Типовой расчет (математический анализ), 30 вариант (1083072)
Текст из файла
Вариант 30 Задание 1 Исследовать на сходимость числовые ряды. Ьи.2 а) з~1, (е»»»з 1) соз(---) 4 - < +з» Р~ +з» Решение »Я+2 ~ч х" а) При и ог: г — О, поэтому применим формулу Маклорена е' -1 = з —, и'+ 3 „., и1 нполУчим а„=е""з -1= —,+а —, =Π— г и'+3 ~ и' ) (и ) Так что, имея в виду второй признак сравнения, достаточно исследовать на » 3/и» сходимость ряд ~~» —, = ~~! — „,, а этот ряд сходится как обобшбнный гармонический. »-»»з»-» зз следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения »'»»г заключаем, что исходный ряд ~~» (е» " — 1) сходится, »» б) Поскольку ~,'~ соз( — )~=~соя-) ~соз — соз — и|с —, а 8)~ З 8 8 последовательность ((и+3)1п"'(и+3)), начиная с достаточно большого и, монотонно стремится к о, то.согласно признаку Дирихле, данный ряд сходится Задание 2 Исследовать знакочередующийся ряд ~~Г( — 1)""а„на абсолютную и условную сходимость, 1 (2п-1)зз'и Решение 1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость: 1 ..
1 Х(-1)»и =Х ; 1ппа„=1пп =О (2п-1)з(и»» (2п-1) /и ' " ' (2и — 1) /и Используем 2й признак сравнения: 1 1 1 и„= П з»г ~1 з»г (2и 1)»Я ипг и 1 1пп — »=1пп =1пп =1пп =1пп У (2и 1) Я изи пзи * "(2п-1)з/и " зи(2 1 ' 1 2 и (2- -) (2--) зтг и и 1 Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, так как сходится ряд ~~> — „,, как „„, ияо гармонический ряд Задание 3 Найти интервал сходимости степенного ряда. концах интервала сходимости.
~~! (~и+1-Щ)(х — 5)" Исследовать поведение ряда иа Решение Найдбм интервал сходнмости рада 1 ~и( ~1+ — — и ') Тогда !х — 5!<! или -1<х-5<1, 4 <х<6. Ряд сходится на интервале (4;6) Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости: Ъ Прн х=4, тогда ",1' ( Я+!-4и)(-1)", так как йп ~Я+1- чи = !йп ~и( 1+ — — и ') = оо то Х-~Ю с~ю и не выполняется необходимое условие сходимостн ряда н данный ряд расходится.
При х=б, тогда ~~о (4и+1 — ~/и), аналогично предыдущему, ряд расходится. о1 Имеем интервал сходимости ряда: (4;6). Решение — — — -1 — ---1 — — — 2 (1+г) =1--к+ 2 г+ 2 ги+...+ — 1 ... — — -и+1 -- — — ... — -и и'. 2 8 16 и! Тогда Задание 4 Разложить функцию Дх) в ряд Тейлора по степеням (х-х,). Указать область сходимости полученного ряда.
Найти ~ ' (х,), если 1с =100+ ЛФ варианта. о ~/1+г' хо б) хо =-2 (х-2)(х+3) ой ' 1, 3о 5 гг 2 2 2 и о ги г +... г,Я~~4 2 8 16 и! 2-'2 = 1)ой — — ~г"ой+- ~г'А~- ~ — Ро8+.„+ ~ 2, 8,,16 и! — — — -и 4„,! 10 о 241о 20Яо ~- )~-Н-)" =х- — + — — — +... + 10 24 208 и1 4и+1 — — — - — -и 4л.г — 1<х<1 уаго1(0) =0 х' б) Рааложим данную функцию в сумму элементарных дробей ( -2)(х+3) г 6 А В -1+ — 1+ +— (х-2)(х+3) (х-2)(х+3) (х-2) (х+3) 6-х= А(х+3)+В(х-2) 4 9 х 4 9 А = — В = — — Тогда =1+ — —— 5 5 (х-2)(х+3) 5(х — 2) 5(х+3) — (1- — ) '=-- 1- — + +„,+ 9 9 1 9( — ~1 — (х+2)+(х+2) „,+ "" (х+2) г -1( 2)„( — и) 5(х+3) 5 ((х+2)+1) 5~ и! Имеем х' 1 "(х+2) 9" ..
