В.В. Дубинин, Г.И. Гатауллина, Г.М. Тушева - Кинематика сложного движения точки (1079962), страница 2
Текст из файла (страница 2)
рис. 8, е), получаем а, =-а,".-а,"соз45 +а,'зш45 =-2,5-3,54 — +1,13 — =-4,21м/с; о о Л Л а) = а" + а" з1п45 +а,' соз45 — а~=15,8+(3,54+1,13) — -12 55 =6,55 и/с~; а! =,~(а, ) с ба! )! = /42! сб55 72 м)с ! ГДЕ й =2О2, хб;; а,~, )ЗЗ5,=2,95Рал/С; а), —— 2а, ), зш90'=2 2„95 3,08=18,2м/с . а! = ам =,~(а~ ) с ба! ) /5,5' " 2,5! = 5,04 м)с .
Пример 7. Кривошип 1 (рис. 9, а), вращаясь по закону 4) =/-(1--) (где б!)— 4 в рад, / — в с), приводит в движение прямоугольный треугольник 2 с трубкой А)9, в которой движется шарик М по закону АМ = е(/) = 0,1(/ -/+ 1) (где з - в м, /- в с), Принимая шарик за точку, найти абсолютные скорость и ускорение точки М в момент времени /) =! с, если О)А = АВ = Зо = 0,1 Л2 м. Я Решение. На рис. 9, б положение механизма соответствует /) = 1 с, когда ~р=- 4 рад; а) =1 рад/с = сопя!, е, = О, Для точки А крнвошипа 1 2„=я, О,А=О,! /2 м/с", а =а"„=и, О,А=О,15/2 м/с .
Рис. 9 а„'=е, О,А=2.0,6=1,2м/с, в =вг= — '=1рад/с; е СР2 ~» ас ЯА + а СА + а СА Связав подвижную систему отсчета СХУ с треугольником 2, устанавливаем, что для точки М относительным является движение по трубке АЭ причем, АМ~, „=0,1м, ~ „' = 3 = 0 !(2/ — 1); ч,' ~, „= О, ! м/с > 0', а„= а„" = У = 0,2 и/сг = сопя! > О. Переносным здесь является плоское движение треугольника 2 (выполнюощего в механизме роль шатуна), пшому для точки М ч, = м, и а, = а„так как при 2~ = 1 с точка М совпала с точкой С треугольника. ~» С 2 1А Тогда, так как Рг-МЦСг,то — '= — и ~, =~, =-;-=0,1 м/с; УА АР2 «/2 Поскольку (7) содержит более двух неизвестных, воспользуемся выражением а,=аА+а"А+аА, где а~А =вг~АВ=О?Г2м/с; получаем (рис.
9, в) аеА = ег АЗ = О, т. е. ег = е, = О. Поэтому а, = аА + ас»А, где ас„= вггСА = 0,1 м/с, В абсолютномдвижении рм —- Г=й,+~,=О, таккак Г„==~, (см,рис,9,6), где а2 =2в,хь„аг =2в ~»з!п90 =0,2м/с . О 2 ??остроив многоугольник ускорений по (8) на рнс. 9, г, получаем ам —— ~ам ~=аАсоз45с+аг =0,1~Г2 — +0,2=0,3 и/с . Л М вЂ” Му — А 2 Пример 8. Кривошип 1 длиной О~А = 0,6 м (рис, ! О, а) вращается вокруг горизонтальной оси 01(2) по закону у = /~ (д — в рад, / — в с). С кривошипом 1 в точке А шарнирно связан диск 2 радиусом Р = 0,2 и, по ободу которого движется точка М по закону МаМ = 4/) = — / (е — в и, 2 — в с).
Для изображенного на рис. 10, а пока г 4 ложения механизма в момент времени О = 1 с найти абсолютные скорость и ускорение точки М. Решение. Для кривошипа 1 в„=ф=2/, в„~, „=2 рад/с>0; е„=в, =2рад/с >О! ~А=в, О,А=2 0,6=1,2м/с;аА=а„"+а'; а»=вг.О,А=4 0,6=2,4м/с Диск 2 участвует а двух вращениях вокруг параллельных осей О~(2) и АЩ в! = вг, е, = е' — угловые скорость и ускорение переносного вращения кривошипа 1 и вг = -в,, ег = -е, — угловые скорость и ускорение диска 2 относительно криво- шипа (рис.
