Кирьянов Д. - MathCad 11 (1077323), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Подстановка значения переменнойх+ b• х/substitute , k = а • х(4)-» sinii-ца • х + b • x)138Часть II. Точные вычисления5.2.9. Матричная алгебраСимвольный процессор Mathcad позволяет аналитически выполнять самыеразные матричные вычисления. Помня о том, что большинство операций ивстроенных функций осуществляются над матрицами точно так же, как надобычными числами, к матричным вычислениям можно применять рассмотренную выше команду упрощения (Simplify) из меню символьных вычислений.Кроме того, имеется ряд специфичных матричных операций, которые можно организовать либо с помощью пункта меню Symbolics / Matrix (Символика / Матрица), либо с помощью нескольких кнопок на панели Symbolic (Символика), относящихся к матрицам (см.
рис. 5.2). Это следующиематричные операции:•Transpose (Транспонирование);• Invert (Обратная матрица);•Determinant (Определитель).Выполняются действия с матрицами в той же последовательности, что ирассмотренные символьные операции со скалярными переменными. Передих применением не забывайте выделить в выражении матрицу, к которойбудет относиться операция.5.3. Математический анализНаиболее ярким проявлением возможностей символьного процессора вMathcad являются аналитические вычисления пределов, производных, интегралов и разложений в ряд, а также решение алгебраических уравнений. Всеэти операции при выполнении их посредством меню Symbolics (Символика)находятся в его подменю Variable (Переменная). Соответственно, требуетсяпредварительное выделение в выражении переменной, относительно которой будет совершаться операция.
Для выделения переменной достаточнопоместить ее между линиями ввода, но для большей наглядности лучше выделить ее черным цветом путем протаскивания указателя мыши через нужную часть выражения.Все перечисленные операции можно осуществлять и при помощи операторасимвольного вывода. Применение этого способа описывается в соответствующих главах части III (за исключением разложения в ряд, освещенногов разд.
5.3.3). Ниже в этом разделе приводятся сведения о проведении операций математического анализа посредством меню.ПримечаниеСимвольный поиск предела функции описан в разд. "Вычислительные операторы" гл. 3).Глава 5. Символьные вычисления1395.3.1. Дифференцирование (Differentiate)Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Symbolics /Variable /Differentiate (Символика/Переменная/Дифференцировать) (рис. 5.13).1Mathcad - [pic5.12.mcdla] Eite £<й View Insert Format lools J SymbolicsD *HelpSimplifyExpand£actorCollectPfllynomial Coefficientssinlk•x+ bcos^k+ bxj-к( 2 k x + b)У =i—l£xpandlo Series,,.Convert to Paitial FractionРис. 5.13.
Дифференцирование по переменнойВ результате в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно применитеэту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Так же находятся и производные высших порядков.5.3.2. Интегрирование(Integrate)Для вычисления неопределенного интеграла от некоторого выражения поопределенной переменной выделите в выражении переменную и выполнитекоманду Symbolics / Variable / Integrate (Символика / Переменная / Интегрировать) (рис. 5.14). Вычисленное аналитическое представление неопределенного интеграла появится ниже. При этом результат может содержать каквстроенные в Mathcad функции (см. гл.
10 и приложение 3), так и другиеспецфункции, которые нельзя непосредственно рассчитать в Mathcad, носимвольный процессор "умеет" выдавать их в качестве результата некоторыхсимвольных операций.ПримечаниеБолее подробную информацию о символьном решении алгебраических уравнений, дифференцировании и интегрировании (с применением оператора символьного вывода), включая вычисление производных высших порядков, определенных кратных интегралов, можно найти в части III этой книги (см. гл.
7).140Часть II. Точные вычисления£xpand to Seriet..Convert lo Р«Ла1 FlectionРис. 5.14. Интегрирование по переменной5.3.3. Разложение в ряд (Expand to Series)С помощью символьного процессора Mathcad возможно получить разложение выражения в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х=о, т. е.представитьвыражениевокрестноститочкихсуммойвидаa o +aix+a 2 x 2 +a 3 x 3 +... Здесь a i ~ некоторые коэффициенты, не зависящие отх, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих висходное выражение. Если выражение имеет в точке х=о особенность, тосоответствующее разложение называют рядом Лорана.Чтобы разложить выражение в ряд:1. Введите выражение.2.
Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложение в ряд.3. Выполните команду Symbolics / Variable / Expand to Series (Символика /Переменная / Разложить в ряд) (рис. 5.15).4. В появившемся диалоговом окне (рис. 5.16) введите желаемый порядокаппроксимации (Order of Approximation) и нажмите кнопку ОК.Результат разложения появится под выражением (рис. 5.17).Внимание!Не забывайте, что разложение строится только в точке х=о. Чтобы получитьразложение в другой точке х=а, можно, к примеру, подставить вместо переменной х значение х-а (см.
