Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Скуднева О.В. - Степенные ряды (1077050)
Текст из файла
их значениях переаМнйвй>за! М, . одимостн: П ример 1.2. Найт т" Х вЂ”вЂ” 1+хз ' Проверим ири как обходимый признак сх .л 1ии и„(х) -= 1ин —-- '-! +хз" Овределеиве. Рял 1 1йн и (х) — 1>щ — — —:. 0 п~- л" + х" 1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ~', и„(х) ..-- и> (т) 1-из (х) >-... +и„(х!+..., (1.1) л=-> где члены ряда и> (х), из (х), ..., и„(х),... являются функциями переменной х, называешься функциональным рялом. Поде~являя в этот ряд конкретное числовое значение х == хс, мы получим числовой ряд х. и„(>в) =- и> (хо) 1 и (ха) » .,- и„(хс) ч ..., кот»рь>й можетокаи:- > заться как сходящимся, >ак и Васко>>яиц>чся.
Определение. Совокуцнос>ь всех значений переменной х, для которых получающиеся числовые ряды сж>дятся, назл>вастся областью сходимюсзн функцио>ильного ряда ( !.1). Пример 1.1. Найти ооласгь сходимости функционального ряда 1 Х вЂ”; „.=> л Ьх- 2 При любом «>иксированном х получаем знакоцоложнтельный ряд. Необходимый признак сходимости яыцолняется нри любом х: В качестве достаточного применим признак сравнения с рядом 1 Днрихле Х вЂ”. Очевидно, что при любом х выполняется неравен„..> л~ ство ! ! л'з-хз лз' Ответ: область сходнмости данного ряда х е ( — »:+ ) 11.ооходимыи признак вь>подняетеязтрй> Применим радикальный достаточный и' дулен.
Если )х! < 1, то 11йт':" "йь-,; 1>в = = ~ — ~ =1х)..<'1з%",~~, !х! 1 )х( „,,-ГД вЂ”,— л ~ !+О~ ся абсол>отно, Если >х> > 1, то ''1(>11',,'."й>, . л,=х>я>)ч>,''>.„,",, ' ! — < ! =ь )х~ > 1, т; Е;;:!Е>~11,'::,~'. ,'х! ся абсол>отно. Ответ: область' або, Если значением:;;;„;;:: ': онального ряда .3'.:'1~>~ го ряда в Щ!ИФ~ф~'- ""'' Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит з ч ния х =л, т. е. сумма функционально>о ряла сама является функнне, фу ней областью определения ко>арой является область сходи- мости функционального ряла. 3>ичнт, мо>шю говорить о се ненре рыВности, дифференцировании, нигсгрнрован>н>.
а, слсдовагсл>>но и о таких же операциях нол члгнщмн Рядо, которьи> сходится к дан иой функции С(х). Схолнмость ряда (! 2) к н>с.>л,'>(л,>л> означас>; что )(н>,С» (лт>) =- П =-б(хо),с!!ел (хо) =- »! (>о)»г(ло) г .. », (ло) -л я час!Ич>гая ог) сумма ряда(!.2). )(ру>Ими словам н, лля,н>>бого с -.. О ншшс>ся >акое число М(е) .
О, что лля Вссл» . Л (!'> Вьн>ол!Сяе!Сл> нсравьч>с>щ> (!.л) (!>„(>з>)! .. Сс>!В) -..'>;,(>С), . с, где л»(х):: л(хо) — л» >хо) шпьиькгся ос го>кои ряза ! !.2), Если ряд 2. а„(х) сход!пся лля Всех зна ал>ш! Из некоторого ч .! множества, то каждому значении> л будет соога >с>вовоть свой чи- словой ряд и свое число Л', лри когороч будет вьшолня>пса нера- венство (! 3). Следова>ельне, .л' .>1(е,.л), г, с, вс.шчнна, заш>ся>цш> от выбора е и.лз Определение. Сйункцнонга>ьньш ряд 2»» (х) >щзывостся рав» номерно сходящимся в некоторой области О. сс.ш он сходится для всех х из этой области и лля любо!о еэО сущее>!бег гакос число гх(е) ) О, , зависящее от е. >ю не защкящсе о! .л, по для всех л > !т(е) выполняется неравенство !Ь', (хо) ! — !Ч(лз>) —.'>' ('х,) ~ < 10 ! ° >ло» >то) с е для любо!о х из рассматриваемой облас>н г.
