4 часть (1081361), страница 65
Текст из файла (страница 65)
р(т+ и) — р(т) 18 214 рз = 2/3, рг = 1/3 18 215 рз = 1- р(пг) 1 — (- ) —, рг —— — + — -~! ж — . 18.216. Рз — 4/7, рг = = 3/7. 18.217. Р (А) = 7/9, Р (В) = 2/9. 18.218. Р (С) = 5/9, Р (В) = = 4/9. 18.219. Могут существовать О, 1, 2, 3, 4 амебы соответственно с вероятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32. 18.220. Указание.
Исп пользовать метод математической индукции. 18.221. р„= ~~~ ь=1 19 рз = —, рзо — — 1-е '+Ли а 0,649, где „— остаточный член разложе- 30 ' ния в ряд Тейлора функции е* в точке х = — 1. Указание. Пусть собы(п — 1)! тие Аь = (й-й адресах получил свое письмо). Тогда Р (Аь) = п! (и — 2)! 1 Р(АьА,„) =, ' (!г ф пз), ..., Р(Аз ...А„) = —,. Для вычисления искомой вероятности р = Р (Аз + Аг + + А„) воспользоваться формулой сложения для и слагаемых. 18.222. р. 18.223. р > > 1/2. 18.224. р.
18.225. 0,84. 18.226. 0,895. 18.227. 00 (я! + пг) 18.228. 1 — прЧзЧ" ' — Ч", где Чг — — 1 — ры Ч = 1 — р. 18.229. 0,574. 1 18 230. (Чз (1 — Чг)+ (1 — Чз) рг + (1 — рз)(1 — Чг)+ргрг). 18 231. 67/120. 2 18.232. 0,452. 18.233. 0,445. 18.234. 0,763. 18.235. В одну урну поместить один белый шар, в другую — два белых и три черных. Р,„(а) = = 0,7. 18.236.
В первый район следует послать пго геологоразведочи 1 1 — рз ных партий, где пзо — ближайшее целое к числу — + — 1п 2 2 рз Указание. Пусть событие А = (хотя бы одна из п посланных геолого разведочных партий обнаружила нефть на заданной территории). Ответы и указания 366 р1+р2+рз = 1. Рассмотрим две гипотезы: Нг — — (при первом подходе первый игрок не достал черный шар) и Нз — — Йз.
Тогда Р(Н,) = 0,7, Р(НЗ) = = 0,3, Р (Аз/Нз) = 0 и Р (Аз/Н!) = Р (Аг) = Ры так как если первый игрок не достал черный шар, то второй оказывается в положении начинающего игру. Следовательно, Р (Аз) = Рз = Р (Аз/Нг) Р (Нз) + + Р (Аз/Нз) Р (Нз) = 0,7ри Вводя теперь гипотезы Н', = (при первом подходе как первый, так и второй игроки не достали черный шар) и — ! Нз = Н„аналогично получаем Р (Аз) = рз —— 0,49рм Подставляя полученные выражения в уравнение (*), находим рг ы 0,457, рз 0,32, рз ж 0,223. > 18.241. Шансы одинаковы.
18.242. 2/3. 18.243. ж 0,903. 18.244. Р(А!) 0,285, Р(АЗ) 0,0714. 18.245. Р(А/В) = 2/9. 18.246. 1/3. 18.247. р!рз(1 р2) (1 Р1) Р2РЗ + (1 Р2) Р1РЗ + (1 Рз) Ргр2 18.248. ' . 18.249. =0,29. 18.250. Р(Н,/А) ж 0,8677, игРг + изрз + изрз Р (Нз/А) — 0,1052, Р (Нз/А) 0,0271 18 251 135/139 = 0,971. 18.252. Н,. 18.253.
Р(1 — р)2/4. 18.254. 1/3. 18.255. 0,0826. 18.256.!- 0,467. 18.258.т„ = 45/16, Р (Л > 2) = 11/16. 18.259..0» = = 167/256,!2» = 3. 18.260. График функции распределения изображен на рис. 56. 18.261. О, х(0; г»(х) = д, О<х(1, 1, х>1; из» = Р. Показать, что Р (А) = 1 — р,(1 — р)'" — (1 — Р,)(1 — р)в ~ где из— число геологоразведочных партий, посланных в первый район. Далее рассмотреть функцию /(х) = 1 — р!(1 -Р)* — (1 -р!)(1 — Р)" * и найти (и — т)(и — из+ 1) ее максимум при х Е [О, и'. 18.237. 0,5. 18.238.
