В.К. Манжосов, О.Д. Новикова - Статика (1079970), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1.6момент М, направленный по ходу часовой стрелки.На раму наложены две связи: шарнирная опора в точке А и опора на каткев точке D. Отбрасывая мысленно опору А, заменим ее реакцией RA, модуль и направление которой заранее неизвестны. Поэтому вместо реакции RA возьмем двеее составляющие RAx и RAy по координатным осям. Удобно направить ось х източки А горизонтально вправо, а ось у – вертикально вверх.Опора на катке в точке D не препятствует перемещению точки D вдоль наклонной плоскости. Следовательно, реакцию RD следует направить перпендикулярно наклонной плоскости. По характеру опоры направляем RD вверх по нормали к наклонной плоскости.
Расчетная схема показана на рис. 1.6.8В задаче три неизвестных величины: RAx, RAy, RD. Поскольку для произвольной плоской системы сил можно составить три независимых уравнения, задачаявляется статически определенной.Несмотря на то, что в задаче всего одна горизонтальная сила и две вертикальных, удобно составить уравнение проекций на выбранные оси, потому что углы,составляемые силами с осями х и у, либо заданы, либо легко определяются.Реакция RD наклонена к вертикали под углом 30°.
Сила F составляет сосью х угол –105°. Напомним, что cos(–105°) = cos(105°) = –cos 75°;sin(–105°) = –sin 105° = –sin 75°. Запишем уравнение проекций на оси х и у иуравнение моментов относительно точки А:n∑ Fkx = R Ax − P cos 60° − F cos 75° − R D cos 60° = 0,(1.7)∑ Fky = RAy − Q − P sin 60° − F sin 75° + RD cos 30° = 0,(1.8)∑ m A ( Fk ) = − M − Q ⋅ AL − P ⋅ AN − F ⋅ AS + RD ⋅ AK = 0.(1.9)k =1nk =1nk =1Плечи всех сил, кроме плеча ALсилы Q, которое равно 1,5 м, требуют довольно длинных вычислений.Поэтому при составленииуравнения моментов воспользуемсятеоремой Вариньона. Каждую изсил Р, F и RD представим как суммуее горизонтальной и вертикальнойсоставляющих.
Эти силы, обозначенные одним (горизонтальная соРис. 1.7ставляющая) и двумя (вертикальнаясоставляющая) штрихами, показаны на рис. 1.7.Хорошо видны плечи каждой из этих составляющих относительно точки А.И хотя слагаемых в уравнении моментов теперь будет больше, вычислить их будет значительно проще. Числовые значения составляющих:Р' = Р cos 60°,F' = F cos 75°,R'D = RD cos 60°,P" = P sin 60°,F" = F sin 75°,R"D = RD cos 30°.Запишем уравнение моментов согласно рис.
1.7:n∑ m A ( Fk ) = − M − Q ⋅ 1,5 − P′′ ⋅ 3 + P′ ⋅ 4 − F ′′ ⋅ 7 + F ′ ⋅ 2 + RD′ ⋅ 1 + RD′′ ⋅ 8 = 0. (1.10)k =1Подставим в (1.10) значение составляющих Р, F и RD:9n∑ m A ( Fk ) = − M − Q ⋅ 1,5 − P sin 60° ⋅ 3 + P cos 60° ⋅ 4 − F sin 75° ⋅ 7 +k =1(1.11)+ F cos 75° ⋅ 2 + R D cos 60° ⋅ 1 + R D cos 30° ⋅ 8 = 0.Решаем систему уравнений (1.7), (1.8) и (1.11) при заданных значениях сил.Получаем сначала из (1.11) RD = 8,9 кН. Подставляя полученное значение RD в(1.7) и (1.8), вычисляемRAx = 9,5 кН, R Ay = 11,2 кН.1.4. Определение реакций опор твердого тела (плоская система сил,задание С 2 [8])Дано: схема конструкции (рис.
