4 часть (1081361), страница 66
Текст из файла (страница 66)
М (У/Х=1]=0,52). 18.382. Р (Х + У > 1 = 5/12). 373 Ответы и указания 18.383. 18.384. вил = 1(15. 18.386. 18.386. Вероятность событии 1Х > У) больше в опыте из задачи 18.385. 18.387. Рх,т(1,5; -0,5) = 0,27 Рх, т(0,5; 4) = 0,2. Ответы и указания 18.388.
Функция распределения мажет быть представлена следующей таблицей: 18.389. рх,т = — 1. 18.390. , (шх, тат ) = (1 + Ч, 2Ч). «~х =РЧ, яз = 2РЧ 2 2 18.391. Р (Х > У + 1) = Р— Ры — Рл = 1 — РЧ 18 392 рхт = 1/~/2 0,707 18.393. (жх,тйз )=(3,2;1,25) Ответы и указания 375 18.394. 18.395. / -0,25 -0,125 ~, -О,125 -0,1875 (' 18.397. зависимы. 18.398.
р,„= ~/6/17 0,594. 18.399. 18.400. 2,5%. Указание. Ввести индикаторные случайные величины; Х вЂ” индикатор брака вследствие дефекта сс при испытании одной детали, У вЂ” индикатор брака вследствие дефекта 13 при испытании одной детали — и описать закон распределения случайного вектора (Х, У).
18.401.0,669. 18.402.0,0118. Указание. См. указание к задаче 18.400. 18.403. 0,066. 18.404. с = 1, Р (Х + У ( 1) = 1/3. Ответы и указания 376 если х < 0 или х > 1, компоненты Х и Р зависимы. О, 18 405 /»(х) = х+-, еслиО<х<1; 2' О, если х < О, 18 406 Р»(х) = — х (х+ 1), если 0 < х < 1, (й4», тй») = (7/12; 7/12).
1 1, если х > 1; 18.407.с = 3/28, Р (Х+У < 2) = 3/14. 18.408. (8/7; 10/7). 18.409.р1 = = т/3/4, рт = (ЗН 3 — 4)/2, 18 410 /»»(х у) 2 а1п(х+ у), О < х < х/2, 0 ~ ~У < х/2 0 в остальных случаях; (тп»,тп,,) = (х/4, к/4). 1 18.411. /» (х ) = 3' 0 в остальных случаях; х < -1 или у < 1, О, 1 3 — (х + 1)(у — 1), — 1 < х < 2, 1 < у < 2, 1 3 — (х+ 1), -1 < х < 2, 2 < у, у — 1, 2<х, 1, 2<х, Е .(',у) = 1<у<2 2<у; компоненты независимы. 18.412. (т», тя„) = (0,5; 1,5), Р» = 3/4, В„= 1/12. 18.413. р1 = 1/6, рз — — х/12.
18 414 /» 1(х~ У) = ~ ( О, (х, у) ф П, '11/4, (х,у)6П; 1« 1, 0<у<2), Р(А) =1/4. 18.415. (1/3; 2/3). 18.416. Зависимы. 18.417. ~ 0 т, компо/аз/12 0 ат/12 ненты некоррелированы. 18.418. р1 —— 1/2, рт — — х/4. 18.419. Не кор- релированы, но зависимы. 18.420. Каждая компонента распределена равномерно на отрезке [О, Ц, компоненты зависимы. 18.421. Р (А) = 1 1 = -(1 — е ~) 0,432, Р(В) = — (7+ е а) в 0,875. 18.422. е т 0,135. 18.423. 0,279. 18.424. Р (А) = 0,5, Р (В) = 0,75, Р (С) = 0,5. 18425.Р(В) ж О 6826, Р(Е) в 0 8221. 18426.а 34п. 18 427.Р(С1) 0,0328, Р (Сз) 0,2818. 18.428.