ОЬЛАСТЬ СХОДНМОСТН Н О,)Н -НВ,~::::.':.:.::,-";:.;:-':.','":."'-'- СВОЙСТВА СТРПРННЫХ РЯДОВ -, .',~;;:!:! -:!>ул Нахождение области сходимости етейепнргр.;~""''"~- . Определение. Степенной ряд — это фуикциоиальивтФ ' Х ч а„(л.— ло) --- ао-! а>(л — хо) ч аг(х — хо) +',;.,+.,;:.;:(~':;:,':-~!!~%-'-'!"" » о +а> (х-.оса)~+!:.:"~ . где ао, а>,...,и„, ... — постоянные, называемые В(гафф !.>спснно>о ряда.
Теорема Абеля. Если степенной ряд ~'„аяф:,„"-'Чаф„,,"' ' >кко горой точке х =- х> з!: хо, то он сходится ВЫ~;, '" л, таких, что(х — хо( < (х> — хо(. Если степенной ря4 ф~~, ' зо>кс л. =- лг эс хо, то он расходится причдкг69М':„л"',,'." ." >л — хО> > !хг — хО(. Следе ! 1>НЕ. Каждому степенному ряду:...;3,".4В~Ф~, си>ус> лсйствительное число )! > О (или 'СИМОВ):"+:"'~»""' мое радиусом сходимости. Ври этом Виутрф.,:й))эйр! 21, ХО -! )Г) СтСПЕННОй ряд СХОдИтСя абСОйи>г)тат!т;, !ореола ряд расходится, поведение в граиичййх ' требует спдельного исследования.
Если !г =- +, то степенной ряд СХоЩЩ4' славой оси. радиус сходимости,числрноВг;, ' фнцнснтами формулами Копни — '. Ад~~~':-:-'-:" ! )йп фая(':,.:::;.,";;::;::;.'!.!~~-;, л(анные формулы подуча(1л~~ применения к ряду 2, )ц„>(В з(~ф мости: радикального Копи!:,ЩВу>; я области сходи нного ряда мости хождеии стене аюшийся из " ывая это, исм, сначала на гь ..;'Ъ~ достаточный:4 х числовой ряд, и накопеременным, итая х фиксирован значении олуч Учит „'::!!'',!":::,:"';.::':!':~:':"::'ряейеииого! можа~ оказат ;:;:,,;,,"':-;";: ' .~~лэфем ряд как чис ~':';..'-",:::,''-'-,;:;":,, абсолютную сходнмость !.
Применим к ря признак Даламбера ил мого признака можно а„+! (х — хс) !!пз 1а»» (х «0) ься з лавой, сч ны дулей 2. !а„(х-х с — радикальный (пр зть); ду из мо и Коши оверку необходи- пропусп л !! а =:!Л' !ап, !! хо! йп! — ' — .= !х '»»-, 1а ХО!А < 1, !х-. !1п,%!-~х „!4,, »»-Ф »»-> 1 ! х6 хе, «с+ — ), или х б («П — й, хс+Р) необходим Вие полученного интервала не ,„', В ' Зиак сходимости, следовательно, з 3 'Чтобы выяснить поведение " 'вйй 'в:исходный ряд по очереди зн !~а,',,:...",,:'::::::::~(!::::::, »~!(3+в. ' ! )' выполняется ый при- подста- расходится десь ряд ряда в гра ачения ничных точках х= хе+ А — =ХО+»т ые ряды димости ряда ' 2.
Решая зто неравенство, определим интервал абсолютной схо— димости .: ":.;:;;::3,4Ф,:,",.;-.„.'=';.-:,:.':„: =-"-:. "" -" "а ага';::(,::;~'~.'!,':~"::::::Г! ." к нему радикальный призна!! К»зш~~::.:: ' ':- -''.:::::. !!~~~~!~!'::.-.'!!!!~!!~ ~ ':;~!х~~~ й»п фа, (х — хс)" ( = !х — Ц !1нь .'.'- .. "- .':,."':.;.,': -"".'„.-',::.''!::-':;:-:;~!-;:::-':~',.:=',~~~:':,':„"~.'-.; Л вЂ” > : )х»Ц:!!М~3+~~' по признаку коши ряд сходится, если !!я»зз '".»1~цщ~.';-; '." ' згомх трсоуем выполнения неравенства3)х ц,<) Ней~бек 1 1 ! 2 -,::;:::;и':;:";:::.":::.",!:.~' ~'-!~:;"х-.'.
см ,'х — 1! < — ~ — - < х — ! < 3 3 — интервал абсолютной сходимости ряда;,', ':;:: ':;-:,',;"",,,::::-',:::.«',.'..:.!",',-;:,,':»'-"'-' Выясним повеление ряда в граиичиыххтое!секи,„ мости. 2 2, Подставляем х =- — в исходный'ряд:-:=::,::.",";:,",'-:":!;,~~Ю 3 —, — ('-"-.-'-') (-6'=~("',:::::: л ! 11олу шли знакоположительный ряд;;:!зр)~М~Ф)~~: об«олиного признака сходимости; „-:,-' ',".'~''-::~:,~„:»;;;:;::;:,,~г;.:~. !пп Ь„=- 1пп 1 — ~,=...„,((й(::,'~$:-:»г.';,;;" -"" 11собходимый признак не выпей»нМ,' — ":,':",' си.