1.8, а); G = 10 кН; Р = 5 кН; М = 8 кНм;q = 0,5 кН/м; α = 30°; размеры в метрах.Определить реакцию опоры А и реакцию стержня CD.а)б)Рис. 1.8РешениеРассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к балке АВ.Отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору А, стержень CD и нить.Действие связей на балку заменяем их реакциями (рис. 1.8, б).
Так как направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестно, то определяем ее составляющие Õ À и YA . Покажем также реакцию S SD стержня CD и ре-акцию S нити, модуль которой равен Р.Равномерно-распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем сосредоточенной силой Q, равной Q = 2 ⋅ q = 2 ⋅ 0,5 = 1 кН, и приложеннойв центре тяжести эпюры этой нагрузки.Для плоской системы сил, приложенных к балке, составляем три уравнения равновесия:∑ÌiA= 0; − Q ⋅ 1 − G ⋅ 3 + S CD ⋅ 4 sin 30° − M + S ⋅ 6 = 0;∑ X i = 0; X A − S CD cos 30° = 0;∑ Yi = 0; Y A − Q − G + S CD cos 60° + S = 0.10(1.12)(1.13)(1.14)Из уравнения (1.12)S CD =Q ⋅ 1 + G ⋅ 3 + M − S ⋅ 6 1 ⋅ 1 + 10 ⋅ 3 + 8 − 5 ⋅ 6== 4,5 кН.4 sin 30°4 ⋅ 0,5Из уравнения (1.13)X A = S CD cos 30° = 4,5 ⋅ 0,866 = 3,90 кН.Из уравнения (1.14)YA = Q + G − S CD cos 60° − S = 1 + 10 − 4,5 ⋅ 0,5 − 5 = 3,75 кН.Значения XА, YА, SCD получаются положительными.
Это указывает на то,что принятые направления этих сил совпадают с их действительными направлениями.1.5. Тестовые заданияИ1Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, тореакция в опоре А (в кН) по модулю равна…1) 52) 103) 154) 20И2Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, тореакция в опоре А (в кН) по модулю равна…1) 52) 103) 154) 20И3Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, тореакция в опоре А (в кН) по модулю равна …1) 5И44) 202) 103) 154) 20Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, тореакция в опоре А (в кН) по модулю равна …1) 5И63) 15Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, тореакция в опоре А (в кН) по модулю равна …1) 5И52) 102) 103) 154) 20Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, тореакция в опоре А (в кН) по модулю равна …1) 52) 103) 154) 2011И7Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, тореакция в опоре А (в кН) по модулю равна …1) 52) 103) 154) 202.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ2.1. Определение усилий в стержнях плоской фермы методомвырезания узловДано: конструкция плоской фермы (рис. 2.1, а). Определить усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов.Рис. 2.1РешениеДля определения усилий в стержнях сначала надо найти реакции опор Аи Н. Для этого мысленно отбрасываем опоры и заменяем их действие на ферму реакциями RA и RН. Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опорравны друг другу и каждая равна 20 кН.Когда реакции опор найдены, переходим к определению усилий в стержнях. Для этого надо рассматривать равновесие каждого узла, мысленно отбросивсходящиеся в них стержни и заменяя их действие на узел реакциями.
Первымнадо рассмотреть узел, к которому приложены только две неизвестные силы.Начнем с узла А. Узел А находится в равновесии под действием известнойреакции RA и неизвестных реакций стержней 1 и 2. Будем обозначать реакциистержней соответственно через S1 и S2 (рис. 2.1, б) и направлять их от узла,предполагая таким образом, что стержни растянуты. Затем через точку А про-12водим оси х и у и составляем систему уравнений равновесия узла А, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на эти оси.Уравнения проекций на оси х и у будут:S2 + S1 cos 30° = 0,RA + S1 cos 60° = 0.Отсюда находимS1 = – 40кН,S2 = 34,64 кН.Отрицательное значение реакции S1 показывает, что в действительности онанаправлена в противоположную сторону и стержень 1 не растянут, как мыпредполагали, а сжат.Теперь переходим к исследованию равновесия узла В.
