В.К. Манжосов, О.Д. Новикова - Статика (1079970), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е.к узлу J, и стержень 9 сжат. Аналогично могут быть определены методомсечений усилия в любых стержнях этой фермы.2.3. Определение усилий в стержнях плоской фермы (задание С 3 [8])Дано: схема фермы (рис. 2.3, а); P1 = 2 кН, Р2 = 4 кН, Р3 = 6 кН,а = 4,0 м; h = 3,0 м. Определить усилия в стержнях фермы.а)б)в)Рис. 2.3Решение1. Определение реакций опор. Покажемсилы, приложенные кr rвнешниеrферме: активные (задаваемые) силы P1 , P2 , P3 и реакции опор А и В(рис. 2.3, б).Так как линия действия реакции опорыrr А неизвестна, определим ее составляющие по координатным осям X A и YA .Опора В – стержневая; линия действия ее реакции известна – она направлена вдоль опорного стержня.Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:∑ M iA = 0; P1 ⋅ 3h + P2 ⋅ 2h + RB ⋅ a = 0;⎫⎪X A − P1 − P2 = 0;∑ X i = 0;⎬⎪Y A + RB − P3 = 0.∑ Yi = 0;⎭(2.1)15Из этих уравненийRB = – 10,5 Кн; YA = 6,0 кН; XA = 16,5 кН.2.
Определение сил в стержнях фермы, способом вырезания узлов. Стержни, сходящиеся в узле фермы, являются для узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действия на узлы реакциями. Нарис. 2.3, в показаны узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.Силу в стержне с номером i обозначим Si.
Реакцию стержня с номером i,приложенную к узлу М, обозначим SiМ.Для стержня, соединяющего узлы М и NS iM = − S iN , но S iM = S iN = S i .Направления реакций всех стержней показаны от узлов внутрь стержней впредположении, что стержни растянуты. Если в результате решения реакциястержня получится отрицательной, это будет означать, что соответствующийстержень сжат.Для каждого узла составим два уравнения равновесия:∑ Xi = 0 и∑ Yi = 0.(2.2)Нетрудно убедиться, что из этих уравнений можно определить не только все силы, но и реакции опор, так что предварительное определение реакций опор неявляется необходимым.Действительно, узлов 7 (А, В, С, D, E, F, Н), уравнений, следовательно, 14, анеизвестных тоже 14, т. е.
11 усилий в стержнях и 3 составляющих опорных реакций. Ранее найденные реакции опор могут служить для проверки решения.Рекомендуется рассматривать узлы в такой последовательности, чтобы каждый раз в уравнения (2.2) входило не более двух неизвестных. Начнем с узла Н:− P1 − S1H ⋅ cos α = 0;∑ X i = 0;∑ Yi = 0;− S1H ⋅ sin α − S 2 H = 0,откуда определяемS1H = S1 = – 2,5 кН (стержень сжат) и S2H = S2 =1,5 кН.Для узла Е∑ X i = 0;∑ Yi = 0;откуда находимS3Е = S3 = 2,0 кН,− S1H ⋅ cos α + S 3 E = 0;− S1H ⋅ sin α − P3 − S 4 E = 0,S4Е = S4 = –7,5 Кн (стержень сжат).Затем составляем уравнения равновесия сил, приложенных к узлам F, С, D,В, А.Для проверки расчета полезно для каждого узла построить многоугольниксил (рис. 2.4).16Рис.
2.4Для узла H откладываем в масштабе силу P1 и проводим через конец иначало этого вектора направления реакций S1H и S2H до их взаимного пересеrrчения. Стрелки векторов S1H и S2H ставим так, чтобы силовой треугольник былrзамкнут. Для этого на рис. 2.4 стрелку S1H пришлось направить в сторону, противоположную показанной на рис. 2.3, в, – это соответствует знаку минус ваналитическом решении.rПри построении многоугольника сил для узла Е откладываем силы P3 иrrS1E (направляется противоположно S1H ) и проводим до взаимного пересеченияrrнаправления реакций S3Е и S 4Е и т.
