С.И. Масленникова - Расчёт переходных процессов в электрических цепях во временной области (1075978), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1.7, а соответствует схема для свободных токовна рис. 1.7, б. В схеме на рис. 1.7, б средняя и правая ветви замкнутынакоротко, т. е. схема состоит их двух электрически независимыхконтуров (рис. 1.7, в, г).Для схемы на рис.1.7, вZ1вх (p) = R1 + L p = 0;p1 = −R1.L11абРис. 1.6абвРис. 1.712гДля схемы на рис.1.7, гZ2вх (p) = R2 +1= 0;Cpp2 = −1.R 2CТаким образом, степень характеристического уравнения в каж%дом контуре равна 1.При размыкании левой ветви (см.
рис.1.7, б)⎛1⎞(R 1 + Lp) ⎜ R 2 + ⎟Cp ⎠⎝Zвх (р) == 0.1R 1 + Lp + R 2 +CpИз этого уравнения получим два корня: p1 = −R11; p2 = − .LCpЭто объясняется тем, что iсв = i1св + i2св.Пример 1.4. Для схемы рис.1.8, а определить число корней ха%рактеристического уравнения, не составляя самого уравнения.Схему на рис. 1.8, а приведем после коммутации к схеме наC 2C 3рис. 1.8, б, в которой L э = L1 + L2 ± 2M, Cэ = C 1 +.C2 + C 3Рис. 1.8Так как схема на рис.1.8, б имеет три основных независимых на%чальных условия: iL э (0), iL 3 (0), uC э (0), порядок характеристичес%кого уравнения равен трем.131.3. Расчет переходных процессовклассическим методомПеред началом расчета необходимо указать на схеме стрелкамиположительные направления токов и напряжений в схеме.Порядок расчета.1. Рассчитываем схему до коммутации в установившемся ре%жиме и определяем независимые начальные условия. Это единст%венный этап расчета, в котором используется схема до коммута%ции.
Все остальные этапы расчета проводятся для схемы послекоммутации.2. Для t ≥ 0 составляем характеристическое уравнение и опре%деляем его корни.3. Записываем уравнение для рассчитываемого тока или напря%жения в виде y(t) = yвын(t) + yсв(t). Рекомендуется проводить рас%чет для тока в индуктивности или напряжения на емкости, для ко%торых известны независимые начальные условия, так как это упро%щает нахождение постоянных интегрирования.
Вид корнейхарактеристического уравнения позволяет определить вид свобод%ной составляющей yсв(t).4. Для схемы после коммутации записываем систему диффе%ренциальных уравнений для мгновенных значений токов и напря%жений. Эта система уравнений позволяет определить вынужден%ные составляющие токов или напряжений (в общем случае) и зави%симые начальные условия.5. Пользуясь системой уравнений, полученных в п. 4, при t == ∞ определяем yвын(t) известными методами расчета установив%шихся режимов.6. Подставляя в систему уравнений из п. 4, записанную дляt = 0+, найденные в п. 1 независимые начальные условия, определя%ем зависимые начальные условия.7.
Пользуясь начальными условиями, находим постоянные ин%тегрирования.8. Записываем выражение y(t) в окончательном виде и строимграфик полученной временной функции.9. Остальные токи и напряжения целесообразно искать, поль%зуясь системой уравнений из п. 4, причем напряжение на индук%14тивности и ток в емкости наиболее просто определяются из соотно%diLduCшений u L = L, iC = C.dtdtПример 1.5.
Для схемы на рис. 1.9, а определить законы изме%нения напряжения на емкости и токи в ветвях, если дано: E = 120 B,J = 4 A, R1 = 10 Ом, R2 = 30 Ом, L = 50 мГн, С = 500/ 3 мкФ.Решение.1. Рассматриваем схему до коммутации (рис.1.9, б) и определя%ем ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости для мо%мента времени t = 0 из уравнений:uC (0–) = E = 120 B;uав(0–) =Eg 2 + J= 60 B;g1 + g2i1 (0 − ) =u ав (0 − )= 6 A.R1В соответствии с законами коммутации получаемuC (0–) = 120 B = uC (0+);i1(0–) = 6 A = i1(0+).2. Пользуясь схемой после коммутации для свободных токов(рис.1.9, в), составляем характеристическое уравнение и находимего корни:Lp + R 1 + R 2 +1= 0;CpLCp 2 + (R 1 + R 2 ) Cp + 1 = 0;1p1 = −200 ,c1p2 = − 600 .c3.
Выбираем в качестве искомой функции напряжение на емко%сти (можно выбрать и ток в индуктивности):uC = uC вын + uC св uC вын + A1l –200 t + A2 l –600 t.15абвгРис. 1.94. Для схемы после коммутации (рис. 1.9, г) записываем систе%му независимых уравнений для мгновенных значений токов и на%пряжений:J = i 1 + i 2;Ldi1+ R 1i1 − R 2 i2 − uC = 0.dt5. В установившемся режиме (t = ∞) ток i2вын = 0, так как схемапитается от источника постоянного тока. Следовательно,16i1вын = J = 4 A;u L вын = Ldi1вын= 0; uC вын = i1вынR1 = 40 B.dt6. При t = 0+ получаем: J = i1(0+) – i2(0+). Отсюда определяемduCiC (0 + ) i2 (0 + )Bi2(0+) = J – i1(0+) = –2 A и(0 + ) === −1200 .dtCCcdi1Замечание.
