Условие типового расчёта по ФНП (1079576), страница 3
Текст из файла (страница 3)
f – произвольная дифференцируемая Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.x− 2 (y ln y)= 0, z = f x2 · ln y∂z√ ∂zфункция.∂x∂y− 4x= 0, z = f x2 + y 3/23 y∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции, и если да, то найти ее: полным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти ее:11a) cos y 2 + x dx − e y · 2 − cos y 2 + x · 2y dy1 32−y 2−y 2a) x + eydx +x y + ye x dy 2y√3b) yex + y 2 x dx + y x dy2yyyyy1b) 2 sindx + cos − sin + 2 dyxxx xx yЗадача 6.
В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в наЗадача6.ВточкеAнайтипроизводнуюфункцииu = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.правлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводной в точке A.zyzУказать вектор направления максимальнойпроизводной в точке A.f (x, y, z) = arcctg (xyz) + 2 sin− 1 e , A (−1; 0; −1) , B (3; 2; 3)22 −1xf(x,y,z)=arccos(xyz)+2x+y·ln(yz), A (0; −1; −1) , B (2; 0; 1)Задача 7. Для заданной поверхности ez − z + xy = 3 в M0 (2; 1; 0)Задача 7. Для заданной поверхности z = x3 − 3xy + y 3 в M0 (2; 1; 3)написать уравнения касательной плоскости и нормали.написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).3222Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y − 4x y − 2y − 8x − 4ya) 4xy 2 − x3 + 8y 2 + 3xb) 3z 3 − 5x2 − 5y 2 − 27z 2 + 8xy − 6x + 12y + 45z + 5b) 2y 3 + 5x2 − 6y 2 + z 2 − 4xz + 46x − 48y − 20z + 7ТР ФНП Вариант 13.
Лысиков Назар МихайловичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).px,g(x,y)=1 − |x2 + y 2 − 2|f (x, y) = 2x + y2Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.xy + zy − ln (xz + 5y) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 . π√πf (x, y, z) = y sin x · tg z − 3 xz − 4, M1 − ; 2;442x−3y−3 −1/4g (x, y) = 2+x y, M2 2;3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению.
f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.+y·= 0, z = f (y/x)x·∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциаломфункции, и если да,то найти ее: некоторой− 32x22a) 2xye + y dx − y 1 + y 2 2 − ex − 2xy dy1√b) x cos ydx + √x2 dy2 cos yЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводной в точке A.xpy− 1 , A (−1; 0; −1) , B (1; 1; 1)f (x, y, z) = 1 + xyz + 2 cos · arctgxzЗадача 7.
Для заданной поверхности 3x4 − 4y 3 z + 4z 2 xy − 4z 3 x + 1 = 0в M0 (1; 1; 1) написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) xy 2 − x2 y − x2 − xy − 2xb) 3z 3 + 4x2 + 5y 2 − 27z 2 − 4xy − 12x − 2y + 72z − 3ТР ФНП Вариант 14. Мирзоян Грачья АмазасповичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).py+3, g (x, y) = 1 + x2 − y 2 + arcsin xf (x, y) =x+2Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.3x= zxyarctgyzЗадача 3.
Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .f (x, y, z) = z 3 (tg3x − ln y) − 7, M1 (π; 2; −1)1 π−1/2 1/242;g (x, y) = yx − x sin y, M24 3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая ∂z∂zфункция.− cos2 y ·= 0, z = f (x + tg y)∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциаломp некоторой функции, иесли да, то найти ее:2a) y x3 + y dx + sin 5x + y 2 dy3y 25y4yy 5− 2x · y · e − 10x · y · e dyb) 2e y dx −(1 + y 3 )2Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойx p производной в точке A.f (x, y, z) = arcsin (xyz) + tg1 + yz, A (1; 0; 1) , B (2; 2; 3)−1zЗадача 7.
На поверхности, заданной уравнением x2 −z 2 −2x+6y+4 = 0,найтиточки, в которых нормаль к поверхности параллельна прямойx+y−z+1=0. Написать уравнения касательной плоскости иx − 3y + z + 9 = 0нормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) x4 − 4x3 − 2x2 − y 2 + 12xb) 3z 3 − 26x2 − 5y 2 − 18z 2 + 14xy + 94x − 44y − 189z + 7ТР ФНП Вариант 15.
Нефедов Григорий СергеевичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).px22f (x, y) = y − e , g (x, y) = 2 − x − y − |x2 − y 2 |Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.x + y + z = ezxЗадача 3.
Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .1 11yzf (x, y, z) = e − 2 cos + 7, M1 √ ; ; 3xπ 31 −1 3/21/32g (x, y) = y cos x − x y , M2 (π; 2)2Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая√√ ∂z∂zфункция.2ey x ·−= 0, z = fx + ey∂x ∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции, и если да, то найти ее:√xy−y 2dx − 2yea) √− x2 + 1 dyx2 + 1b) x2 + x cos ydx + yxdxЗадача 6.
В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальной производной в точке A.zpf (x, y, z) = cos (xyz) + 1 + yz · sin+ 1 , A (1; 0; −1) , B (5; −4; −3)xЗадача 7. Для заданной поверхности x − y 2 − z 2 = 0 найти точку(точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельнаплоскости x−4y+2z−1 = 0. Написать уравнения касательной плоскостии нормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) y 3 − x2 y − 6y 2 − 2xy + 8yb) 2y 3 − x2 − 5z 2 + 2xz − 4x − 24y + 28z + 5ТР ФНП Вариант 16. Нигматуллин Радиф РустамовичЗадача 1.
С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = y − x, g (x, y) = arcsin (x + y) + arccos (x − 1)Задача 2. Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.x2 + z 3 + f (x − y) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .14yzf (x, y, z) = zx − e x − 5, M1 −2; 2;23 −2g (x, y) = ln (x + y) − x y , M2 (2; −1)Задача 4.
Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемаяфункция.∂z∂z(cos y) ·− (cos x) ·= 0, z = f (sin x + sin y)∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторойфункции, и если да, то найти ее:a) 7x6 1 + cos2 y dx − x7 sin 2y − 2y dyb) x5 + y ln ydx + x + y 2 ydyЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводнойв точке A.xyz22 −122f (x, y, z) = e + y + z· ln x + z , A (1; 1; 0) , B (3; 7; 3)Задача 7. На поверхности, заданной уравнением x2 − y 2 − 2z = 0,найти точки, в которых нормаль к поверхности параллельна прямойx= y+51= z−2.
Написать уравнения касательной плоскости и нормали31−1к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) 4x3 − xy 2 + 12x2 + y 2b) 3z 3 − 17x2 + 5y 2 + 12xy − 22x + 2y − 9z + 6ТР ФНП Вариант 17. Попов Антон СергеевичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = (x − 2)2 + y 2 , g (x, y) = arcsin (x − y) + arccos yЗадача 2. Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.F (sin xy, cos zx) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .1 11/3 4f (x, y, z) = arcsin (x + 1) · y − xy z , M1 − ; ; 22 81y1g (x, y) = ln − 2x4 y −1/4 , M2;x2 4Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению.
f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.−y= 0, z = f (xy)x∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциаломнекоторой функции,и если да, то найти ее: 1√11a) x 7 y + cos (x) dx + y 3 x 7 dy√11− 23 yy 3b) · (x + 1) e dx − −e x + 1 +dy3y ln2 |y|Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальной производной в точке A.f (x, y, z) = tg (xyz) + 2 ln (yz) exz , A (0; −1; −1) , B (1; 1; 1)ТР ФНП Вариант 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
