Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(МГТУ им. Н.Э.Баумана)

________________________________________________________________________

Факультет

«Специальное машиностроение»

Домашнее задание по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант № 5

ИСПОЛНИТЕЛЬ

студент гр. СМ 10-71 Жарков Михаил

1	2	3	4	5	6

Москва 2019

Задача 1.

Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в табличном виде:

pij		xi
		1	3	5
yj	0	1/9	1/9	1/9
	3	0	1/6	1/6
	5	0	0	1/3

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 3] и дисперсию D[X/Y = 3].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

Решение

1/9+1/9+1/9+1/6+1/6+1/3=1/3+1/3+1/3=1.

Условия нормировки выполняется.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

Сложим вероятности по столбцам, получим закон распределения Х:

Сложим вероятности по строкам, получим закон распределения Y:

Математическое ожидание Х:

Математическое ожидание Y:

Центр рассеивания случайного вектора (X, Y) M[x,y]=(M[x],М[y])=(4, ).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 3] и дисперсию D[X/Y = 3].

Найдем закон распределения X при условии Y=3.

Условные вероятности X .

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Найдем ковариацию X и Y.

Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.

Ковариационная матрица

Коэффициент корреляции

Корреляционная матрица .

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1) Случайная величина X+Y принимает значения с вероятностями .

Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.

Закон распределения X+Y:

.

2) Случайная величина XY принимает значения с вероятностями .

Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.

Закон распределения XY:

.

Задача 2.

Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | –0 x  5, -5y3}.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

Функция плотности совместного равномерного распределения в области G постоянна и равна

Одномерные плотности вероятности распределения X и Y

Так как

Случайные величины X и Y также распределены равномерно. Математические ожидания равны

То же по формулам для равномерного распределения:

Центр рассеивания случайного вектора (X, Y) M[X,Y] = (M[X],M[Y]) = (2,5;-1).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

Условная плотность вероятности

Плотность вероятности X при условии Y=0: _x(x/y=0) = 1/5.

Условное математическое ожидание (так как X и Y - независимы):

условная дисперсия

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Найдем ковариацию X и Y:

, так как Х и Y - независимы

Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.

;

;

То же по формулам для равномерного распределения:

Ковариационная матрица .

Коэффициент корреляции .

Корреляционная матрица .

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1) По определению функции р аспределения, .

Вероятность того, что X+Y<s, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника G, которая лежит ниже прямой , к площади всего прямоугольника, равной 40.

Из рисунков видим, что

при s-5: S₀=0; при -5<s0: при 0<s3: S₀=12,5+5s;

при 3<s8: при s>8: S₀=40.

Плотность вероятности

2) .

Вероятность того, что X·Y<z, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника, которая в 1-й и 4-й четвертях плоскости лежит ниже гиперболы , к площади всего прямоугольника, равной 40.

Из рисунков видим, что

при z  -25: ,

при -25< z 0:

при 0< z 15:

,

при z >15: S₀=40.

Плотность вероятности

Задача 3.

Пусть время до отказа рассматриваемого изделия подчиняется экспоненциальному закону с параметром , где  — неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка:

122.75 с, 74.87 с, 140.06 с, 48.3 с, 15.32 с, 250.71 с, 37.37 с, 197.73 с.

Найти оценку параметра , используя различные способы.

Решение:

Плотность вероятности экспоненциального закона распределения , λ – неизвестный параметр.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов домашнего задания