16. Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных. (1079362), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Действительно, внекоторой окрестности U (a) точки a выполняется тождество F (x, ϕ(x)) ≡ 0. Дифференцируяэто тождество в соответствии с правилом дифференцирования сложной функции, находимϕ0 (x) = 0.+ Fy0 (x, y)Fx0 (x, y)ÌÃÒÓÔÍ-12переменных y и тем самым задает функцию y = ϕ(x), x ∈ Ux = {x ∈ Rn : |x − a| < δx }. Приэтом функция y = ϕ(x) непрерывно дифференцируема в области Ux , ϕ(a) = b, а ее матрицаЯкоби ϕ0 (x) может быть вычислена по формуле−1 000ϕ (x) = − Fy (x, y) Fx (x, y) . #(16.17)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ86тявляется дифференцируемой в R4 и удовлетворяет условию F (0, 1, 0, 0) = (0 0) .
Вычислим еематрицу Якоби:−2v 2y2u −2x0F (x, y, u, v) =.2x −2u −2y 2vВ точке (0, 1, 0, 0) значение матрицы Якоби равно0 2 0 00F (0, 1, 0, 0) =.0 0 −2 0Следовательно, согласно теореме 16.5, в некоторой окрестности точки (0, 1, 0, 0) системууравнений (16.18) можно разрешить относительно переменных y и u, т.е. система определяет в окрестности точки x = 0, v = 0 функции y = y(x, v), u = u(x, v), для которыхтF (x, y(x, v), u(x, v), v) ≡ (0 0) .
Эти функции, согласно теореме 16.5, дифференцируемы, номожно показать, что на самом деле они дважды непрерывно дифференцируемы.ÔÍ-12Видно, что матрица Якоби F 0 (0, 1, 0, 0) имеет единственный ненулевой минор второго порядка,соответствующий переменным y и u:2 00F(y, u) (0, 1, 0, 0) =.0 −2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12в окрестности точки (x, y, u, v) = (0, 1, 0, 0). Векторная функция 2u − 2xv + y 2 − 1F (x, y, u, v) =v 2 − 2yu + x2ÌÃÒÓÌÃÒÓ(16.18)ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 16.2.
Рассмотрим систему уравнений(u2 − 2xv + y 2 = 1,v 2 − 2yu + x2 = 0ÌÃÒÓÌÃÒÓчто равносильно (16.17).ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12В точке (0, 1, 0, 0) имеем du = dy = 0. Поэтому система (16.20) в этой точке принимает вид(− 2dxdv + d2 y = 0,dv 2 − d2 u + dx2 = 0.В результате получаем вторые дифференциалы функций y(x, v) и u(x, v) в точке (0, 0):d2 y = 2dxdv,d2 u = dx2 + dv 2 .
#ÌÃÒÓТеорема 16.6 (теорема об обратной функции). Пусть функция G: Rn → Rn удовлетворяет условиям:1◦ . Функция G(x) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности V точки a, т.е.G ∈ C 1 (V ).2◦ . Матрица Якоби функции G(x) в точке a невырождена, т.е. det G0 (a) 6= 0.Тогда найдется такая окрестность U точки b = G(a), что:1∗ . В Uопределена функция G−1 (y), обратная к функции G(x), т.е. G−1 (y) ∈ V при y ∈ U иG G−1 (y) = y, y ∈ U .2∗ . Функция G−1 (y) непрерывно дифференцируема в U (в частности, непрерывна в U ), а еематрица Якоби связана с матрицей Якоби функции G(x) равенством0−1 .G−1 (y) = G0 (x) (16.21)ÔÍ-12Рассмотрим вопрос, при каких условиях функция нескольких переменных G: Rn → Rn имеет обратную функцию G−1 , а также вопрос о том, дифференцируема ли обратная функция.Соответствующие условия в окрестности фиксированной точки можно получить с помощьютеоремы о неявной функции.ÌÃÒÓÌÃÒÓТаким образом, функции y(x, v) и u(x, v) имеют нулевой дифференциал при x = v = 0.Еще раз дифференцируем систему (16.19), учитывая, что dx и dv — это дифференциалынезависимых переменных, а dy и du — это дифференциалы неявно заданных функций.
В результате получаем(du2 + u d2 u − dxdv − dvdx + dy 2 + y d2 y = 0,(16.20)dv 2 − dydu − y d2 u − dudy − u d2 y + dx2 = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12Полученная система двух уравнений является линейной относительно дифференциалов переменных x, y, u, v. В точке (0, 1, 0, 0) она приобретает особенно простой вид(dy = 0,du = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓНайдем первый и второй дифференциалы функций y(x, v) и u(x, v) в точке (0, 0). Дифференцируя уравнения системы, после сокращения на 2 находим(u du − x dv − v dx + y dy = 0,(16.19)v dv − y du − u dy + x dx = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ87J Рассмотрим функцию F : R2n → Rn , определяемую равенством F (x, y) = G(x) − y. Этафункция непрерывно дифференцируема в окрестности точки (a, b) ∈ R2n , а множество решений системы n уравнений F (x, y) = 0 представляет собой график функции G(x), т.е.