разд. 5.2.8).Глава 5. Символьные вычисления141>Malhcad-[pic5.12.mcd]jo) Fife 'fdit View Insert Fsrmat X00'8.[Syrriiolics Window JHepl^ ЩID -sinlk-xEvaluate£impfflyExpandPoylnomai l Coef ficienls+ b-Sovl eIransfoFmEvaluation Style..**"""&iffereniia(eIntegrateРис. 5.15. Подготовка выражения для разложения в ряд по переменной хРис. 5.16. Разложение в ряд Тейлора2sin^k+b2<•*+-)-163-12к•b24К +( г L[ 120512".b)..»+o(x«)|Рис. 5.17. Результат разложения в ряд ТейлораДля разложения в ряд альтернативным способом, с помощью операторасимвольного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Symbolic (Символика). После ключевого словаseries, через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации (листинги 5.13 и 5.14). Сравнение функции и ее разложений в ряды с разными порядками аппроксимации (для к=ь=1) иллюстрируется рис.
5.18. Видно, что разложение в рядхорошо работает в окрестности точки х-о, а по мере удаления от нее всесильнее и сильнее отличается от функции.Часть II. Точные вычисления142Листинг 5.13. Разложение выражения в ряд с разнымпорядком аппроксимацииsin\k 'X + b • xj s e r i e s , x , 2 —* b • x•*)• [,2 ,)..,2 ,s i n ^ k • x + b • x/ s e r i e s , x , 3 —^ к • x . + b • xsinl^k - x" + b • x) s e r i e s , x , 4 —> b • x + к • x2\s i n l k • x + b • x/ s e r i e s , x , 5 —» b • x + к • x4;2 ^ - 3 3-b -x2 4j •x2 ^ - 33^' b >x•62Листинг 5.14. Разложение выражения в ряд по разным переменнымsinlk-x+ b ..„)-x; series, k,3^ s i n ( b - x ) + c o s ( b - x ) >x -k- s i n ( b ' x ) -x -k2+ b • x/ s e r i e s , b , 3 - > s i n \ k - x•x-b- s i n ^ k ' X 1-х-b2aimkx +b-xJ.
г 1 з гbx+kx — b x6bx+k-xг 1 ъ э 1 2b x —kb xб2-2-1.5"I^D.500.51.5Рис. 5 . 1 8 . функция и ее разложения в ряды Тейлора5.3.4. Решение уравнений (Solve)С помощью символьного процессора можно вычислить аналитически значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для этого:1. Введите выражение.2. Выделите переменную, относительно которой будет решаться уравнение,приравнивающее выражение к нулю.Глава 5.
Символьные вычисления1433. Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable/ Solve (Переменная / Решить) (рис. 5.19).Примечание)Подробная информация о символьном решении алгебраических уравнений изложена в части IU (см. гл. 8). В частности, там рассказано о возможности решения систем уравнений и задании уравнений в привычной для нас форме логического равенства.Z% Mathcad - (pic5.12 mcd]..'|«] File £dit i/iew Jnsert Fflrmat Jools , Symbolics Window HelpEvaluate• 5" вSimplifyExpand2+4•-.. ' •%:.
-.^V '.MЬ W - \Ш4 'z}£oli@ctPolynomial CoefficientsVariableMatrixXfanslormEvaluation Style...4••SolveSubstii^ •differentiateintegrateExpand to Series...Convert to Partial FractionРис. 5.19. Символьное решение уравнения5.4. Интегральные преобразованияИнтегральные преобразования, по определению, ставят в соответствие некоторой функции f (х) другую функцию от другого аргумента F(M). Причемэто соответствие f(x)->F(w) задается интегральной зависимостью. Символьный процессор Mathcad позволяет осуществлять три вида интегральныхпреобразований функций — преобразование Фурье, Лапласа и Z-преобразование. Наряду с прямыми преобразованиями, имеется возможность совершать любое из этих трех обратных преобразований, т.
е. F(w)->f (x).Выполняются все символьные интегральные преобразования аналогичноуже рассмотренным операциям. Для вычисления преобразования выражения выделяется переменная, по которой будет осуществляться преобразование, и затем выбирается соответствующий пункт меню. Преобразования сприменением оператора символьного вывода используются с одним из соответствующих ключевых слов, вслед за которым требуется указать имянужной переменной.Часть II. Точные вычисления144Приведем примеры символьного расчета каждого из трех интегральных преобразований.5.4.1.
Преобразование Фурье (Fourier)Преобразование Фурье представляет функцию f(x) в виде интеграла погармоническим функциям, называемого интегралом Фурье:F(ffl) = Г f {х) • e x p (-icox) d x .•Mathcad - [pic5.12.mcd]0 * £«йFgmat Xools j Symbolics ^bdow ЦЫрi % ВEvaluate1!5implifyEispandEactoiCollectPerennial CoefficientsYПРис. 5.20. Расчет Фурье-преобразования при помощи менюАналитический расчет преобразования Фурье при помощи меню показан нарис. 5.20. В листинге 5.15 приведены два примера вычисления прямого преобразования Фурье с применением ключевого слова fourier и операторасимвольного вывода —>.
Листингом 5.16 иллюстрируется обратное преобразование Фурье одной из функций предыдущего листинга.ПримечаниеВ Mathcad преобразование Фурье можно вычислить и с помощью численногопроцессора, использующего популярный алгоритм БПФ (см. разд. "Преобразование Фурье" гл. 14).Г Листинг 5.15. Прямо* преобразование Фурьеcosх(x)fourier+4 f o u r i e r , х,x- » K ' A ( W - I ) + 7I-A(CU+I)-> - 2 п-& (l , ш) + 8 -п- Д ( ш)\Глава 5. Символьные вычисления145Листинг 5.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