2и (и — 1) 18.239. 5/36. 18.239(1). 4(и+ 1) 18.240. Рг 0,457, Рз — 0,32, (и + 2)(и + 3) рз — 0,223. з Пусть событие А; = (з-й игрок выиграл), 1 = 1, 2, 3. Обозначим Р (А,) = Р,. Очевидно, что Ответы и указания 367 18.262. Пх = Р9, пг — — Р9(9 — Р), Р = 1/2. 18.263. с = 3/4; гРафик функции распределения изображен на рис. 56, тх = — 1/3, Вх = 1 — з/2. 57 9 Рис. 55 Рис. 57 18.264.
Р (Х > О) = 1/4, Р (-1/2 < Х < 1/2) = 1/2. 18.265. Р (Х > > 3,5) = 1/2, Р (! Х ! < 2,5) = 0,3. 18.266. тх = 3,3, Ох = 0,76. 18.267. тх = Рг + Рг ы» = Ю с71 + Ргс7г. 18.268. /2'1 8 61 91 (,3) 27 ' 216 ' 216 ' -1 < х < О, тх 0 <1 хх(Х)— 18 269. с = 1/2, Р ((Х ! < Я/4) = з/2/2, тх — — О, Пх —— ггг/4 — 2. 18.270. (2+ з/2)/4.
18.271. Р(Х ~ )1) = 3/4, тх = 4/3 Ьх = '~/2, 11х = 2/9 1 2 3 4 18.272. р я ро Р < Ро Р 3 Ро х 5 Ро 0 725 О, х< — 1, 8 27' 125 216 ' 1, х>1, р' тх = —. 1-Р' Ответы и указания 368 18.2ТЗ. р„= ~~ ( — 1)'С1а',а„,. 18.274. а„= ССет'„р„ь е=о 1=0 18.275. У к а з а н и е. Использовать соотношение, справедливое для С.П.П.Т.
Р(х = хь) = Ех(хьы) — Рх(хь), и преобразовать сумму, выражающую математическое ожидание. 18.276. У к а з а н и е. Показать, что математическое ожидание может быть записано в виде т„= — 1цп ~ х — 11 — Р,(х)] ах. При вычислении интеграла воспользоа-и-оо Ах о ваться неравенством а /(х) Вх < х/„(х) ах, вытекающим изконеч- х; 0 1 2 3 18.2ТВ Р (Х = х,) 1/6 1/2 3/10 1/ЗО 18.279.
гях = 6/5 Вх = 14/25 18 280 11/42 18 281 ре 1,22 10 г, ре а 2,85 10 е. 18.282. тх = 5/2, Вх = 25/12 О, х<0, 18.283. Е„(х) = х/5, 0 < х < 5, 1, 5<х, Р(Х>3)=2/5 а+ 5 (5 — а)т 1 18.284.т„= —,Р = . 18.2851/3. 18.286а) — ж0,577; 2 ' 12 ~/3 1 б) 1 — — 0,423. 18.287. ,/3 х< — а, 1 ( )х)~ О, ) х ! > а; -а < х < О, 0<х<а, х > а. 18.288. тх = е(х = /ех = 0 Вх = о /6, ех = -3/5. 18.289.
т„= 1/Л, В„= 1/Лз. 18.290. Р (Х > тх) = е 0,368, тх = 1о,езг. 18.291. Р (А) = ехр( — 1/2) — ехр( — 3/2) и 0,3834, Р(В) = ехр( — 2)— ГО, х<0, = 0,135. 18.292. Р„(х) = ~ х, ' Указание. Записать ( 1 — е ~*, х > О. в алгебре событий дифференциал агх(х) =Р(х < Х < х+ е(х) при х>0 и решить полученное дифференциальное уравнение для искомой функ- ции распределения с начальным условием Г„(0) = О. 18.293. рь+~ = (е+ 1 = ( — 1) "+'т~+'+ — рь ((е = О, 1, ... ), а„= 2, ех = 6. 18.294. а > О, е а ности математического ожидания. О, (а+ х)2 2ат (а — х)т 1— 2ат 1, Ответы и указания 369 а , т» и моменты более п(хе+аз) ' 18.296. г1„= й = О, 1о,гь = а. Ь = 1/2, с = 1/и.