множество точек (x, y), удовлетворяющих условию y = G(x). В частности, F (a, b) = 0. Таккак det G0 (a) 6= 0, то матрица Якоби Fx0 (a, b) = G0 (a) невырождена. Таким образом, дляÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x=G−1 (y)ÌÃÒÓфункции F (x, y) в окрестности точки (a, b) выполнены условия теоремы 16.5 о неявной функции. Это значит, что система уравнений F (x, y) = 0 в некоторой окрестности W вида W == {(x, y) ∈ R2n : |x − a| < δx , |y − b| < δy } разрешима относительно переменных x, т.е.
существует такая функция ϕ(y), определенная в окрестности |y − b| < δy точки b, чтоF (ϕ(y), y) ≡ 0,(16.22)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ88(16.23)Так как F (x, y) = G(x) − y, тождество (16.22) означает, что G ϕ(y) ≡ y, т.е. функцияϕ(y) является обратной к функции G(x). Кроме того, матрица Fy0 (x, y) совпадает с матрицей−E, противоположной единичной матрице E.
Поэтому равенство (16.23) сводится к равенству−1ϕ0 (y) = G0 (ϕ(y)) , равносильному (16.21) IПример 16.3. а. Рассмотрим отображение G: R2 → R2 , заданное уравнениями z1 = x1 +ex2 ,z2 = ex1 − x2 . Это отображение непрерывно дифференцируемо всюду в R2 . Его матрица Якобив произвольной точке (x1 , x2 ) ∈ R2 имеет вид1 ex2J(x1 , x2 ) =,ex1 −1ÔÍ-12ÔÍ-12−1ϕ0 (y) = − Fx0 (ϕ(y), y) Fy0 (ϕ(y), y).ÌÃÒÓÌÃÒÓпричем функция ϕ(y) непрерывно дифференцируема, а ее матрица Якоби равнаz2 = 2x1 ,(16.24)найдем те точки множества в области значений отображения, в окрестности которых определенообратное отображение G−1 .
Для это воспользуемся теоремой об обратной функции. Отображение G непрерывно дифференцируемо в R2 , а его матрица Якоби имеет вид1 2x2J(x1 , x2 ) =.2 0{(z1 , z2 ): z1 = x1 , z2 = 2x1 } ,или z2 = 2z1 .Итак, обратное отображение G−1 определено в окрестности любой точки (z1 , z2 ), принадлежащей области значений отображения G и не лежащей на прямой z2 = 2z1 . Теорема об обратнойÔÍ-12Вычисляем определитель матрицы Якоби: det J(x1 , x2 ) = −4x2 . Отсюда заключаем, что матрица Якоби невырождена во всех точках (x1 , x2 ), для которых x2 6= 0.
Таким образом, вовсех точках (x1 , x2 ), удовлетворяющих условию x2 6= 0, можно применить теорему об обратной функции. Точки (x1 , x2 ), в которых матрица Якоби вырождена, удовлетворяют условиюx2 = 0 и в совокупности составляют прямую — координатную ось Ox1 . Найдем ее образ приотображении G. Для этого в уравнения (16.24) отображения G подставим x2 = 0. В результатенаходим образ координатной оси Ox1 :ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12z1 = x1 + x22 ,ÌÃÒÓÌÃÒÓне обращается в нуль ни в одной точке в R2 .
Согласно теореме об обратной функции, в любойточке b ∈ R2 , b = G(a), существует окрестность, в которой определено обратное отображениеG−1 , причем G−1 (b) = a.б. Для отображения G: R2 → R2 , заданного уравнениямиÔÍ-12ÔÍ-12det J(x1 , x2 ) = −1 − ex1 +x2ÌÃÒÓÌÃÒÓа определитель матрицы ЯкобиÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Это представление показывает, что областью значений отображения G является полуплоскостьz1 > z2 /2. Каждая внутренняя точка z = (z1 , z2 ) этой полуплоскости является образом приотображении G двух точек a = (a1 , a2 ) и ea = (a1 , −a2 ), отличающихся знаком второй координаты.
В окрестности каждой точки z = (z1 , z2 ), z1 > z2 /2, существуют два обратныхотображения, первое удовлетворяет условию G−1 (z) = a, а второе — условию G−1 (z) = ea. Обаотображения определены в области z1 > z2 /2.Любая точка z 0 = (z10 , z20 ) на прямой z1 = z2 /2 не имеет окрестности, в которой определенообратное отображение G−1 , и тому есть две причины. Во-первых, такие точки не являютсявнутренними точками области значений отображения G. Во-вторых, каждая такая точка z 0является образом единственной точки x0 в области определения отображения, но при этом влюбой окрестности точки x0 можно выбрать такие две точки, в которых отображение G принимает одинаковые значения.ÔÍ-12ÔÍ-122ÌÃÒÓфункции не позволяет ответить на вопрос, существует ли обратное отображение G−1 в окрестности какой-либо точки прямой z2 = 2z1 .
Для ответа на этот вопрос нужно использовать другиеметоды. В данном случае уравнения (16.24) можно разрешить относительно переменных x1 иx2 и тем самым получить аналитическое представление функции G−1 :z2x1 = ,2qx = ± z − z2 .21ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ89ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ7878808485ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÌÃÒÓÔÍ-12.....ÔÍ-12ÌÃÒÓпеременных. . . . . . . . .. . . . . .
. . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 16. Дифференцируемость векторных функций нескольких16.1. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2. Дифференцируемые векторные функции . . . . . . . . . . . . . .16.3. Дифференциал векторной функции . . . . . . . . . . . . . . . . .16.4. Теорема о неявной функции (общий случай) . . . .
. . . . . . .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