10, б). Другими словами, это пара арап!ений, и в кюкдый момент време- ни такое движение эквивалентно мгновенно поступательному со скоростью и уско- рением точки А. Связав подвижную систему отсчета ОХУ с диском 2, для точки М получаем, относительное движение — по ободу диска, М~М~, и = —, ~„'=3= — /~„~, =0,3!4м/с>О, т Рис. 10 =1,48 мlс; ам — -а =а, +а, +а, где аь = 2а, х ~, = О, так как сс, = 0; тогда а =а,".
+а„'+а,", +а,' Ряс. 11 а= /~а~) +~ад~ =2,73 м!а~. 0 314г а =а" +а' а'=3=0314М/с >О а" = г = ' =0,49М/с г г> г Л 0,2 2 переносное движение- поступательное диска 2, тогда ~„= Рд, а, = а, В абсолютном движении ~~ -— » =м, +~, (рис, 10, е); Спроецировав (9) на оси Хн У, получим (см, рис. 10, в) а~ = -а,' - а„' соз 30'-а„" з1п30'= -0,314- 1,2 — -2„4. 0,5 = -2,55 и/с'; аг =а,"+а„'з1п30' — а;соз30'=0,49+1,2 0,5 — 2,4 — =-0,99 м/с ', 3. Последовательность решении «обратной» задачи К «обратным» условно можно отнести те задачи, в которых известна траектория абсолютного движения точки. Конечно, в зависимости от исходных данных «обратные» задачи имеют свои особенности.
Остановимся на типичной задаче, в которой полностью известно абсолютное движение точки. Пример У. По неподвняаому горизонтальному стержню О~С (рис. 11, а) движется кольцо ЛХ со скоростью ~ = 0,6(1 — 0,41) (~ — в и/с, 1 — в с), Через кольцо М пролет стержень ОА, вращающийся вокруг оси О(г), перпендикулярной плоскости чертежа. Рассматривая кольцо М как геометрическую точку, найти для заданного в момент времени ~, = 1 с положения системы, угловые скорость н ускорение стержня ОА и относительное ускорение точки М(по отношению к зтому стерж1по), если / = 0,3 м. Решение. Свяжем подвижную систему отсчета ОХУ (рис, 11, б) со стержнем ОА, а неподвижную О~ху — с неподвижным стержнем О,С, Тогда абсогпотное движение точки М- по прямой О~С со скоростью Р и ускорением а (см.
рис, 11, а, где ~~, „=0,36 и/с, а= а' = 9=-0„24 и/с~ <О), можно сложить из относительного (прямолинейного по стержню ОА) и переносного (вращения стержня ОА вокруг оси О(г)). 0,18,ГЗ с1оА юе "" ОЛ рад/с ОМ 02 /3 й =й,'+й,"+й,'+ П,, Рис, 12 4. Примеры «обратных» задач %ПУ аи.Н 3 3А"~А"А фльлйа!ькА Для скоростей ~ = ~„+~, (рис.
11, е), поскольку известны направления векторов ~, и Г„получаем ю,. =~я1п30 =О,!8м/с; ~„=~соз30 =0,18~/3 м/с, 032 г. Но ~ =в ОМ, где а =о, ОМ= = — '=0,2~/3 м, тогда соаЗО ~ГЗ Направление круговой стрелки воА соответствует направлению ~, (см. рнс. 11, б) при вращении вокруг оси О(г). Для ускорений где ай = а~~ ОМ = 0,9 0,2~/3 = 0,23м/с~, аА — — 2й, хЯ.;аА — - 2гп, ° ~,. яп90" = =2 0,9 0,131=0,324м/с . Построив по (10) многоугольник ускорений (рис, 11, е) и спроецировав (10) на подвижные оси Хи У, будем знать и модули, и направления векторов а„' и а,": пр. Х' аяпЗО'=а„-а,', а, =0,5а+а," =0,12+0,28=0,4м/с2; пр.
У; — асов 30'= а,' — аА, а,' = аА -0„5ч'За = О 324-0,12 /3 = О 12 м/с2, а' 0,12. Но а,' = а, ОМ, где а, = а„А = — = — ' —: = 0,34 рад/с, ОМ 0,243 Направление круговой стрелки для аоА соответствует направлению вектора ае при вращении вок~~ оси О(я), Таким образом, относительное движение точки М по стержгпо ОА — замедленное, ~, =0,18м/с,а, =0,4м/с (см,рис,11,б). «Обратная» задача может быль поставлена и так.