0,5052. 18.429. Р (01) 0,0582, Ответы и указания 377 1 ]' 25 /(х+2)г 3(х+2)(р 3) (р 3)21 [ 32я [ 32 (, 16 50 25 / ) ' ( 112 18.433. (х+ Ц + (р 4 р 0,865. 18.432. у = 3+ — (х+ 2). 3 4 = 4,6052 18 434 /х(х) = 2 — е 2* з, тх = т„= 0~ 11х = 5/4 7 5т 11,, = 1/4, р~г = — 1/ъI 5. 18.435. я > 24. 18.436.
т, = 7, 17, = 35/6. 18.437. те = 18, т, = 17. 18.438. Р, = 108. 18.439. М [Х + У] = 1,5, М[Х У] 05 М[Хг+Уг] 5/3 М[ХУ] = 0,5. 18.440. П[Х+1'] = „2 г12 — 1) [Х вЂ” У] = 5/12, П [ХУ] = 7/36. 18.441 Риа 18.443. 1/т/10 = 0,3162. 18.444. 11[Х вЂ” У] = 13/3, М [ХУ' + Х'У] = = 31/3. 18.445. гаа = 1 Ог = 32/3. /1 2 61 18.446. 2 6 18~. Указание. При вгычислении моментов исполь- ~6 18 60~ зовать формулу (12) з 2 и результат задачи 18.274. 18.447. М [У] = О, 11[У] = . Указание. Воспользоваться формулами 2(п+ 1) дг (1 +,Р)г ' ' ' ' 1 + г ' й, = — .
18.450. М [7,] = 4г/я, 0 [Х,] = 2гг(1 — 8/яг). 62 (1 + 92)2 ' 18451 МЩ = х( П[У,] = хг(2/3 18.452. М[5] = я(2/3, Р[Я] = = 4яг(4/45 18453 1г/6 18454 М[Л] = (/3, 11[Л] = 12/18 18.455. М[Л] = 2а/3, 11[В] = аг/18. 18.456. М[Л2] = — (а + Ь ), г 1 2 Р(Сг) 0,0887. Указание. Воспользоваться симметрией кругового 1 рассеивания.
Например, Р(Сг) = Р(Сггг) = — Р(С), где СО~ — тре- 2 угольник с вершинами (О, 0), (1, 1), (О, 1), а С вЂ” квадрат с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Аналогично, Р(С2) = Р(СОО), где С<~1— треугольник с вершинами (0,0), (з/2, 0), (т/2, з/2), и далее как в предыдущей задаче. 18.430.
Р (Сз) 0,05566, Р (С4) 0,0252. 378 Ответы я указания Р [йз] = — (а + Б~). 18.457. 4,084. 18.458. 4,084. 18.459. М [Я] = р, 4 45 Р[У] = ру/п. 18.460. т, = Й/р, Р, = /сц/рт. Указание. Для вы» числения ги, и Р, положить Я = ~ Хпи где Л вЂ” число деталей. т=! сошедших с автоматической линии от момента получения (ти — 1)-й по счету нестандартной детали до момента получения т-й нестандартной (последняя включительно). Далее воспользоваться тем, что Х подчиняется геометрическому распределению с параметром р, и применить свойства математического ожидания и дисперсии.
18.461. М[У„] =. = пру + р~. Указание. Ввести индикаторы: 1» — индикатор успеха в Й-м испытании, 1» — индикатор начала серии для Й-го испытания. т.е. 1» = 1, если Й-е испытание является началом очередной серии успехов, и 1» = О, если не является. Показать, что Я„ = 1! + ~ Л», »»з 18.462. У к а з а н и е. Вначале вычислить условные математические ожидания М [Я/У = и] и М [Я~/У = п], а затем воспользоваться формулой полного математического ожидания (8) 33. 18.463. М [Я] = 49/4. У Р[Я] = 735/16. Указание. Представить Я в виде Я = ~ Х„, где ч=! У вЂ” число очков при одном подбрасывании игральной кости, Մ— число очков при п-м подбрасывании, и воспользоваться результатом заО2 ттр дачи 18А62.
