Феоктистова О.П., Гартиг Е.Б., Пожалостин А.А., Панкратов А.А. - Кинематика точки и простейшие движения твердого тела (1079984)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаКИНЕМАТИКА ТОЧКИИ ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛАМетодические указанияк выполнению курсового заданияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2012УДК 531.1ББК 22.21К41Рецензент Г.А. ТимофеевК41Кинематика точки и простейшие движения твердоготела : метод.
указания к выполнению курсового задания /О.П. Феоктистова, Е.Б. Гартиг, А.А. Пожалостин, А.А. Панкратов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 37, [3] с. :ил.Представлен комплекс курсовых заданий по теоретической механике. Приведены примеры выполнения курсового задания.Для студентов первого курса машиностроительных и приборныхспециальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУим. Н.Э. Баумана.УДК 531.1ББК 22.21c МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2012ВВЕДЕНИЕКурсовое задание по разделу теоретической механики «Кинематика точки и простейшие движения твердого тела» является первым при изучении курса «Теоретическая механика». Оно позволяетстуденту усвоить основные понятия кинематики точки и простейших движений твердого тела. Курсовое задание содержит 30 вариантов задач (разд. 4). Каждому варианту задания соответствуетодна схема механизма (на схемах — 1—5 — звенья механизма).Указанная на схемах механизма точка M может принадлежатьзвену или совершать движение относительно него. Начало и положительное направление отсчета координат s(t), x(t), y(t), r(t), ϕ(t)и ψ(t) также указаны на схемах.Кроме того, на схемах механизмов приведены исходные данные для всех вариантов задания и единицы измерения исходныхвеличин: длина — в метрах, время — в секундах, угол — в радианах.В точках соприкосновения звеньев механизма проскальзывание отсутствует, нити и ремни считаются нерастяжимыми и относительно шкивов не скользят.Курсовое задание состоит из двух частей: 1) кинематика точки;2) простейшие движения твердого тела.1.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИВ первой части курсового задания нужно исследовать движение точки M и определить основные характеристики этого движения.Требуется:1) по заданному движению механизма (см. варианты заданий)получить уравнения движения точки M координатным способом(в декартовой или полярной системе координат, указанной на схемеварианта);2) определить траекторию движения точки M для момента времени t = t1 ;3) найти скорость v и ускорение a точки M ;4) определить проекции скорости v и ускорения a точки M наоси декартовой системы координат;5) найти касательную a τ и нормальную an составляющие ускорения, радиус кривизны ρ траектории в данном положении точки M ;6) найти радиальную vr и трансверсальную v ρ составляющиескорости. Начало полярной системы координат нужно поместитьв начало декартовой, направив полярную ось по оси Ox;7) в выбранном масштабе выполнить чертеж с изображениемтраектории движения точки M .
На чертеже указать все составляющие скорости и ускорения точки M в момент времени t = t1 .42. КИНЕМАТИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙТВЕРДОГО ТЕЛАВо второй части курсового задания требуется определить:1) вид движения звеньев механизма для момента времениt = t1 ;2) угловые скорости ω и угловые ускорения ε звеньев механизма, совершающих вращательное движение, указать на чертежекруговыми стрелками их направления, характер движения тел (замедленный или ускоренный);3) скорости v и ускорения a тел при поступательном движении;4) для точек контакта тел Ai (i — номер звена) скорости, ускорения и изобразить их на схеме механизма в соответствующеммасштабе (см.
разд. 4).Примечания. 1. Радиусы ступеней i-го зубчатого колеса обозначены Ri и ri .2. Законы движения звеньев в ряде механизмов справедливы для ограниченного промежутка времени, включающего моментt = t1 .3. Для тела при вращении его вокруг оси Oz:ϕ — угол поворота тела. Положительное направление отсчета угла ϕ принято против хода часовой стрелки, если смотреть сположительного направления оси Oz;ω̄ — угловая скорость тела — скользящий вектор на оси вращеdϕния, ω̄ = ωz k̄0 , где k̄0 — единичный орт оси Oz; ωz == ϕ̇ —dtпроекция вектора ω на ось Oz;ε̄ — угловое ускорение тела — скользящий вектор на оси вращения Oz, ε̄ = εz k̄0 , где εz — проекция вектора ε̄ на ось Oz:εz =d2 ϕ d ωz= ϕ̈.=dt2dt3.