задано переносное движение н требуется найги абсолютные и относительные скорость и ускорение точки. Пример 10, В кулачковом механизме (рис, 12, а) кулачок 1 — круглый диск радиусом г=0,143 м — вращается вокруг оси О(г) по закону у=/2-4/ (~р — в рад, / — в с). Рассматривая движение точки М толкателя 2 как сложное, найти для изображенного в момент времени 0 = 1 с положения механизма скорость и ускорение толкателя 2, если а = 60~, а ОС = 0,1 м, Решение. Поскольку толкатель 2 движется поступательно, то его скорость р и ускорение а2 будут найдены, если для его точки М получим абсолютные скорость и ускорение, Свяжем подвижную систему отсчета СХУ (рис. 12, б) с кулачком 1, а неподвижную О~ху — с опорой Оь Тогда абсолютным движением для точки М является движение вдоль оси О~х, относительным — по окружности обода кулачка 1 радиусом г = 0,1/3 м, а переносным — вращение кулачка 1 вокруг оси 0(г), Таким образом„здесь задано переносное движение.
В переносном движении иел =~Р=2/ 4 ~0 ~с гй =-2 рад/с<0, Я„„=(а=2 рад/с =сопя! >О,' а =~В„~~,Ь~, гдеЬ,=ОМ=2ОС=0,2 м; ~,=2 0,2=0,4 м/с;а,=а,'+а,'; а,"=я~Ь,=2 0,2=0,3 м/с2, а,' =а„Ь, =2 0,2=0,4 м/с~. 1е — е — — '-О 46 и/с соз30' 0,866 для ускорений ае +ае +не +ае + аз~ ае +ае +ае +ае ~ (12) В абсолютном движении для скоростей Я = ~, + ~„ из треугольника скоростей (си. рис.12„б) находим ~=~,1830'=0,4 — =0,23 м/с; ю2 = »=0,23 и/с; 1 /з где а„".= — "= ' =1,22и/с, а~--2в,х~,; а~=2~в„~ ~„з!п90 =2 2 0,46=1,84м/с, 0,1. 3 Построив по (11) многоугольник ускорений (рис.
12, в) и спроецировав (11) на подвижную ось У, получим а = а2 — абсошотное ускорение точки М и толкателя 2, пр. У: а соз30"=-а," -а,"соз30'+а,'з!п30'+а~, а = (-1,22-0,8 0,866+0,4 0,5+ 1,84) = 0,14 м/с', Итак, толкатель 2 движется при/1 = 1 с вниз со скоростью ~ =~=0,23 и/с замедленно, а = аз = 0,14 и/с~, Пример 11. В кулнснои механизме Витворта (рис.
13, а) кривошип 1 и кулиса 2 вращаются вокруг параллельных осей О~(г) и О(г), перпендикулярных плоскости чертежа, Угловая скорость кривошипа 1 постоянна. 'в, = 2 рад/с = сопз1, Для заданного положения механизма найти угловые скорость и ускорение кулисы 2, а также относительные (по отношению к кулисе 2) скорость н ускорение точки М кривошипа 1, если а = !) = 60', О,М = 0,2 и. Реигение, Поскольку нужно найти скорость и ускорение точки М ползуна 3 относительно кулисы 2, то подвижную систему отсчета ОХУ свяжем с кулисой 2 (рис. 13, б), а неподвижную — 01ху с опорой Оь Рассмотрим движение точки М, принадлежащей кривошипу 1, как сложное, Абсолютное движение точки М- по окружности радиусом О~М= 0,2 и со скоростью ~=в~ О!М=2 02=0,4м/с=сопя! иускорением а=ае=в~О~М=2 0,2=0,8 м/с . Относительное движение — прямолинейное по кулисе 2, а переносное — вращение кулисы 2 вокруг оси О(г). Для скоростей й=~„+~„где м, !л, (см.
рис. 13, б), получим м„=~соз30 =0,4 0,866=0,346 м/с, ~,=~з!п30~=0,2 и/с, Но и,=в, Ь„, где Ь„=ОМ, 0,2 вс вз ! Рад/с ОМ 02 (Направление круговой стрелки в, соответствует направлению вектора 7е при вращении кулисы вокруг О(г),) Для ускорений где аи =в, ОМ =1 0,2=0,2м/с, а~=2вр„з1п90 =2 1 0,346=0,69м/с~. Построив по (12) многоугольник ускорений (рнс, !З„в), получаем а,' =0 и а,', з, = з, = — '= О, Проецируя (12) на направление оси Х, находим а,: ОМ пр.