В узле В сходятсятри стержня, из которых стержни 1 и 3 направлены по одной прямой, астержень 4 под углом к ним. Никаких активных сил к узлу В не приложено.Следовательно, точка В находится в равновесии под действием трех реакцийстержней. Это возможно только в случае, если усилие в стержне 4 равно нулю,так как только оно проектируется на направление, перпендикулярное кстержням 1 и 3. Итак, усилия в стержнях 1 и 3 одинаковы, а усилие в стержне 4равно нулю.Переходим к узлу С. Узел С находится в равновесии под действием двухнеизвестных реакций S5 и S6, активной силы 10 кН и известной реакции S'2,которая по величине равна реакции S2, приложенной к узлу А, но направлена в противоположную сторону (рис.
2.1, в). Проводим оси координат через точку С и составляем уравнения равновесия для узла С.Уравнения проекций на оси х и у будут– S'2 + S5 cos 60° + S6= 0,S5 cos 30° – 10 = 0.Отсюда находимS5 = 11,55кН, S6 = 28,865 кН.Следовательно, стержни 5 и 6, как мы и предполагали, растянуты.Ввиду полной симметрии фермы и приложенной в узлах нагрузки достаточно определить усилия в стержнях левой половины фермы. Так, например,усилия в стержнях 1 и 11, 2 и 10 будут ввиду симметрии равными.2.2. Определение усилий в стержнях плоской фермы методом сеченийДано: конструкция плоской фермы (рис.
2.2, а). Определить усилия в стержнях фермы методом сечений.13а)б)Рис. 2.2РешениеДля определения усилий в стержнях фермы сначала надо определитьреакции опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действиена ферму реакциями RA и RB. Рассматриваем ферму как твердое тело,находящееся в равновесии под действием семи активных сил и двух неизвестных реакций опор. Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опорравны друг другу и каждая равна 6Р.После того как реакции опор определены, переходим к определениюусилий в стержнях фермы.
Разрезаем мысленно ферму по стержням, усилияв которых надо определить (рис. 2.2, б), например, по стержням 8, 9, 10, иудаляем правую часть фермы, заменив действие ее реакциями стержней S8,S9, S10. Направим эти реакции вдоль перерезанных стержней от узлов Е и J,предположив таким образом, что стержни 8, 9, 10 растянуты.Теперь левая часть фермы (рис. 2.2, б) находится в равновесии под действием реакции опоры RA, трех активных сил и реакций стержней S8, S9, S10.Чтобы найти эти реакции, составим уравнения равновесия для левой частифермы, приравнивая к нулю сумму моментов всех сил относительно J и L, вкоторых пересекаются линии действия двух искомых неизвестных сил.Благодаря этому уравнение моментов будет содержать только одно неизвестное. Так, уравнение моментов относительно точки J будетоткудаRA⋅2a – P⋅2a – 2P⋅a + S8 ⋅ a = 0,S8 = – 8Р.Отрицательное значение реакции S8 говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т.
е.к узлу Е, и, следовательно, стержень 8 сжат.Уравнение моментов относительно точки L будетоткуда– 2Р ⋅ а – 2Р ⋅ 2a – P ⋅ 3a + RA ⋅ За – S10 ⋅ а = 0,S10 = 9P.Стержень 10, как мы и предполагали, растянут.14Так как усилия S8 и S10 параллельны, то не существует точки их пересечения, поэтому для определения усилия S9 вместо уравнения моментовсоставляем уравнение проекций всех сил на вертикальную ось, перпендикулярную стержням 8 и 10:RA – Р – 2Р – 2Р + S9 cos 45° = 0,S9 = – 2Р/ 2 .откудаОтрицательное значение реакции S9 говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