18.464. т, = т/р, Р, = — + —, Указание. Исрз пользовать результат задачи 18.462. 18.467. Воспользоваться свойством дисперсии суммы случайных величин. 18.468. Указание. Пусть Я = шах(Хт,Уз). Убедиться, что Я может быть представлена в виде Х'+ 1" 1" — Хт Я = + . Левая часть доказываемого неравенства вытекает из свойств 2) и 4) математического ожидания. Для доказательства правой части неравенства применить свойства 4) и 6) математиче- 1 ского ожидания.
18.469. 1 — —. Указание. Найти сначала услов2и ные математические ожидания М[Х»/Х» !], й = 2, 3, ..., и, а затем воспользоваться формулой полного математического ожидания (6) з3. 18.471. а) М [Хч] = и ~ —; б) М [Хт] = 3, М [Хь] = 11,4, М [Х!а] = 1 »=! " = 27,86, М[Х!оо] 518,2. Указание. Доказать формулу Х„= 1 + и†! + ~~! У», где У» — число писем, опушенных вплоть до момента, пока »=! одно из писем попадет в один из /с пшиков, до тех пор оставшихсн пу- Ответы и указания 379 стыми.
Далее воспользоваться свойством математического ожидания и учесть, что случайные величины У» соответствуют опытам до пер- ~" 1 ваго успеха. При больших значениях и использовать формулу» Ь »=1 = 1пп+с, где с 0,577 — постоянная Эйлера. 18.472. Е»(1) = соей 18.473. Е»(1) = соээг, аэ = 2. 18.474. Е,„(1) = реа + 7, Е»(1) = п = (рен + д)". 18.475. Е„(1) = р»ек + д», Е»(1) = П(р»е' + 4»). »»я 18476. Е»(1) = (реп+4)". 18477. т» — — пр, Р» — — прц. 18.478. Е»(1) = =рек/(1-цеа), т» = р.
18А79. Е»(1) = [Е(1)[~. 18.483. Указание. Л Использовать неравенство сов х > 1 — хэ/2. 18.484. Е»(1) =— Л вЂ” »2 (еа» ока) 18.485. т» = 1/Л, Р» = 1/Л, а» = 2. 18.486. Е»(1) = И(Ь вЂ” а) 18.487. Е»(1) = ен' '<'>. Указание. Получить для характеристиче- -»СО а а г ен* ской функции выражение Е (1) = — еа' (' т э 4х. Интеграл, стая/ х+а щий в правой части, может быть вычислен с помощью теории вычетов, если контур интегрирования замкнуть полуокружностью радиуса г -+ оо с центром в начале координат, лежащей в верхней (при 1 > 0) или нижней (прн 1 ( 0) полуплоскости. 18.488. Е„(1) = (еа — 1)/»1, что соответствует равномерному распределению Я(0, 1). 18.489.
Е»(1) = 1/(1 — И). Характеристическая функция соответствует показательному распределению с параметром Л = 1. 18.490. Е»(1) = еа"'е ' ' Уэ, что соответствует нормальному закону распределения Ю(т, а). 18.491. Е,(1) = = е И ~, Я распределена по закону Коши с параметрами с = 0 и а = 1. 1 18.492.
/»(х) = — е ~*1, что соответствует закону распределения Лапласа с параметрами т = 0 и а = чг2. 18.493. Е„(1) = (1 — 2»1) 18.494. У к а з а н и е. Используя результат 18.493, показать, что Е»„(1) = = (1 — 2»1) чт. С другой стороны, установить, что и Е (») — »' и/э-1 — /ь»»»» 4 .