1 "( «11 =1 — — 2, +-,'Г(-1) (х+2) =1+ — 2 ~9(-1) — — „фх+2) (х-2)(х+3) 5, 4" 5 „., 5 „.,1, 4",) -1<х<1 ~(ио1(-2) 9 1 1 14 1 рзо1 114 1 =1+-- — = — — — или ~ ( — 2) =~ — — — 130! 130! 5 5 4ио 5 5 "4цо 1, 5 5*4ио / Задание 5 Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную функционального ряда на указанном промежутке.
Ю 2 ~ч~, (п(1+ —,) 1-2,2] и1п' и сходимость Решение Исходя из неравенств х' хз 22 0 < 1п(1+ —,) « —, —, и1п' и и1п' и и1п' и Р и сходимости числового ряда ~ —,, мажорантного для данного „., и1пзи функционального, приходим к выводу о равномерной сходимости предложенного ряда. 4 Сходимость ряда ~~1 —, докажем с помощью интегрального признака „.,и1п и )пх=г,г, =!и сй — =И!,г =ос х г~(г 4~ 4 = 4 )~ — =- — = — - сходится 2 1п2 " 4ат ,х1п х Решение а) Доопределим функцию у = Дх) на промежутке (-1,0) четным образом и продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. г (х) = г"(-х) - чдтная функция, Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.
! а,=2)е ~й=-2е '~ = — 2е +2е =,следовательно — '=— г,,»,, 2(е-1) а, (е-1) е 2 е 1 ач а„=21е 'созиихгй,таккак 1е созЬхах= — (Ьз(пЬх+асозЬх)+с,топрна=1и Ь = хи, получим 2е " 2 (1 и„— з з(ггиз1пггих-созиих) = — -(иижпхи-совки)-хижпО+созО 1+и и 1+ и'и' П 2 2)( ( ) ) Задание б а) Разложить функцию у = г'(х), заданную па полупериоде (0,1), в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм.
Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью покрученного равенства? б) Разложить функцию у = г"(х), заданную на полупериоде (0,1), в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда. в) Разложить функцию у = у (х) в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод ( — 1,0) функцией, равной О. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
у=с" (0„1) Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма ей ряда Фурье равна данной функции при всех х и (, 1) 2. (е-(-1)") Дх) = — +- ~Г,, сов ми. е е „., 1+л'л' - ( -(- )') - ( -(- )') , Прн х=Оимеем Я(х)=е'=1 и 1= — + — ~~~ г г созО о ~Г е е 5 1+лгал г г Е2 ас 1 га У~(х)41х —, + ~ (аг+Ь~).
Равенство Парсеваля: о 2 1 1 241 2 2 1е ~"оахса — + Га„',так как 2)е "~йас — е г"~ =е то е'-! 2(е-1)2 4 ~ 1е 1 1) ) о 2 -о о О Е' ' е2 еа е2~- !+лгиг '0 Г СОО ( — ) 7 — 1 -1-152'44415 4)~ 12 00 04 02-10 2 1,5 б) Доопределим функцию у=,г'(х) на промежутке ( — 1,0) нечйтньгм образом, а значение в т х = О: г' (х) = 0 и продолжим ей на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирнхле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности, Вычислим коэффициенты Фурье этой функции, 1 04 Ь„= 2)е 2 яп лихах, так как )е"" яп ЬхНх = — (ах(пЬх-ЬсозЬх)+с, то при а=1 и а'+Ь' о Ь = ла, получим 2е " г (1 ь.- —,,(-о — * ~ ~ = —,,~-(-о * — г )+~И~О+~ юо)= 1+и и 1+и'и'(,е 2 2ии , (елп-ипсозип)= (е-( — 1) ) е(1 +и'~') е(1 + л'и') Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма ее ряда Фурье равна данной функции при всех х и и(е-(-1) ) ~(х) = — ~,, з(пиих.