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯПример 1. Исследовать кинематику движения точки и кинематику движений твердого тела (рис. 1). Определить:5траекторию движения точки M и для момента времени t = 1 с:1) скорость v и ускорение a;2) радиальные и трансверсальные составляющие скорости иускорения;3) касательную a τ и нормальную an составляющие ускоренияточки M .Выполнить чертеж с изображением движения траектории точкиM . Указать ее положение для момента времени t = 1 с, найденныескорости и ускорения, а также их составляющие.Найти угловые скорости ω и ускорения ε звеньев 1 — 3 механизма (см. рис. 1), скорости и ускорения точек Ai и для моментавремени t = 1 с указать их на чертеже.2Дано: r(t) = beht −1 , м; ϕ(t) = ht2 − 1, рад; b = 1 м, h = 1 рад/с2 ;R1 = 0,4 м; R2 = 0,2 м; r2 = 0,1 м.Исследуем кинематику движения точки M .
Движение точки Mзадано координатным способом (в полярной системе координат).Рис. 16Полярную ось считаем совмещенной с осью Ox; OM = r(t) —полярный радиус ϕ(t) — полярный угол.Найдем траекторию точки M . Исключив время t, получимуравнение траектории движения точки M в полярной системе координат:r = eϕ.Это логарифмическая спираль. Так как t 0, траекторией движения точки M будет часть логарифмической спирали:r = e ϕ (−1 ϕ < ∞; r e−1 ).Координаты точки M при t = 0 с:ϕ = −1 рад = −57,3◦ ; r = 0,368 м.Координаты точки M при t = 1 с:ϕ = 0 рад = 0◦ ; r = 1 м.Определим скорость точки М :v̄ = vr r̄0 + vp p̄0 ,где r̄0 — единичный вектор, направленный от полюса O к точке M ;p̄0 — единичный вектор, направленный по трансверсали (поворотr̄0 на 90◦ по направлению круговой стрелки ϕ).Проекция вектора скорости v на радиальную ось:2 −1vr = ṙ = 2tet.Проекция вектора скорости v на трансверсальную ось:2 −1vp = r ϕ̇ = 2tet.Для момента времени t = 1 c√vr = vp = 2 м/c; v = vr2 + vp2 = 2 2 = 2,828 м/c.Определим ускорение точки M :ā = ar r̄0 + ap p̄0 .Проекция ускорения a на радиальную ось2 −1ar = r̈ − r ϕ̇2 = 2et2 −1+ 4t2 et2 −1− 4t2 et2 −1= 2et.7Проекция ускорения a на трансверсальную ось2 −1ap = 2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈ = 8t2 et2 −1+ 2etДля момента времени t = 1 car = 2 м/c2 ; ap = 10 м/c2 ; a =2 −1= 2et(4t2 + 1).a2r + a2p = 10,2 м/c2 .Радиальную и трансверсальную составляющие скорости иускорения строим на чертеже с изображением траектории движения точки M (рис.
2).Рис. 28Зададим движение точки М естественным способом.Траекторией движения точки М является часть логарифмической спирали:r = eϕ,где −1 ϕ < ∞; r e−1 .Начало отсчета дуговой координаты s (натурального параметра) выберем в положении точки M при t = 0 с ϕ0 = −1 рад == −57,3◦ ; r = 0,368 м. Положительное направление отсчета координаты s выберем в сторону движения точки M от точки M0 .Определим зависимость s = s(t), положив v τ = v из соотношенияtv τ dt =s=0t vr2 + vp2 dt,0которое удобно преобразовать к видуϕ drs=( )2 + r2 dϕ,dϕϕ0ϕϕ √√ ϕ√dr2e2ϕ dϕ = 2 e dϕ = 2 (e ϕ −= eϕ; s =где r = e ϕ ;dϕϕ0ϕ0√√2ϕ0ϕ−1t−e ) = 2 (e − e ), т.