г(-") / где Я„' подчиняется закону распределения Л~(п) и, вычислив этот интеграл, получить тот же результат. 18.495. М [Я„] = п, Р [Я„[ = 2п. Ответы и указания 380 212 1 18А96. Б х = /(1 е — ), = М = в49У ь(*) = 1 — соз х л.хт 18.498. 18.499. 18 500. хь 2 3 4 6 б 7 8 9 19 11 12 рь 1/Зб 1/18 1/12 1/9 6/36 1/б 5/Зб 1/9 1/12 1/13 1/Зб 18.501. Случайная величина У подчиняется закону Л(0, 1). Указание. Воспользоваться монотонностью линейной функции.
О, — у < — 4 18.502. к (у) = / /4+ 1 / /4+ ~х [ 3,] ~ 3 ~х ~ ), -4<у; а<0, О, лв(х) = сх(1+ х) сх(1 — х), О < х; о<0, О, /1 11 Р'~ о) = ~2 о,~' 1, 1<о О, я<0, 18.503. /,(х) = 2 — екр( — х~/2ет), х > О. о~/2я 18.504. /„(ю) = ~ ' ' ' что соответствует закону В(О, 1). (О, юф[0,1], '1 1, ю ч [О, 1], Указание. Вычислить сначала функцию распределения Гч,(ю). а 18.505. /т(у) = (закон Коши с параметрами с = 0 и а). я (ут + аз) О, х< 2, 18506 /х(х) = 4 лх т/ хт — 4 х > 2.
381 Ответы и указания 1 3)г уЕ 18.507, У„,(у) = 1 1 Ь,(у) = и л/ог — у' (у(<а, о, )у! > а. го у<О, у) ~ -л' 2Луе ~", у>О; ~ ! ~ л г | ~ ! ! О, в<0, Л(г) = Л вЂ” ел * г>0; 2~(г О, и<0 или и>1, у„(и) = 1, 0<и<1. 18.509 Лг~ (У) = ' г 3 1 и уг + 4у+ 13 3 г гг (У) = я ' 13уг + 4У + 1 18.510 Л.э~у) = О, УФ ~-- ).
2' 2) О, О, у( У,(у) = я /у (4+ у) у> 18.511. Показательный с параметром а. 18.512. Указание. Записать выражение для Г„(1) в виде двойного интеграла по соответствующей области. 18.513. нг„„„= и — 1. 18.514. Ответы и указания 382 18.515, хь 0 1 Рь ч 2рч о'+ 2ро Ра О, — т< — 1, 02, — 1<я<0, 09, 0<я<1, 1, — 1<в.
18.516. К,(я) = э<0, 0<э<1, О, 18.51Т. У~(з) = 1/3, 1 Зтэ/э 1<я. — О, я<Оилия>2, 18,518, ~,(г) = — э~, 0 < г < 1; — аз+2», 1<э<2; (о, и < 0 или и > 1, '1 2 (1 — ), 0 «1. 1(1 1 18.519.
р „(и, и) = 4 ~,тlи,~и) ' 0 в остальных случаях. О, а<Онана>т, 18. 520. У, (г) = — 0 < я < т. тэ О, т<0, 18.521. у,(т) = что соответствует закону — ехр (-тэ(2а~), 0 < т, оэ Рэлея. 18.522. По закону Коши с параметрами с = О, а = 1. 18.523 Ую (т, Ф) = с О, т<0, 18.524.Указание. РассмотретьфункциюраспределенннГ» т (и, о) = Р1Х" < и, 1'" < о) отдельно для нечетных и четных и и показать, что как в том, так и в другом случае справедливо равенство Ответы и казания 383 Рх« е (и, и) = Р, (и) Г (и).
18.525. К,(и) = 1 — (1 — 6'(и))г, Ге(и) = = .ег(и), Указа нне. Использовать эквивалентность событий ((У > и) и (Х > и)(У > и), (Г < и) и (Х < о)(1' < и). (о, и(и, """"'" "'-)(6'(о) -(~(и) -~(и)), и <.. 2 а<и<и<6, 18.527. у е(и, и) = (6 — а) 0 в остальных случаях. Указание. Использовать результат задачи 18.526. 18.528.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