18 295 /»(х) = высокого парилка не существуют. ! ц,г — е о /з и Рис. 58 18.297. График функции /я(х) изображен на рис. 58; гия»» а/т/2 а в 1,253гг, Ря г» оз(2 — и/2) в 0,429оз. 18.298. Ыя = о', йя»» а~/2 )и 2 и — 3 1,177гг, ая = 2~( — ж 0,631, г!я < йя < тя 18.299. тя = 'у' 4 — гг 4 — з 1/ 8! = 2~гг2/(!уп), аг = ~гг2/9, Ря = — ( 3 — — ), .) О, х< — а, 1 1, х аз 18.300. г»(х) = — + — агсз!и —, (х! <а, т» =О, Р» = —. 2 я а' 2 1, х>а; 18.301.г1» не существует, Ь» =О, хоть —- а зш — -0,3827а. 18.302.
т» = 8 = гл, и„= о. 18.303. 1 — е*~ К„(х) = 2 -»ъ 2/е 2 х< 0, 0,7569, й = 1, р»=1 — е Я»гз 0,94, й=2, х>0; 0,9856, й = 3. У к а ванне. Использовать интеграл 18.304. а = О, е» .~-ео и! х"е я*гьх =— а" г' о а 18.305. гп»»» — хо, если а > 1, Р»»» а — 1 а хо, если а > 2. 18.306. гг» = хо, й» = хо»/2, (а — 1)'(а — 2) ' !о,гь 156,2. 18.307. Р(А) 0,1836, Р(В) 0,9057, т» = гео,знм 18.308. т» = а/Ь, Р»»» а/Ь, а»»» 2/;/а, е» = 6/а. Указание. При вычислении центральных моментов вывести предварительно рекуррентную формулу длн начальных моментов гамма-распределения: аьег —— Ответы и указания 370 а+Й вЂ” аь (6 = О, 1,...) и использовать результат задачи 18.273.
Ь 18.369. т» = 4, В» = 8, 6» - 3,3567, т, = конов. Указание. Уравнение для отыскания медианы привести и виду = 1п 2+1п (1+а) (6„= 2г), который допускает итеративное решение, на- чиная, например, со значения хо = 1. 18.310. т „/:1 = а+ ЬГ 1+ -), д» = а + 6)( —. Указание. Использовать интеграл х"е 1'"*1 Нх =, . 18.311. т„= —, В„= ('-") о аЬ У к а з а н и е.
Испольаовать интеграл (а + 6)т(а + 6 + 1) /"-"=. » ь-1 1(о) 1(6) х' '(1 — х) 'Ых =, выражаюший условие нормировки для Г(а+Ь) ' о любых допустимых значений параметров а > О, Ь > О, и свойство гамма-функции: Г(а+1) = аГ(а). 18.312. Р(А) 0,3955, Р(В) а 0,2637. 18.313. Р (С) 0,7627, Р (В) 0,1035. 18.314. 0,6513. 18.315. Р(А) 0,234, Р(В) ~ 0,721.
18.316. Р(С) = (15/36)" 0,00218, Р (В) 0,821. х; 0 1 18.317. , т» = Р, В» = ХЧ. 18.318. Р (Х > 2) а 0,363, и Ч Р О, х<0, 27/125, 0<х<1, 18.319. Е»(х) = 81/125, 1 < х < 2, 117/125, 2 < х < 3, 1, 3 <х. 18.329. Р(А) = 35/127, Р(В) =46/127. 18.321. М(Х) = 50, М(У) = — 75. 18.322. Более вероятно выиграть матч из 12 партий. 18.323. 0,203.
