Гурский Д., Турбина Е. - Вычисления в MathCad 12 (1077322), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В последнем случае имена переменных нужно указать через запятую в маркере оператора collect в той последовательности, в которой они должны быть вынесеныза скобку. В случае дробных выражений вынесение общего множителя за скобку будетпроводиться как в числителе, так и в знаменателе. Если слагаемые должны быть распределены по нескольким группам, то выражение придется разделить на части и one-7.4.
Разложение на элементарные дроби* 239рировать с каждой из них по отдельности (или, что вероятнее всего, выполнить этуработу придется самостоятельно). Также нельзя вынести за скобку произведение двухпеременных. В выражениях из функций вынести общий множитель за скобку можно,прописав нужную функцию в правом маркере оператора collect. Если же необходимовынести за скобку несколько множителей-функций, их, как и в случае переменных, необходимо последовательно прописать через запятую в маркере оператора collect.Оператор collect объединяет в одну группу члены, в которые переменная, по которойпроводится преобразование, входит в одинаковой степени.
Поэтому, например, выражение х2+х+1 не будет представлено им как х-(х+1)+1. Вообще же, группировка членов многочлена «лучшим образом» — это чрезвычайно нагруженная интеллектуальнозадача. Поэтому оператор collect, в общем, довольно редко используется на практике.Из-за того, что нельзя указать, какое именно выражение должно быть вынесено заскобку, он малополезен для большинства задач. Увы, но их пока придется решать набумаге.Пример 7.8. Вынесение общего множителя за скобку3 2 33 2 2x y z + x y z3 2 3 3 2 2x-y-z+x-y-z2 3 22 2 2 , ,/ 2 32 24 3 / 3 2+ х-у • z + х-у • z collect, x -> гу z + у z 1-х + l y2 3 22 2 2 . .23 217 32 24 2z + y -z 1-х2\ 32 £1 2+ x - y - z + x - y - z collect,y, x,z —> x -y -z + [\z + z 1-х + x -z J-ysin(x)cos(x)+ sin(x) collect, sin(x) —> (cos(x)2 xxx2x e cos(x) + 5e sin(x) + Зх-e -cos(x)xс+ lYsin(x)sin(x) collect,cos(x),sin(x),ex—»Л\ x(-cos(x) + 5(2-х2 + 3-xleV\Xx-e -sin(x)7.4.
Разложение на элементарные дробиОдной из самых объемных и трудных в вычислительном плане задач символьной алгебры является разложение какого-то сложного дробного выражения на более простые, в идеале — линейные, дроби. Эта задача важна прежде всего при подсчете интеграла от отношения двух полиномов и встречается в любом вузовском типовом расчетепо математическому анализу. Кроме того, разложение на элементарные дроби — этоодна из основных операций, использующихся при упрощении выражений.В Mathcad имеется специальный символьный оператор convertparfac (от англ. Convertto Partial Fraction — разложить на элементарные дроби), проводящий рассматриваемую операцию.
Вводится он нажатием кнопки parfac панели Symbolic (Символьные).В его левом маркере прописывается подлежащее преобразованию выражение, в правом — переменная, исходя из которой преобразование должно проводиться (программа не может самостоятельно различить переменную и параметры).Обычно на элементарные дроби раскладывается выражение, представляющее собойотношение полиномов. Однако можно разложить и выражение, в котором в качествепеременных полинома выступают функции (см.
третье преобразование в примере 7.9).2 4 0 • Глава 7. Упрощение выражений и алгебраические преобразованияПример 7.9. Разложение на элементарные дроби выражений различныхтипов3 .»х -Зх+2convert ,parfrac,xх+2. ,.2( х - 1)-Зх 2 + (2-Ь + 2а + 2с)-х - b e - ab - а-с-1-convert, parfrac,x —>•x3 + ( - a - b - c ) - x 2 + ( b c + ab + a-c)x-a-bcx a1x1схbcos(x) + 2-sin(x)__ . , .
,.11:convert ,panrac,sin(x) —>нsin(x)-(cos(x) + sin(x))sin(x)cos(x) + sin(x)Очень полезен оператор convert parfac для упрощения интегрирования рациональныхфункций. Конечно, найти первообразную в Mathcad можно и сразу, используя оператор неопределенного интеграла панели Calculus (Исчисление).
Однако такой подход невсегда приемлем. Например, если вы студент и решаете домашнее задание, то без промежуточных выкладок не обойтись. При интегрировании же рациональных функцийсамый трудоемкий и скучный этап — это разложение отношения полиномов на элементарные дроби. Именно его стоит доверить Mathcad.Пример 7 . 1 0 .
