Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени

государственный технический университет им. Н. Э. Баумана

Домашнее задание

по курсу

“Теория вероятностей”

Вариант 24

Студент группы БМТ1-51

Южанинов А. В.

Преподаватель Михайлова О. В.

2000 г.

Задача 1. Для уменьшения общего количества игр 20 команд спортсменов разбиваются по жребию на две группы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.

Решение:

Общее число элементарных исходов

Число благоприятных исходов

Ответ:

Задача 2. Экзаменационные билеты содержат 50 разных вопросов. В каждом билете 2 вопроса. Чтобы сдать экзамен, студент должен ответить на оба вопроса билета. Сколько вопросов студент может позволить себе не знать, чтобы сдать экзамен с вероятностью 0,98.

Решение:

Общее число элементарных исходов (вариантов билетов)

Число благоприятных исходов , где n – число вопросов, которые студент не знает.

это неравенство выполняется при и при .

Ответ: 0.

Задача 2.

Решение (второй вариант):

где ,

, где k – число вопросов, которые знает студент.

Неравенство выполняется при и .

Проверка:

Ответ: 0. Студент должен знать все вопросы.

Задача 3. Имеются 2 случайные величины Y и X, связанные соотношением Y=4-3X. Величина X распределена по закону равномерной плотности на интервале (-1,3). Найти математическое ожидание и дисперсию величины Y, корреляционный момент величин X и Y и их коэффициент корреляции.

Решение: Величина X имеет плотность распределения

Определим математическое ожидание MX случайной величины X

По определению дисперсии DX случайной величины X

Математическое ожидание MY(X) функции Y(X) от непрерывной случайной величины X можно вычислить, используя формулу

Вычислим дисперсию Y(X):

По определению корреляционного момента cov(X,Y)

Найдем коэффициент корреляции ρ(X,Y)

Ответ: MY=1, DY=12, cov(X,Y)=-3, ρ(X,Y)=-1

Задача 4. Вероятность случайного события равна 0,81. Выполнено 5000 испытаний. В каком интервале с вероятностью лежит наблюдаемая частота случайных событий. Решить задачу, используя неравенство Чебышева и интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Решение:

В данном случае “велики” и число n=5000 испытаний по схеме Бернулли, и вероятности p=0,81 успеха и q=1-p=0,19 неудачи в одном испытании, поэтому можно воспользоваться интегральной формулой Муавра-Лапласа.

Согласно этой формуле вероятность того, что число успехов k заключено в пределах от k₁ до k₂, справедливо приближенное соотношение

Функцию Φ₀ называют интегралом Лапласа.

Найдем наиболее вероятное значение числа успехов. Представим число успехов k в n испытаниях по схеме Бернулли в виде

где k_i – число успехов в i-м испытании.

Выберем k₁ и k₂ симметричными относительно Mk

тогда

Вероятность того, что число успехов лежит в интервале

Решая численно уравнение

найдем b≈60,17 т.к. то b необходимо округлить в большую сторону

Найдем искомый интервал с использованием второго неравенства Чебышева

Для того чтобы найти дисперсию представим k в виде суммы, как это делалось при нахождении Mk

Дисперсия каждого слагаемого равна:

Учитывая, что случайные величины k_i являются независимыми, получаем

Из (4.12) находим оценку вероятности попадания k в интервал [Mk-b;Mk+b]

Решая это уравнение, найдем , что совпадает со значением, полученным при решении с использованием формулы Муавра-Лапласа. Далее решение полностью аналогично.

Ответ: .

Задача 5. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с плотностью распределения ,где α=-1,7 σ=3,3. Найти плотность распределения вероятностей p_Y(y) случайной величины Y=f(X). Функция y=f(x) представлена на графике.

Решение:

Найдем вероятности того, что функция случайной величины принимает заданные значения:

Отсюда находим плотности вероятностей:

При –1<x<0 плотность вероятности можно найти по общей формуле:

Ответ:

Задача 6. Ковариация случайного процесса , где . Случайные процессы x и y связаны соотношением , где a=5, c=0, h=2. Спектральная плотность процесса x: .

Решение:

Процессы x и y связаны соотношением , следовательно, их спектральные плотности связаны соотношением:

, где

Т. к.

Ответ: .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов домашнего задания