е. s(t) = 2 (e − 1)/e.Скорость точки Мv̄ = v τ τ̄,где | τ̄| = 1; τ̄ — единичный вектор, направленный в сторону положительных значений s по касательной к траектории движенияточки M ;√√ 2√2v τ = ṡ = 2 e ϕ ϕ̇ = 2 et −1 2t = 2 2 tet −1— проекция скорости на касательную к траектории движения точки M .Для t = 1 c√v τ = 2 2 ≈ 2,82 м/c.9Ускорение точки Мā = a τ τ̄ + an n̄,где |n̄| = 1; n̄ — единичный вектор, направленный по главной нормали к траектории движения точки М .Проекция ускорения на ось, касательную к траектории движения точки М :√ 2√2a τ = s̈ = 2 2 et −1 + 4 2 t2 et −1 .Для момента времени t = 1 c√a τ = 6 2 = 8,485 м/с2 .Проекция ускорения на нормаль к траектории движения точки M :√√√an = a2 − a2τ = 104 − 72 = 32 = 4 2 = 5,675 м/с2 ;an =v2.ρОтсюда√v28= √ = 2 ≈ 1,41 м,an 4 2где ρ — радиус кривизны траектории движения точки M приt = 1 c.Для проверки полученного значения найдем av — проекциюускорения на ось, совпадающую со скоростью v точки M :vr ar + vp apdvd 2=vr + vp2 =.av =dtdtvρ=Для момента времени t = 1 cav =√2 · 2 + 2 · 10√= 6 2 ≈ 8,46 м/с2 .2 2Вектор ā τ ≡ āv направлен по касательной к траектории движения точки M .10Зададим движение точки М в декартовой системе координат:x = r cos ϕ;y = r sin ϕ.При t = 1 cx = 1 · cos 0 = 1 м; y = 1 · sin 0 = 0 м.Скорость точки Мv̄ = vx ī + vy j̄,где ī, j̄ — oрты координатных осей Ox, Oy.Проекции скорости точки М на оси Ox, Oy:vx = ẋ = ṙ cos ϕ − r ϕ̇ sin ϕ = vr cos ϕ − vp sin ϕ;vy = ẏ = ṙ sin ϕ + r ϕ̇ cos ϕ = vr sin ϕ + vp cos ϕ.При t = 1 cvx = vr = 2 м/c; vy = vp = 2 м/c.При t = 1 cvx = 2 м/c; vy = 2 м/c; v =√vx2 + vy2 = 2 2 ≈ 2,82 м/c.Ускорение точки Мā = ax ī + ay j̄.Проекции ускорения точки M на оси Ox, Oy:ax = r̈ cos ϕ − ṙ ϕ̇ sin ϕ − ṙ ϕ̇ sin ϕ − r ϕ̈ sin ϕ − r ϕ̇2 cos ϕ == (r̈ − r ϕ̇2 ) cos ϕ − (2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈) sin ϕ;ax = ar cos ϕ − ap sin ϕ;ay = r̈ sin ϕ + ṙ ϕ̇ cos ϕ + ṙ ϕ̇ cos ϕ + r ϕ̈ cos ϕ − r ϕ̇2 sin ϕ == (r̈ − r ϕ̇2 ) sin ϕ + (2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈) cos ϕ;ay = ar sin ϕ + ap cos ϕ.При t = 1 cax = ar = 2 м/с2 ; ay = ap = 10 м/с2 ; a =a2x + a2y = 10,2 м/с2 .11Исследуем кинематику простейших движений твердого тела.Звенья 1, 2 совершают вращательное движение, звено 3 — поступательное движение.Для звена 1ω1z = ϕ̇ = 0,5t + 1,75.При t = 1 cω1z = 2,25 рад/с; ω1 = |ω1z |;ε1z = ϕ̈ = 0,5 рад/с2 = const; ε1 = |ε1z |.При t = 1 c ω1z > 0 и ε1z > 0 направления круговых стрелок угловой скорости и углового ускорения соответствуют положительномунаправлению отсчета угла ϕ.Звено 1 вращается равноускоренно.
