дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Если же f  0, то . Теорема доказана.

Лемма 2. Если система A — полная, и любая функция системы A может быть выражена формулой над некоторой другой системой B, то B — также полная система.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию алгебры логики f (x1, …, xn) и две системы функций: A = {g1, g2, …} и B = {h1, h2, …}. В силу того, что система A полна, функция f может быть выражена в виде формулы над ней: , где , то есть функция f представляется в виде , иначе говоря, может быть представлена формулой над B. Перебирая таким образом все функции алгебры логики, получим, что система B также полна. Лемма доказана.

Теорема 4. Следующие системы являются полными в P2:

1) ;

3) {x | y};

2) ;

4 ){x · y, x y , 1}.

Доказательство. 1) Известно (теорема 3), что система полна. Покажем, что полна система . Действительно, из закона де Моргана получаем, что , то есть конъюнкция выражается через дизъюнкцию и отрицание, и все функции системы A выражаются формулами над системой B. Согласно лемме 2 система B полна.

2) Аналогично пункту 1: и из леммы 2 следует истинность утверждения пункта 2.

3) , и, согласно лемме 2, система полна.

4) и, согласно лемме 2, система полна.

Теорема доказана.

§4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом

Определение 1. Монотонной конъюнкцией от переменных x1,…,xn называется любое выражение вида , где s  1, 1  ij n j = 1, 2, …, s, все переменные различны (ij ik, если j k); либо просто 1.

Определение 2. Полиномом Жегалкина над x1, …, xn называется выражение вида

K1 K2 K3  …  Kl,

где l  1 и все Kj суть различные монотонные конъюнкции над x1, …, xn; либо константа 0.

Теорема 5 (теорема Жегалкина). Любую функцию алгебры логики f (x1, …, xn) можно единственным образом выразить полиномом Жегалкина над x1, …, xn.

Доказательство. 1) Докажем существование полинома. Система {x · y, x y, 1} полна, следовательно, любую функцию алгебры логики f (x1, …, xn) можно реализовать формулой над {x · y, x y, 1}.

  1. Пользуясь дистрибутивностью, раскрываем все скобки в этой реализации и получаем, что f (x1, …, xn) = K1  K2  …  Kl, где любая Ki — конъюнкция переменных и единиц.

  2. Преобразуем все полученные конъюнкции в монотонные, пользуясь при этом коммутативностью и соотношениями
    x · x = x, 1 · 1 = 1 и A · 1 = A. Очевидно, все конъюнкции станут монотонными.

  3. Преобразуем полученную сумму в полином Жегалкина, пользуясь при этом соотношениями A A = A и A  0 = A. В результате получим либо

либо константу 0.

Существование доказано.

2) Докажем единственность представления. Подсчитаем число различных всевозможных монотонных конъюнкций от n переменных. Для этого составим таблицу вида

,

где каждой переменной соответствует единица, если она присутствует в монотонной конъюнкции и ноль в противном случае. При этом константе единице поставим в соответствие нулевой набор. Очевидно, что построенное отображение взаимно однозначно. Следовательно, всего различных монотонных конъюнкций от n переменных — 2n. Построим аналогичное взаимно однозначное отображение между всевозможными суммами монотонных конъюнкций и векторами длины 2n — числа конъюнкций. Для этого составим таблицу вида

,

где под соответствующей монотонной конъюнкцией стоит единица, если она входит в данную сумму, и ноль, если не входит. При этом константе ноль ставится в соответствие нулевой набор. Очевидно, такое отображение взаимно однозначно. Всего таких различных сумм будет столько, сколько существует различных булевых векторов длины 2n, то есть — . Мы получили, что число различных полиномов Жегалкина совпадает с числом функций алгебры логики. Поскольку каждой функции соответствует хотя бы один полином, а каждому полиному соответствует ровно одна функция, то соответствие между ними взаимно однозначно, так как множества полиномов Жегалкина над n переменными и функций алгебры логики от n переменных равномощны. Единственность доказана.

§5. Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов
T0, T1 и L.

1°. Понятие замкнутого класса.

Определение 1. Пусть A P2. Тогда замыканием A называется множество всех функций алгебры логики, которые можно выразить формулами над A.

Обозначение: [A].

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,93 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее