16. Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных. (1079362), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Обозначим ∆x = x − a,∆y = y − b, ∆z = z − c, где c = g(b). В силу дифференцируемости функции f в точке a имеемпредставление∆y = f 0 (a)∆x + α(∆x)|∆x|,(16.10)ÌÃÒÓТеорема 16.4. Если функция нескольких переменных f : Rn → Rm дифференцируема вточке a, а функция нескольких переменных g: Rm → Rk дифференцируема в точке b = f (a),b ∈ Rm , то в некоторой окрестности точки a определена сложная функция g ◦ f : Rn → Rk ,причем эта функция дифференцируема в точке a и выполнено равенствоÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓ∆x→0lim ∆xk + lim αi (∆x)|∆x| = 0,ÔÍ-12ÔÍ-12lim ∆fi (a) =nX∂fi (a)ÌÃÒÓÌÃÒÓгде ∆x = (∆x1 , ∆x2 , .
. . , ∆xn ) и αi (∆x) → 0 при ∆x → 0. Из этого представления следует,что существует пределÔÍ-12ÔÍ-12∆xk + αi (∆x)|∆x|,ÌÃÒÓÌÃÒÓk=1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ82ÌÃÒÓÔÍ-12Композицию (g ◦ f )(x) = g(f (x)) двух функций f : Rn → Rm и g: Rm → Rk часто задают ввиде z = g(y), y = f (x), вводя промежуточные переменные y = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm .Используя координатные функции f1 , f2 , .
. . , fm и g1 , g2 , . . . , gk функций нескольких переменныхf и g, равенство (16.9) матриц Якоби можно записать в координатной формеmX ∂gi ∂fs∂gi ∂f1∂gi ∂fm∂zi==+ ... +,∂xj∂y∂x∂y∂x∂y∂xsj1jmjs=1i = 1, k, j = 1, n.т(16.13)тПеремножая матрицы в правой части этого равенства, получаем∂z1∂g1 ∂f1 ∂g1 ∂f2=+,∂x2∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2∂z2∂g2 ∂f1 ∂g2 ∂f2=+,∂x1∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1∂z2∂g2 ∂f1 ∂g2 ∂f2=+,∂x2∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2где частные производные∂fj ∂zk∂g,вычисляются в точке (x1 , x2 ), а частные производные k —∂xi ∂xi∂yjв точке (y1 (x1 , x2 ), y2 (x1 , x2 )).ÔÍ-12∂g1 ∂f1 ∂g1 ∂f2∂z1=+,∂x1∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1ÌÃÒÓПусть n = m = k = 2, т.е.
f : R2 → R2 , f = (f1 f2 ) , g: R2 → R2 , g = (g1 g2 ) . Тогдадля сложной функции z = g(f (x1 , x2 )) равенство (16.9) в матричной форме при обозначенияхz = g(y), y = f (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) имеет следующий вид:!!!(g1 )0y1 (g1 )0y2(z1 )0x1 (z1 )0x2(f1 )0x1 (f1 )0x2=.(g2 )0y1 (g2 )0y2(z2 )0x1 (z2 )0x2(f2 )0x1 (f2 )0x2ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12является бесконечно малой, так как представляетсобой произведениебесконечно малой функ 0ции β(∆f (a)) на ограниченную функцию f (a)ν(∆x) + α(∆x) . В результате заключаем, чтоγ(∆x) → 0 при ∆x → 0. Согласно определению 16.2, представление (16.12) означает, что функция g ◦ f дифференцируема в точке a. При этом произведение g 0 (b) f 0 (a) двух матриц Якобиявляется, согласно (16.12), матрицей Якоби сложной функции g ◦ f , т.е. имеет место равенство(16.9).
IÌÃÒÓÌÃÒÓФункция β(∆y) бесконечно малая при ∆y → 0, причем на представление (16.11) не влияетзначение этой функции при ∆y = 0. Поэтому можно считать, что β(0) = 0 и что функция β(∆y)непрерывна при ∆y = 0. Но тогда функция β(∆f (a)) непрерывна при ∆x = 0 как композициянепрерывных функций и, следовательно, является бесконечно малой при ∆x → 0. Функцияν(∆x) является ограниченной: |ν(∆x)| = 1. Следовательно, функцияβ(∆f (a))f 0 (a)ν(∆x) + α(∆x)ÔÍ-12ÔÍ-12∆x.|∆x|ÌÃÒÓÌÃÒÓи ν(∆x) =ÔÍ-12ÔÍ-12γ(∆x) = g 0 (b)α(∆x) + β(∆f (a))f 0 (a)ν(∆x) + α(∆x),ÌÃÒÓгдегде β(∆y) → 0 при ∆y → 0. Подставив (16.10) в (16.11), получим∆(g ◦ f )(a) = ∆z = g 0 (b) f 0 (a)∆x + α(∆x)|∆x| + β ∆y |∆y| = g 0 (b)f 0 (a)∆x + γ(∆x)|∆x|, (16.12)ÔÍ-12где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.
В силу дифференцируемости g в точке b имеем аналогичноепредставление(16.11)∆z = g 0 (b)∆y + β(∆y)|∆y|,ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ83ÌÃÒÓ16.3. Дифференциал векторной функцииПусть векторная функция нескольких переменных f : Rn → Rm определена в окрестноститочки x = (x1 , . . . , xn ) и дифференцируема в этой точке. Тогда, согласно следствию 16.1, полтное приращение этой функции в точке x в зависимости от приращения ∆x = (∆x1 . .
. ∆xn )независимых переменных можно представить в видеÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ84тdx = (dx1 dx2 . . . dxn ) .(16.14)Для полного приращения дифференцируемой функции нескольких переменных имеем равенство∆f (x) = df (x) + α(∆x)|∆x| = f 0 (x) dx + α(∆x)|∆x|,(16.15)где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.Представив матрицу Якоби f 0 (x) как набор столбцов: f 0 (x) = fx0 1 fx0 2 . .
. fx0 n , равенство(16.14) можно записать следующим образом:df (x) = fx0 1 (x) dx1 + fx0 2 (x) dx2 + . . . + fx0 n (x) dxn .dz = (g ◦ f )0 (a) dx = g 0 (b)f 0 (a) dx = g 0 (b) dyЗамечание 16.1. Для дифференциала векторной функции нескольких переменных сохраняются свойства дифференциала скалярной функции нескольких переменных. Например, длядифференцируемых функций f, g: Rn → Rm и произвольного действительного числа c верныравенства d(cf ) = cdf , d(f ± g) = df ± dg.ÔÍ-12Мы видим, что дифференциал dz сложной функции z = g(f (x)) выражается через дифференциал dy промежуточных переменных так же, как и в случае, когда эти переменные являютсянезависимыми.ÌÃÒÓСлагаемые fx0 i dxi в правой части равенства называют частными дифференциалами функции f (x) в точке x. Каждое слагаемое fx0 i dxi представляет собой линейную часть частногоприращения ∆i f (x) функции f (x) в данной точке.Дифференциал функции нескольких переменных, как и функции одного действительногопеременного, имеет свойство, которое называют инвариантностью формы записи дифференциала.Пусть функция f : Rn → Rm дифференцируема в точке a ∈ Rn , а функция g: Rm → Rkдифференцируема в точке b = f (a).
Согласно теореме 10.1, композиция g ◦ f двух функцийдифференцируема в точке a. Введем набор промежуточных переменных y и запишем сложнуюфункцию в виде z = g(y), y = f (x). Тогда в соответствии с (16.9)ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓdf (x) = f 0 (x) dx,ÔÍ-12ÔÍ-12Итак, дифференциал функции нескольких переменных, дифференцируемой в точке x, вычисляется по той же формуле, что и в случае функции одного переменного: df (x) = f 0 (x)∆x.Правда, в многомерном случае f 0 (x) обозначает не производную функции, а ее матрицу Якоби.Отметим, что формула (10.1) для дифференциала скалярной функции нескольких переменныхтакже может быть записана в матричной форме, если в качестве матрицы Якоби ввести матрицу-строку частных производных скалярной функции.Дифференциалы независимых переменных xi , i = 1, n, как и в случае скалярных функций, поопределению равны приращениям этих переменных: dxi = ∆xi . С учетом этого дифференциалфункции f можно записать в видеÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 16.3.
Линейную относительно ∆x часть f 0 (x)∆x полного приращения функции f (x), дифференцируемой в точке x, называют (полным) дифференциалом функции fи обозначают через df (x).ÔÍ-12ÔÍ-12где f 0 (x) — матрица Якоби функции f (x), а функция α(∆x) является бесконечно малой функцией при ∆x → 0. Как и в случае скалярных функций, можно ввести следующее понятие.ÌÃÒÓÌÃÒÓ∆f (x) = f 0 (x)∆x + α(∆x)|∆x|,ÌÃÒÓных y = (y1 , y2 , .