е „„, 1+л'и' Так как функция у (х) кусочно-дифференпируема на ( — 1;1) то ряд Фурье сходится в среднем на (-1;1) ' Е -(-э'5 ог а ! 4+ 1 ~ ю Ю -'36 -о о В -$О 6 и в) Разложим в ряд Фурье функцию 1е ' хн(0;1) Вычислим коэффициенты Фурье этой функции 1 3 о ао = 2 )Г'(хфх = )е "ой+ ) Ыг = — е "~ =-е '+е~ =— о -! 2Г Частота первой гармоники в = — = и Т ! Х е а„= )е "созлпхгй= —,, (ппя(ппих-сояжпх 1+ и'п' (е-(-1) ) = — '( -(ппз(пип-созгги)-ппипО+сояО) = 1+лги'!,е ) е(1+я'и ) ! Ь„= 1е "я(пипхйх = —,, ( — я(плих-ппсозлих) 1+ л'и' — — -(-я!пил-лпсояпп)+лпягпО+лпсояО =, (епп-писояпп)=, 1+я'и' 1,е (1+ г г) пп(е — (-1) ) (1+ "'> Ряд Фурье имеет вид: ,, „, - 2( -(-1)') ( -(-1)') Дх)= — +-~Г г, созпих+,, я(плих = 2е е „., 1+л'и' 1 + г г ( -1) 1" (е-(-1) ) — — + — 2 ' г г (2сояиих+пик(плих) 2е е „., 1+и'п' Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б) г Г Задание 7 Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны — = — длины !г'и Ы'и /2 12 / = 2, Заярсняйиипй На КОНцаХ и(О,Г) ч И(2,г) = О Н удОВЛЕтВОряЮщЕИ СЛЕдуЮПНМ начальным условиям: и(х, 0) = /'(х), ' = 4!(х) !/и(х,О) !// ( -х/3, 0<х<1 ,/(х) = О 4!(х) = ~ (х-2)/3,1 <х < 2 Решение Решение ищем в виде ряда < ( лщ .
ап/1. лпх (/(х,/) = ~( А„соз — + В„яп — 1з!п —, где 1=2 по условию. Ы 2'Г . л'пх Так как А„= — ),/'(х) яп — !й, а / (х) = О по условию, то решение имеет вид: 1 лиг, лпх (/(х,г) = ~„В„яп — яп —, где -! 2 2 2 ( . лп 2/ (х. лп (х-2. лп ! 2 В„= — (4!(х) я(п — хЫх = — ~ — ( — яп — хй+ ( — зш — х!/х = — — рз(п — хс/х+ )(х-2)яп — хох = 2 = — -)хяп — х!!х+ )хяп — х!й — 2)яп — Ых = 2 лп !!=- — соя — х лп 2 пп зш — х!(х = а!!! 2 лп Окончательно.
(/(х,/) — — — — яп — яп— 2 Зл' „., п" 2 2 Задание 8 Найти приближенное решение задачи Коши а(х)у'+ Ь(х)у" + с(х)у = / (х); У(О) =О; 3/(О) =О Решение задами Коши ищется в виде степенного ряда ~~1 С„х', коэффициенты а-0 которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой ~,С!х', содержащей 2 2х лп ~ 4 .
лп ~ 2х лп ~ 4 . лп ' 8 лп ~! !! !! !! ! = — — сов — х1 + —,яп — х~ + — сов — х1 — —,яп — х~ + —,соз — х Злп лп 2 1, (лп)' 2 1! лп 2 1, (лп)' 2 0 З(лп)' 2 8 4 !гп 8 8 . лп 4 лп -- — !Созлп+ ! сов — + — !Б!плп — — !$!и + ! соз — 0 3(лп)' 3(лп)' 2 3(лп)' 3(лп)' 2 3(лн)' 2 8.лп8 8 лп 8 /,, лп!! 16 . лп яп — +О+ — спали- — сов — — — ащлп-2яп — — —, яп— 3(лп) 2 3(лп)' 3(лп)' 2 3(лп)' 2 3(лп) 2 151 + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получа2ощиеся степенные ряды знакочередующиеся. Требуется„чтобы зта погрешность не превосходила 0,001 при х н 10, х,|. у'+ ху'+ у+ х = 0 х, = 0.75 Решение Ищем решение ввиде: у=2 с,х =с, +с,х+с,х +...+с„х +...,тогда 2 2 и 22 нСЗх =с2+2с2х+Зсзх +...+ис х +...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