Х. -аз|п30'=-а, -а„", а, = 0,5а-а," =0,4-0,2 = 0,2 и/с~, Таким образом, в заданном положении механизма кривошип 2 вращается равномерно (в2=1рад/с, з2=0), а ползун 3 скользит по кулисе 2 замедленно (~„= 0,346 и/с и а, =0,2 и/с ), Пример 12. В тангенсном механизме «рис, 14, а) кулиса 1 вращается вокруг оси О(г) с угловой скоростью в, =1 рад/с и приводит в движение стержень 2, соединенный с кулисой ползунои 3, Для заданного положения механизма найти корнолисово ускорение точки М стержня 2, рассматривая ее движение как сложное, если а=30' и /=0,2 /3 и. 2 0 1572 а„" = — "= — '=0,246м/с, Я 0,1 В переносном движении в, =-в, =сопзг; а, =О; ~, =в, Ь„ стей находим =0,4! и/с; аи =а,'+а„"+а,"+а„, (13) Рме.
1б 23 из треугольника скоростей (см. рис. 15, в) получим ~, = 0,2~/2 м/с. Тогда а„= 2в, х Р„= О для точки А, так как в, = О (переносное движение — поступательное), 3. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ В условиях курсовой работы для точек М и 0 требуется решить соответственно «прямую» и «обратну(о» задачи. Пример 14. Диск 1 радиусом А = 0,1 м (рнс. 16, а) вращается с постоянной угловой скоростью в, =2 рад/с вокруг оси 0(г), перпендикулярной плоскости рисунка, и приводит в движение стержень 2, который соприкасается с диском 1 в точке Х). Ось О((г) вращения стержня 2 параллельна оси 0(г), С диском 1 жестко связана трубка 3 радиусом Я = 0,1 и, по которой движется точка М по закону МоМ = ю(/) = — / (з -в и, /- в с), Для указанного в момент времени /1 = 1 с по- 2 4 ложения механизма определить; абсол(отные скорость н ускорение точки М, угловые скорость и ускорение стержня 2 (в2, ез), а также относительные (по отношению к диску 1) скорость и ускорение точки /Зстержня 2.
Решение. Свяжем подвижную систему отсчета СХК с диском 1 (рис, 16, б), а неподвижную Оху — с опорами 0 н Оь Тогда для точки М абсолютное движение будет складываться из относительного — по трубке 3 на диске 1 и переносного— вращения диска 1, В относительном движении '( ° х/1 . т( М„М~( „=- —; ~,' = з = — /; ~„'~, „=0,157 и/с > 0; а„=а,"+а„'; а,' =у=0,157 и/с =сопз1>0; где Ь, = А /2 =0,1~/2 м; ~,=2 0,1~Г2=0,283 и/с; а,=а,"=в2 Ь,=40,1 /2=0,566 и/с~, В абсолютном движении (см, рис.
16, б, в) рц =Р„+~, . Из треугольника скоро- где а, =2в„хГ; (а~)м — — 2в, ~„з(п90 =2 2 0,157=0,628м/с', Проецируя (13) на направления неподвижных осей, получаем пр.х: аи„=-а„"+а,"соз45'+а~ =-0,246+0,566 0,707+0,628=0,78м/с~; пр.у; а =-а~+а" з1п45~=-0,157+0,566-0,707=0,243 и/сз; ащ ~/(ад,~ +(а~~) =,/0,73~.~0,243 =0,32 М(С~, Для точки 0 на стержне 2 абсолютное движение по окружности радиусом /ЗО( (рис. 17, а) с центром на оси Оф) можно сложить из относительного — по ободу диска 1 и переносного — вращения диска 1 вокруг оси 0(г), В этом случае задано переносное движение: в, =в, =2 рад/с=сопз1; е,=0, ~, =в, Ь„ где для точки ХЗ Ь, = /Ю = 2л" соз ЗО = й/3 = 0,173 м; м, = 2 0,173 = 0,346 м/с; а, =а," =в2 /, =22 0,173=0,69м/сз для ускорений точки.0 (14) В абсолютном движении для скоростей Г = Г +» .Е 0.0, „~~~0.0, г> = г+~~ Гр > 1~ и > изтре угольника скоростей (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