. . , ym ) в окрестности данной точки (a, b) ∈ Rn+m ? Через Fx0 (x, y) =∂f1 (x, y)∂y1∂f2 (x, y)∂y1∂f1 (x, y)∂y2∂f2 (x, y)∂y2∂y1∂y2∂xn...∂f1 (x, y)∂ym∂f2 (x, y)∂ym...0Fy (x, y) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂fm (x, y)∂fm (x, y) ∂fm (x, y)....∂ymFy0 (x, y)Отметим, что матрицаявляется квадратной порядка m, а матрица Якоби F 0 (x, y) повсей совокупности переменных может быть записана как блочная матрица Fx0 (x, y) Fy0 (x, y) .Отметим также, что определитель квадратной матрицы Якоби (по части переменных или повсем переменным — неважно) называют якобианом.ÔÍ-12Теорема 16.5 (теорема о неявной функции (общий случай)). Пусть система mуравнений F (x, y) = 0, x ∈ Rn , y ∈ Rm , удовлетворяет следующим трем условиям:1) координаты точки (a, b) ∈ Rn+m удовлетворяют системе уравнений, т.е.
F (a, b) = 0;2) функция F (x, y) определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности Vточки (a, b), т.е. F ∈ C 1 (V );3) матрица Якоби функции F (x, y) в точке (a, b) по части переменных y невырождена, т.е.det Fy0 (a, b) 6= 0.Тогда в Rn+m найдется окрестность U точки (a, b), определяемая неравенствами |x − a| << δx , |y − b| < δy , в которой система уравнений F (x, y) = 0 разрешима относительно группыÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12∂x2ÌÃÒÓÌÃÒÓи∂x1ÔÍ-12ÔÍ-12и Fy0 (x, y) =будем обозначать соответственно матрицы Якоби функции F по части∂yпеременных x и по части переменных y, т.е.∂f1 (x, y)∂f1 (x, y)∂f1 (x, y)...∂x2∂xn ∂x1 ∂f2 (x, y) ∂f2 (x, y)∂f(x,y)2...0Fx (x, y) = ∂x1∂x2∂xn. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . ∂f (x, y) ∂f (x, y)∂fm (x, y)mm...ÌÃÒÓÌÃÒÓ∂F (x, y)∂F (x, y)∂xÔÍ-12где функции f1 (x), . . . , fm (x) определены в некоторой области X ⊂ Rn+m . Был рассмотренчастный случай системы (16.16) при m = 1, т.е. случай одного уравнения, при котором использовался аппарат скалярных функций нескольких переменных. Остановимся на общем случаесистемы (16.16), используя аппарат векторных функций нескольких переменных.При изучении системы (16.16) удобно использовать векторные способы записи. Подобнуюсистему будем записывать в виде F (x, y) = 0, где x ∈ Rn объединяет переменные, значениякоторых задаются произвольно (свободные переменные), y ∈ Rm объединяет переменные, относительно которых решается система (зависимые переменные), а F : Rn+m → Rm — некоторая,вообще говоря, векторная функция нескольких переменных.Поставим вопрос: при каких условиях система F (x, y) = 0 разрешима относительно перемен-ÌÃÒÓÌÃÒÓРанее (см.
11.1) было введено общее понятие неявной функции (неявно заданной функции)как решения системы уравненийf1 (x1 , x2 , . . . , xn+m ) = 0,f (x , x , . . . , x2 12n+m ) = 0,(16.16). . . . . . . . . . . . .fm (x1 , x2 , . . . , xn+m ) = 0,ÌÃÒÓÔÍ-1216.4. Теорема о неявной функции (общий случай)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ85ÌÃÒÓÌÃÒÓy=ϕ(x)y=ϕ(x)y=ϕ(x)Из этого матричного уравнения получаемϕ0 (x) = − Fy0 (x, y)−1y=ϕ(x)Fx0 (x, y),y=ϕ(x)ÔÍ-12Замечание 16.2. Как и в скалярном случае, теорема 16.5 не только дает формулу вычисления матрицы частных производных (матрицы Якоби) неявной функции, но и устанавливаетдостаточные условия существования неявной функции в окрестности заданной точки.Формула (16.17) может быть получена по правилу дифференцирования сложной функции впредположении, что в дополнение к условиям теоремы 16.5 выполнено условие: неявная функция y = ϕ(x), определяемая системой F (x, y), дифференцируема в точке a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