3. Подставляем х = — в.ис. ' Х(- )",,":" а=.! "ся гяЛ '!ак как !!гв ггг»! Получили зиакочсрелуюьииися ря, « ев, ч о ! Ф О, яд в точке х -„- .!огне расти!лиг'2 4 з! '"- Ь,' Пример 22. Найти облас ! ь его!димости ря!га 1. С " диз модулей и и!гиысним к нему иризиакДа.гач. Составим ряд и бора! л~ г, а„! (х — хо, ! ' «и!Ии г« !а«(х — хо) ' =- — '<1=~Схг !!«! -"- - ох=--' — г< - ! 2: 'з-" -": -з -2«я -4.- х . О. И ак интервал х б !.-ч; О! — область абсолкнной схоличосги так,и е степенного ряда. Исследуем гюведсние раза в граничных !очках. 2.
Подставим х — — 4 в ряд: Х', „2«гг!пи ~«и!Ии Получили зиакочсрслуки!!ийся ря;!. Сос ! авич ря,! гг! ~!!1!!и!ей: — Необхоличый признак и!а!юлиег; !!Ил 6»,' »:.а и !пи « = !!Иг — = О. Нрнмеиич к ряду из модулей ичпсгральный при»-г и!и и знак; ггх ! ьг!!!х — - = / -- — — !и!!Их'~ х!Их l 1пх ' г 2 з Значит, интег ал 1 рал расходится и рял из модулей расхо;гится. ! ак как 1!!г»! = — манат ! отонно убывае~ при увеличении номера и, ряд усяовио сходится в точке х ==- -4 по признаку Лейбница ;: -'-,";,::,!,-::.:. - ';,уе ' 11олучили знакополо Путает: область б ! — 4; О! — облает сходится условно.
Приме «Ы! 2; ' ! !«-- «! сходнмост ь абсолктги р 2.Э. Н ьи !х— 2" иа айти облает з!" 1. Составим ряд из модул 1пп ~/!а„(х — хг! 11! 1 !х-З~ 1! »- !!олучили область абсолют Исследуем поведение ряда х!осз и. Полу чи!и! знакопеременн !!Пи! 2,' -'-----. Необходимый приз 112 ,'Ь„! = !!гн » -г Далее применим пр ряда из модулей не изнак сра превосходят 3. Подставим х = Овря 2. Поле гавим х =- 1 в ряд ь сходимостн ряде.",-.:,:, ';:;;,;:::.:-' ':!,:;:::!:",'1',";.'!:,::-':::!';::::;-';-:,::;:;,':- ей и приманим кнему зззз~~:-.':!з':, „Дя!пи~ !х-'3~ -У 2»из 2 \ ной сходимостн ряда х е (11„.-5у.;,—,;?,.";,'", в ! раничных точках облфбзтв'~'-,'-',:,';.::",',';:.',';'' !»2 2 ый ряд. Исследуем ряд -щ агг!~йф~!$~Ф:";"Р а чг !«гиг«! нак выполнен; . -'.:.':", '.::;,;;:,::-:-:"-;;,':~' "" * внения: !О»~ =-' ',:<:.":гг«! г'я 1 ;,'вел л1 ...~.;~:::*;!!'";*.',,:5,:-' в " Г.-. с ' 1л1и 'Я абс ниио Зпаи'' '„.к~::";;!',;:",„'„:~':",'.1 .,' .
',, а а»лл!х ' ' ), о !И1ск абсолни !к1 в !очке х ' 1, В точке х --- 5 стелсниой рял сходи!ел;к»солки по »см Ответ. Обла!ть абсол!Очной схо гомос!о лаппо!о ря га Пример 24.! »ай!и об мс!ь см!ллмос!и ряда 5 57. 1'2л ' 1) „.!1 4 7»ЗЛ 2)' 1, 4 оставим рял и ! молулсй и исс !слу см гл о!!о 1ции осаку Далям берн: и. 2), ''»сс с с 11' 51 ..":» уе 1 » 7 !2л ' 1) 1 7 С)л 3 5 7 . !!л ! 1!!2л ! 3~ 1 4 7 !!л 211)л, 1! ' 1в.б! ! 1х)! 1к„(х)~ и,, )л, 1 1хч 2! .. 3 2 2 Обидеть абсол!Отиой сх,; а и.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