18.324. 1 — (р1 + о)". 18.325. и > 59. 18.326. Бо- лее вероятны три дождливых дня. 18.328. Один или два прибора. 18.329. 0,5638. 18.339. Р (Х < 3) = р(1+ о+ дз). 18.331. т„= 1/р, Ю» = д/рт. 18.332. 1000 изделий, Р (Х > Зт„) в 0,0498.
18.333. т» = 1/о, д» = 1, В„= р/дт. Указание. Воспользоваться результатом задач 18.330 и 18.331. 18.334. Р (А) = (и— 371 Ответы и указания — /с+1)Ряд" ь. 18.335.Р(В) =С ',Рлгт л, Р(С) =Р~ ~~ С,'„.л т4'. т=о 18.335(1).Р(А) = Я рхС~р~у™. 18.336. Р(Х = т) = ~с ~ рад а=о т > lс, тх —— тт/р. 18.337. 23/648. 18.338. 18 339.
тпх = 112~ Р» = 0 4. 18 340. тп» = 1,5, 'Рх = 0 65 18 341 Р (А)— — 0,4344, Р(В) 0,9136. 18.342. а) тх — — 2, Рх = 1,1; б) 0,9328. 18.343. 0,297. 18.344. Указание. При выводе формул для Р,„и Р,„, г использовать формулу (8). При доказательстве формулы для Р , ь использовать формулу полной вероятности. 18.345. 0,2144. Указание. Воспользоваться рекуррентной формулой из предыдущей задачи. 18.346. Р(А) = 0,216, Р(В) = 0,189. 18.347. Р(С) = 0,135. 18.348. Р(А) 0,012, Р(В) 1,144.10 х. 18.349. Р(С) 0,246, Р(Р) ж 2 'о в 10 г 18.350. Р(А) а 0055 Р(В) и 0055 18.351. Р (С) 0,0638. 18.352.
Р (А) — 0,394, Р (В) — 0,013, Р (С) ю 0,998. 18.353. Р (А) а 0,018, Р(В) 0,092. 18.354. Р(С) в 0,18, Р(Р) 0938 18 355 Р(А) = Гх(т) = е лб ~~~ Р(В) ' (Лт,)х )с! а=о 1 -(1 + е гл"). 18.356. Две опечатки с вероятностью 0,251. 2 18.357. 0,0047. 18.358. Закон Пуассона с параметром Л = пр, тх хх = Рх = пр. 18.359. и > 300. 18.360. и > 475. Указание. Получить уравнение для Л и привести его к виду, допускающему метод итераций.
/х — 1т 18 361 Ех(х) = Ф ~ — ). 18.362. рт — 0,683, рг 0,954, рг е 0,997. 2 ) 18.363.а) ( — 5; 25),б) (О; 20), в) (6,65; 13,35). 18.364.0,898. 18.365.т = = 15,39, а = 3,26. 18.366. 95%. 18.367. ю4,299. 18.368. = 99,95%. 18.369. хт 0,0196. Указание. Относительной точностью изделия называется величина " . 18.370. 2(1 — Ф(1/(2гт))). 18.371. а < (х — т„! тх < 02146 18372 М(Хг) 11842, Р(Хг > 2) 08328 18373 р а с/(а) = = 0,1587, рг = 0,68 18374. /5 — тпЛ /а — т л = Р (а < Х < 5) = Ф 1 ) — Ф 1 — ) . Необходимое условие Ответы и указания 372 экстремума: ь/'(и) =О. Так как Я'(и) = — — [(Ь вЂ” т) Ф'(х)]~ — (а — ог) Ф'(х)]~ а »=(Ь- 1/» »=(а-»»)/» то искомое значение а является корнем уравнения (Ь ш)г ) ( (а — т)г ) (Ь вЂ” т) ехр — ь — (а — та) ехр ~— 2г 2ог ь=О, решая которое, получим а, > 18.375.
и~/2/я. 18.3Т6. а„= ех = О. 18.377. М (Х4] = 10, М (Ха] = 76. У на за н и е. Воспользоваться результатом задачи 18.274 и рекуррентным соотношением (12). 18.3Т8. а) б) зависимы; в) Р (Х = 2, У > 0) = 0,15, Р (Х > У) = 0,65. 18.379. ягх —— 1,2, тй„= 0,25. 18.380. К = ( '0 0 1875). 016 0 18.381.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