д. Измеренные в масштабе построения реакции стержней должны мало отличаться от найденных аналитически.Приводим схему фермы с фактической картиной сил (рис. 2.5) и таблицу сил в стержнях (табл. 2).Рис. 2.5Таблица 2Номер стержняЗнак силыСила, кН1–2,52+1,53+2,04–7,55–7,56+6,07+6,08–12,09–7,510+10,5110173. Определение сил в стержнях способом сечений (способом Риттера).Требуется определить силы в стержнях 4, 5 и 8.По способу Риттера каждая сила должнабыть определена из отдельного уравнения и недолжна выражаться через силы в других стержнях.Для определения сил S4 и S5 мысленно разрежем ферму сечением I–I (рис.
2.6).Рассматриваем равновесие сил, приложенных к верхней части фермы. Выбор части ферРис. 2.6мы обычно определяется объемом вычислительной работы. В данном случае следует отметить, что выбор верхней части позволяет получить искомые силы, выраженныетолько через заданные силы, независимо от ранее найденных опорных реакций.Действие отброшенной нижней части на верхнюю представлено силамиS4, S5 и S6.По-прежнему условно предполагаем все стержни растянутыми. Знакминус в ответе укажет на то, что стержень сжат.Для определения S4 составим уравнение моментов сил относительно точкиF, где пересекаются линии действия сил S5 и S6 (точки Риттера для стержня4):∑ M iF = 0; S 4 ⋅ a + P3 ⋅ a + P1 ⋅ h = 0.Отсюда получимS4 = – 7,5 Кн.Для определения S5, чтобы исключить из уравнения усилия S4 и S6, проецируем силы на ось х:∑ X i = 0; − P1 − P2 − S 5 ⋅ cos α = 0.Отсюда получимS5 = – 7,5 Кн.Для определения силы S8 проводим сечениеII – II (можно было бы провести его и черезстержни 8, 7 и 6).
Рассмотрим равновесие сил,приложенных к нижней части фермы (рис. 2.7).Точкой Риттера для стержня 8 являетсяузел D, где пересекаются линии действия сил S9и S10, исключаемых из уравнения:Рис. 2.7∑ M iD = 0; − S 8 ⋅ a − Y A ⋅ a + X A ⋅ h = 0.Отсюда получимS8 = – 12,0 Кн.182.4.
Тестовые заданияЕсли геометрия и нагружение плоской фермы симметричны, то усилиев стержне I (N1) равно…1) -0,5F2) –F3) 0,5FС 334) FПродольная сила в стержне АСравна:1. Р2. − Р3. 2 Р4. − Р 2С 28Если симметричная ферма нагружена двумя разными силами F, то вкакой же из указанных ниже комбинаций стержней все усилия равнынулю?С 351) I, II и III2) II, III и IV3) III, IV и I4) IV, I и IIЕсли на плоскую ферму действуетгоризонтальная сила F, то ни в одномиз стержней, сочетание которых указано ниже, не возникает усилийС 361) 1,2,3,42) 1,2,4,53) 2,3,4,54) 1,2,3,5Если симметричная ферма находитсяпод воздействием силы F, то модульсжимающего усилия в верхнем горизонтальном стержне (I) равен111) F2) F32323)4)FF3219С 37Продольная сила в стержне ВС равна:2Р24Р3)21)2)−4)−2Р24Р2С 313.ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ(СИСТЕМА ДВУХ ТЕЛ)СОСТАВНОЙКОНСТРУКЦИИ3.1.