Интегрирование рациональной функцииПусть стоит задача найти интеграл от функции вида:х3 + 5 х 2 - 13х-9х4-10х2+9Данная функция является рациональной, поэтому к форме, пригодной для прямого интегрирования, она приводится разложением на элементарные дроби.х3 + 5 х 2 - 1 3 х - 9•convert, parfrac.x ->111+1+х-1х + 3 2-(х-3)2-(х+1)x 4 _ 1 Q x 2 + 9Проинтегрировать полученное выражение очень просто, помня, что первообразной для 1/а является 1п(а). Итак, ответом будет:1п(х- 1) - 1п(х+ 3) + --1п(х- 3) + --1п(х + 1) + С = ln22(X1>V(x+1)(х^3) ,х+3Аналогичный результат будет получен и при использовании оператора неопределенного интеграла:х + 5х — 1 Зх — 911dx-> ln(x- 1) - 1п(х+ 3) + --1п(х- 3) + 22х4-10х2+97.5.
Выполнение подстановки и замены переменных* 2417.5. Выполнение подстановки и заменыпеременныхОчень часто при символьных расчетах возникают ситуации, требующие замены переменной в выражении на другую переменную или некоторое выражение. Например,замена может понадобиться для упрощения вида выражения или уменьшения его размеров. Наиболее просто подстановку можно осуществить, воспользовавшись специальным символьным оператором substitute (Заместить).
Для этого проделайте следующую последовательность действий.1. Выбрав соответствующую команду панели Symbolic (Символьные), введите оператор substitute (Заместить).2. В левый маркер оператора внесите выражение или его имя.3. В правом маркере сделайте запись вида а=Ь, где а — замещаемая переменная, b — подставляемое значение. Если заместить нужно две переменные, то через запятую делается еще одно аналогичное присваивание.
В качестве знака равенства в данномслучае следует использовать логическое равенство (Bold Equal — Ctrl+=).Оператор substitute позволяет замещать не только переменные, но и функции и дажецелые выражения. Например, чтобы заместить sin(x) на t, в правом маркере оператораsubstitute достаточно набрать «sin(x)=t».Пример 7.11. Упрощение выражения с подстановкойЗадача: упростить выражение видапри условии, чтох=Решение: выполняем подстановку выражения для х с помощью оператора substitute, а затемупрощаем выражение с использованием оператора simplify.1-Ь2х -2х+ /bsubstitute, х = •1 -0simplifyПри проведении аналитических преобразований операция подстановки весьма востребована. Причина этого заключаетя в следующем. То, насколько эффективно символьный процессор будет проводить операции вроде разложения на множители или поиска корней, очень сильно зависит от вида выражения.
Так, если в выражении есть корни,то система с ним работает неважно. Однако эффективность работы аналитическогопроцессора можно резко повысить, если выполнить такую замену, чтобы корни исчезли. Сильно упрощенный пример, демонстрирующий описанный подход, приведенниже. С более реалистичными примерами мы встретимся в следующем разделе.2 4 2 •:• Глава 7. Упрощение выражений и алгебраические преобразованияПример 7.12.
Приведение выражения к более простому виду посредствомзамены переменныхЕсли попытаться разложить выражение в его первоначальном виде, то должного упрощения произведено не будет.1л/х + л/у1expand —>\_21х2+уххх-у~ У~УСимвольный процессор плохо справляется с выражениями с корнями, поэтому нужно осуществить такую подстановку, чтобы корни исчезли.,Vх + УУ22ггsubstitute ,\]x = m,\Jy = n , x = m ,y = n ->х-уm +n2 2т -пТеперь выражение будет разложено так, как нужно.m+ n2 2т -пexpand-1п- тВыполняем обратную подстановку, получая окончательный ответ.1substitute , т = \fk, n = >/уm- nх2-у27.6. Комплексное упрощение выраженийНа практике упрощение выражений редко сводится к проведению операций какого-тоодного рода. Чаще для того, чтобы преобразовать выражение в более простую форму,требуется задействовать несколько операций.
Например, над результатом символьного дифференцирования может понадобиться сначала провести операцию приведенияк подобным слагаемым, а уж затем попытаться вынести общие множители за скобку.Упрощение, для осуществления которого нужно провести несколько операций различного рода, мы будем называть комплексным. В простейших случаях аналитическийпроцессор Mathcad способен проводить комплексное упрощение выражений.
Служитдля этого специальный символьный оператор simplify (Упростить).По большому счету, возможности оператора simplify представляют собой частичнуюсумму возможностей остальных операторов алгебраических преобразований. Он может, подобно оператору expand, проводить разложение выражений. Аналогично оператору factor, simplify может осуществить приведение двух дробей к общему знаменателю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
