Ответы A4 на теоретические вопросы к экзамену (1079992)
Текст из файла
Вопрос 1: Векторный способ задания движения.Траектория определяется годографом радиус-вектора точки.Положение точки М определено, если радиус-вектор rиз центра О выражен функцией времени tr= r(t) задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость иускорение:tr(t), тогда(t+Δt)r(t+Δt), получаемΔr=r(t+Δt)-r(t) Vср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt.aср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt².Переход от векторной формы к координатной:r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.Обратно:x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k.Вопрос 37:Эквивалентность пар.
Сложение пар. Условия равновесия пар сил.Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать,поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу иплечо.Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости смоментом, равным сумме моментов этих пар.M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары неменяется BA×F1=M1, BA×F2=M2, M=M1+M2.СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равенсумме моментов двух данных пар.Дано: (F1, F1’), (F2, F2’)Доказательство:Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:(Q1,Q1’) и (Q2,Q2’).
При этом M1=M(Q1,Q1’)=M(F1, F1’),M2=M(Q2,Q2’)=M(F2, F2’).Сложим силы R=Q1+Q2, R’=Q1’+Q2’. Т. к. Q1’= - Q1, Q2’= - Q2R= -R’. Доказано,чтосистемадвухпарэквивалентнасистеме (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q1+Q2)= BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1’)+M(Q2,Q2’)=M(F1,F1’)+ M(F2,F2’) M=M1+M2.УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.M1+ M2+…+Mn=0.Вопрос 2:Движение в декартовой системе координат.Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk.Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначныефункции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем.
Этиуравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функциейпеременных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r(׳t)может быть вычислена по правилуdr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt.Отсюда вытекает, что v=vxi+vyj+vzk.V=√(vx²+vy²+vz²)Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости vпо времени.
А=x(׳׳t)I+y(׳׳t)j+z(׳׳t)k.А=√((x(׳׳t))²+(y(׳׳t))²+(z(׳׳t))²).Вопрос 28:Аксиомы статики.1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны помодулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.Следствие. Сумма всех внутренних сил всегда равна нулю.2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнятьсистему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии еѐ действия.3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей(любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.5) Механическое состояние системы не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системысилы, равные реакциям связей.Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.Вопрос 3:Естественный способ задания движения.Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известнаS=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным.V=dr/dt∙dS/dS=S(׳t)∙dr/dS=S(׳t)∙τ= =vτ∙τ.
Dr/dS=τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчетаS.A=dv/dt=S(׳׳t)∙τ+S(׳t)∙dτ/dt=S∙׳׳τ+ (S)׳²n/ρ. Aτ=S׳׳-тангенциальное ускорение, an=(S)׳²/ρ-нормальное(центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.A=√((aτ)²+(an)²).Вопрос 31:Алгебраический и векторный моменты силы относительно точки.Алгебраическим моментом М=+-F*d( пара ).
Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия( ни плечо, ни направления вращения не меняются).Векторный момент – вектор М=М(F,F*), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откудавидно стремление пары повернуть тело против часовой стрелки, его модуль равен алгебраическому моментупары.Момент относительно точки.Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-»произведение |F| на ее плечо: M0(F)=+-Fh. «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательныйэффект F.Свойства:А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы ( т.к. |F|sinA=const).Б) М=0 если т.О лежит на линии действия силы.
Плоскость действия М - через F и О.Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M0(F)=r*F (r – радиус вектор из А в О).|M0(F)=|F|*|r|*sinA=Fh.|ijkMO(F)=xAyAzA=>FxFyFzMOx(F)=yFz-zFy MOy(F)=zFx-xFzMOz(F)=xFy-yFxТеорема Вариньона - момент равнодействующий относительно какой-либо точки равен сумме моментов силее составляющих.Вопрос 4:Движение в полярной системе координат.Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то заданодвижение в полярной системе координат.
Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор.Тогда v=dr/dt=r׳rº+rdrº/dt=r׳rº+rφ׳pº=vrrº+vppº. vp и vr – трансверсальная и радиальная составляющая скорости.A=dv/dt=d(r׳rº+rφ׳pº)/ dt=r׳׳rº+r׳drº/dt+r׳φ׳pº+rφ׳׳pº+rφ∙׳dpº/dt=(r׳׳-(rφ)׳²)rº+(rφ׳׳+2r׳φ)׳pº= ar∙rº+appº.r²=x²+y², φ=arctg(y/x).vr=r(=׳xvx+yvy)/r,vp=rφ(=׳xvy-yvx)/r.Вопрос 35:Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольнойточки.Пара сил - система двух сил равных по модулю ипротивоположных по направлению.F1 = -F2R* = F1 - F2 = 0AC/F2 = BC/(R*) (стремится к бесконечности)(F1,F2) не эквивалентны 0Момент пары сил - произведение одной из сил на ее плечо.M(F1,F2) = M12 = ±F1*d = ±F2*dВекторный момент пары сил.MA = AB * F2MA = F2 * AB * sinα = F2dMB = BA * F1 = F1 * dM = MA = MB = S(ACBD)Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительнопроизвольной точки: Сумма моментов сил, входящих в состав парысил относительно любой точки не зависит от ее выбора и равнамоменту этой пары сил.F1 = -F2Mo(F2) + Mo(F1) = r2*F2 + r1*F1 = r2*F2 - r1*F2 = (r2 - r1)*F2 =AB * F2 = M(F1,F2)Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих натвердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив вседействующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MOсистемы сил относительно точки О.Доказательство:Пусть О – центр приведения.
Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO=F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этомполучаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментамэтих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем парк простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбораточки О).Вопрос 6:Скорость точки в криволинейных координатах.При движении точки ее радиус вектор через обобщенные координатызависит от времени:r=r[q1(t),q2(t),q3(t)]V=dr/dt=(∂r/∂q1)∙dq1/dt+(∂r/∂q2)∙dq2/dt+(∂r/∂q3)∙dq3/dt.(qi)’=dqi/dt – обобщенная скорость точки.v=(dq1/dt)H1e1+(dq2/dt)H2e2+(dq3/dt)H3e3.v=√(dq1/dt)²H1²+(dq2/dt)²H2²+(dq3/dt)²H3².
vq1=(dq1/dt)H1, vq2=(dq2/dt)H2,vq3=(dq3/dt)H3.Пример:1) скорость в цилиндрической системе.Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, тоH1=1, H2=ρ, H3=1.vρ=dρ/dt, vφ=ρdφ/dt, vz=dz/dt.2) Движение по винтовой.ρ=R=const, φ=kt, z=ut.vρ=0, vφ=kR, vz=u.Вопрос 32:Момент силы относительно оси.Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось,перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этойплоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.Mz(F)=2SΔABC=F┴∙h.Если Mz(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия еѐ действия пересекаетось z.Второе правило определения момента силы относительно оси: Момент силыотносительно оси называется произведение проекции силы на плоскостьперпендикулярную оси на плечо этой проекции относительно точки пересеченияплоскости с осью.Момент силы относительно оси Z: M0z(F) = ±hп * FпЧастные случаи: момент силы относительно оси = 0.а) Fп = 0б) hп = 0 (сила пересекает ось)Момент силы относительно оси = 0, если сила и ось находятся в одной плоскости.Момент сил относительно декартовых осей координат (проекции момента силы на эти оси).|iM0(F) = r * F = | x| FxFyFz |j k|y z | = (y*Fz - z*Fy)*i + (z*Fx - x*Fz)*j + (x*Fy - y*Fx)*kM0(F) = Mox(F)*i + Moy(F)*j + Moz(F)*kMox(F)=y*Fz - z*FyMoy(F)=z*Fx - x*FzMoz(F)=x*Fy - y*FxВопрос 5:Криволинейные координаты.
Координатные линии и оси.Устанавливают закон выбора 3 чисел q1, q2, q3 – криволинейные координаты (обобщенные координаты). Функция координат:r=r(q1,q2,q3) (из точки О).Возьмем точку М0 с координатами q1,q10,q20.X=X(q1,q20,q30);Y=Y(q1,q20,q30);Z=Z(q1,q20,q30);r=r(q1, q2, q3), q=q(t)Определяют кривую (переменная только q1). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q1 (аналогично q2 иq3). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M0 в сторону возрастания соответствующих координат –координатные оси: [q1], [q2], [q3].Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняютпостоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.H1=|∂r/∂q1|=sqrt( (∂x/∂q)^2+(∂y/∂q)^2+(∂z/∂q)^2) - kоэффициент Ламе.e1=(∂r/∂q1)/H1.Аналогично Н2, Н3, е2, е3.Вопрос 29:Основные виды связей и их реакции.Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве).Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.Гладкая поверхность – по общей нормали.1)2)3)4)5)Нить – вдоль к точке закрепления.Цилиндрический шарнир (подшипник)Сферический шарнир – по любому радиусу.Подпятник, подшипник – любое направление.6)Невесомый стержень с шарнирами на концах.
Реакция прямолинейного невесомого стержня сшарнирами на концах направлена вдоль оси стержня. В отличие от нити такой стержень может передавать как силырастяжения, так и силы сжатия.Дополнительно:Скользящий; Внутренний.Вопрос * (его нет в списке вопросов):Число степеней свободы твердоготела в общем и частныхслучаях его движения.n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.телаДля тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.Вопрос 38:Лемма о параллельном переносе силы.Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любойдругой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точкиприложения.Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.|F|=|F’|=|F”|.
F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, тоF ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).НоM(F,F”)=BAxF=MB(F).Получаем:F~ (F’,M(F,F”))Ч. т. д.Вопрос 7:Поступательное движение твердого тела. Траектории, скорости и ускорение точек тела.Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское(плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение,при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе.Число степеней свободы: 3.Траектории, скорости и ускорения любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы.Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен rB=rA+AB, AB=const. drB/dt=drA/dt+dAB/dt=drA/dt =>vB=vA, aB=aA.Мгновенное поступательное движение – движение твердого тела, для которого векторы скоростей точекравны только в один момент времени.Поступательное движение полностью характеризуется движением одной точки тела: x=f1(t); y=f2(t); z=f3(t);Вопрос 33:Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси,проходящей через эту точку.Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительнопроизвольной точки О на этой оси.Доказательство:Пусть О – произвольная точка на оси z.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