Определение реакций в составных балкахДано: Две балки АС и CD,соединенныешарниромС(рис. 3.1), закреплены шарнирнов точке А, а в точках В и D опираются при помощи катков на гоРис. 3.1ризонтальные направляющие.Определить реакции опор А, В, D и усилие в шарнире С, если на балкудействуют: пара сил с моментом М = 200 Нм, сила Р = 80 H, сила Q =120 Н.Даны размеры: АЕ =4 м, ЕВ = 2 м, ВС =3 м, СН = HD = 2 м.РешениеСистема твердых тел состоит из двухбалок. Рассмотрим равновесие каждой избалок отдельно. На балку АС действуют(рис. 3.2) активная сила Р и активная парасил с моментом М.Кроме того, на балку наложены связи:Рис.
3.2шарниры А и С, подвижная опора В. Отбрасывая мысленно связи, заменяем их действие реакциями. Так как реакцияшарнира А неизвестна по направлению и модулю, заменяем ее двумя составляющими RAx и RAy.Аналогично реакция шарнира С также изобразится двумя составляющимиRСx и RСy. Реакцию опоры В представим вертикальной силой RВ. Рассмотрим,далее, равновесие балки АС как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием шести сил и одной пары сил.Выберем оси координат с началом в точке А, ось абсцисс направим погоризонтали вправо, ось ординат по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия балки АС:20∑ Fkx = R Ax + RCx = 0,∑ Fky = R Ay + R B + RCy − P = 0,∑ m A (Fk ) = R B ⋅ AB + RCy ⋅ AC − P ⋅ AE − M = 0.(3.1)(3.2)(3.3)Можно было бы вместо второго уравнения равновесия составить суммумоментов всех сил относительно точки С.
В это уравнение вошли бы толькодве неизвестные силы RAx и RВ, так как линии действия остальных, неизвестных сил пересекаются в точке С. Однако в обоих случаях уравнение (3.1) является независимым от остальных уравнений и содержит два неизвестных;уравнения (3.2) и (3.3) связаны между собой и содержат три неизвестных.Таким образом, из полученной системы ниодно из неизвестных не может быть определено.Рассмотрим поэтому равновесие второй балкиCD (рис.
3.3).На балку действует одна активная сила Q.Применяя закон освобождаемости от связей, заРис. 3.3меним действие шарнира С и опоры D реакциями связей.Реакция RD направлена по вертикали, перпендикулярно к горизонтальнойплоскости, на которую опираются катки. Реакция шарнира С неизвестна помодулю и направлению. На основании закона равенства действия и противодействия составляющие этой реакции равны по модулю составляющим реакции шарнира, приложенным к балке АС, и направлены в прямо противоположные стороны (рис.
3.3).Таким образом, имеем свободное твердое тело – балку CD, находящуюся вравновесии под действием пяти сил. Составим уравнения равновесия, выбравоси координат с началом в точке С; ось абсцисс направим по балке вправо, осьординат – вертикально вверх. Имеем(3.4)∑ Fkx = − RCx = 0,∑ Fky = R D − Q − RCy = 0,(3.5)∑ mC (Fk ) = R D ⋅ CD − Q ⋅ CH = 0.(3.6)В этих трех уравнениях равновесия только одна новая неизвестная RD.А всего в шести уравнениях равновесия шесть неизвестных. Из уравнений(3.4) и (3.1) следуетRCx = R Ax = 0 .Из уравнения (3.6) находим2CHRD = Q ⋅= 120 ⋅ = 60 H ,CD4а из (3.5) получаем21RCy = R D − Q = 60 − 120 = −60 H .Знак минус показывает, что в действительности направления составляющих′ противоположны принятым на рисунке.Rcy и RCyДалее, из (3.3) имеемRB = PAE MAC4 2009+− RCy= 80 ⋅ ++ 60 ⋅ = 176,6 HAB ABAB666и, наконец, из (3.2) находимR Ay = P − R B − RCy = 80 − 176,6 + 60 = −36,6 H .Знак минус указывает, что и реакция RAy направлена не вверх, как предполагалось, а по вертикали вниз.Эта задача может быть решена и другим путем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