Так как проскальзываниемежду телами 1 и 2 отсутствует, у точек контакта звеньев 1 и2 одинаковые скорости и касательные составляющие ускорения.Тогдаω1 R1 = ω2 r2 .Отсюдаω1 R1 2,25 · 0,4= 9 рад/с.=0,1r2Направления круговых стрелок угловых скоростей согласованыс направлениями скоростей точек контакта тел.Модуль угловой скорости тела 2ω2 = 8 рад/с.ω2 =Из равенства касательных составляющих ускорений точек контакта тел 1 и 2 следуетε1 R1 = ε2 r2 ,отсюдаε1 R1 2 · 0, 4= 8 рад/с2 .=0, 1r2Направления круговых стрелок угловых ускорений согласованы с направлениями касательных составляющих ускорений точекконтакта тел.Звено 2 вращается равноускоренно (рис. 3).Точка A2 принадлежит звену 2, точка A3 — звену 3. У этих точекодинаковые скорости и касательные составляющие ускорения.ε2 =12Рис. 3Скорости точек A2 , A3 и тела 3vA2 = ω2 R2 = 9 · 0, 2 = 1, 8 м/с = vA3 = v3 = vD .Ускорение точки A2τāA2 = āA+ ānA2 ;2ττ= ε2 R2 = 8 · 0, 2 = 1,6 м/c2 ; aA3 = a3 = aD3 = |aA|;aA22aA2anA2 = ω22 R2 = 64 · 0,2 = 12,8 м /с2 ;τ )2 + (an )2 == (aA1, 62 + 12,82 = 12,9 м/с2 .A22Вычисленные угловые скорости тел механизма, совершающихвращательные движения, изобразим на чертеже (см.
рис. 3) круго13выми стрелками, направляя их в сторону вращения тел при t = 1 c.Угловые ускорения тел также обозначим круговыми стрелками, направляя их в сторону круговых стрелок угловых скоростей приускоренном вращении и в противоположную сторону при замедленном вращении. Найденные скорости и ускорения точек механизма изобразим на схеме (см. рис. 3) в соответствующем масштабе.Пример 2 (рис.
4).Рис. 4Дано: s = D sin Et, l = C cos 2Et; C = 5 м, D = −3 м, E == π/4 рад/с; r2 = 0,8 м, r3 = 0,4 м, r4 = 0,6 м.Задать движение точки М координатным способом, найти траекторию точки M и для момента времени t = 1 c:141) определить положение точки M , скорость v и ускорение aточки M , радиальную и трансверсальную составляющие скоростии ускорения точки M , касательную a τ и нормальную an составляющие ускорения точки M ;2) выполнить рисунок с изображением траектории точки M , накотором указать положение точки M при t = 1 c и изобразить всенайденные составляющие скорости и ускорения точки M ;3) oпределить вид движения тел механизма, угловые скоростиω и угловые ускорения ε пронумерованных звеньев механизма,скорости и ускорения точек А3 , А4 , указанные на рис. 4;4) для момента времени t = 1 c указать найденные величинына схеме механизма, угловые скорости и угловые ускорения телобозначить круговыми стрелками.Исследуем кинематику движения точки M .Уравнения движения точки М легко получить в декартовойсистеме координат, так какх = l(t),y = −s(t).Таким образом, система уравнений, определяющих движениеточки в декартовой системе координат, имеет вид⎧π⎪⎨ x = 5 cos t;2(1)⎪⎩ y = 3 sin π t,4где x(t), y(t) — в м.Определим траекторию точки M .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