Если расчет ведем для тока i1, то значение(0 )dt +находим из уравненияLdi1(0 ) + R 1i1 (0 + ) − R 2 i2 (0 + ) − uC (0 + ) = 0;dt +di1R 2 i2 (0 + ) + uC (0 + ) − R 1i1 (0 + )(0 + ) == 0.dtL7. Постоянные интегрирования определяем из системы урав%ненийuC = uCвын + uCсв = 40 + A1l –200 t + A2 l –600 t;duC вын duC свduC=+= −200 A1 l − 200 t − 600 A2 l − 600 t ,dtdtdtкоторая при t = 0+ принимает видuC (0+) = 120 = 40 + A1 + A2,duC(0 + ) = −12000 = −200 A1 − 600 A2 .dtОтсюда находим значения постоянных интегрирования: A1 = 90,A2 = –10.8. Окончательно получаем закон изменения напряжения на ем%кости uC (t) = 40 + 90 l –200 t – 10 l –600 t.9. Показываем, как определять остальные переменные:i2 = iC = CduC= −3 l − 200 t + l − 600 t ;dt17i1 = J − i2 = 4 + 3 l − 200 t − l − 600 t ;uL = Ldi1= −30 l − 200 t + 30 l − 600 t .dtПример 1.6.
Для схемы на рис. 1.10 определить закон измене%ния напряжения на емкости, если дано: E = 120 B; R1 = R2 = R0 == 10 Ом; L = 0,1 Гн; С = 100 мкФ.Рис. 1.10Решение.1. Так как цепь подключена к источнику постоянного напряже%ния, то в установившемся режиме до коммутации индуктивностьимеет нулевое сопротивление, а емкость – бесконечно большое.ПоэтомуEi3 (0 − ) = 0; u L (0 − ) = 0; i1 (0 − ) == 4 A;R 0 + R1 + R2i2 (0 − ) =E= 4 A;R 0 + R1 + R2uC (0 − ) = i2 (0 − )R 2 = 40 B.В соответствии с законами коммутацииi2(0–) = 4 A = i2(0+);uC (0–) = 40 B = uC (0+).2.
Корни характеристического уравнения+Zвх(p) =R 1 (R 2 + Lp)= 0 равны p1, 2 = –δ ± jωсв = –100 ± j100.R 1 + R 2 + Lp181+CpПри комплексно%сопряженных корнях характеристическогоуравнения решение ищем в видеuC (t) = uC вын + (A1 cos ωсв t + A2 sin ωсв t) l –δ t.3. Используя уравнения для схемы после коммутации, опре%деляем требуемое для нахождения постоянных интегрированияduCзначение производной(0 + ):dtE = i1(0+)R1 + uC (0+) → i1(0+) = 8 A;i1(0+) = i2 (0+) + i3 (0+) → i3 (0+) = 4 A;duCiC (0 + ) i3 (0 + )A(0 + ) === 4000 .cdtCC4.
В установившемся режиме при t = ∞ вынужденная состав%ляющая напряжения на емкости равнаuC вын = i2 вын =ER = 60 B.R1 + R2 25. Определяем постоянные интегрирования, используя най%duCденные начальные условия uC (0 + ),(0 + ). Для чего в системуdtуравненийuC = 60 + (A1 cos 100 t + A2 sin 100 t)l − 100 t ;duC= (A1 100 sin 100 t + A2 100 cos 100 t)l − 100 t +dt+ (A1 cos 100 t + A2 sin 100 t)(−100)l − 100 tдля t = 0+ подставляем найденные значения:uC (0+) = 40 = 60 + A1;19duC(0 + ) = 4000 = A2 ⋅ 100 − A1 ⋅ 100.dtОткуда A1 = –20, A2 = 20.Следовательно,uC (t) = 60 + (20 sin 100 t − 20 cos 100 t)l − 100 t =π⎞⎛= 60 + 20 2 sin⎜100 t − ⎟ l − 100 t .⎝4⎠Пример 1.7.
Рассчитать все токи в схеме на рис. 1.11, а, еслидано:E = 120 B; R1 = R2 = R3 = 10 Ом; L1 = L2 = 0,2 Гн; M0,1 Гн.RçабРис. 1.11Решение.1. Определяем независимые начальные условия из схемы доEкоммутации i2 (0 − ) == 6 A = i2 (0 + ), i3 (0 − ) = 0 = i3 (0 + ).R1 + R22. Методом входного сопротивления составляем характеристи%ческое уравнение, устраняя предварительно магнитную связь(рис. 1.11, б):Z ( p) = R 1 − Mp +20[ R 2 + (L2 + M ) p][ R 3 + (L 3 + M ) p]= 0;R 2 + (L2 + M ) p + R 3 + (L 3 + M ) p0,03 p 2 + 10 p + 300 = 0;p =−100 1,3 c1p2 = −300 .c3.
Выражение для тока i2 записываем в видеi2 = i2вын + i2св = i2вын + A1 l−100t3+ A2 l − 300 t .4. Так как R2 = R3, то вынужденная составляющая тока равнаi2вын =E⎛R2 R 3 ⎞⎟2 ⎜ R1 +R2 + R 3 ⎠⎝= 4 A.5. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для по%слекоммутационной схемы:i1 R 1 + i2 R 2 + L2i2 R 2 + L2di2di3−M= E;dtdtdi2di3di3di2−M− i3 R 3 − L 3+M= 0;dtdtdtdti 1 = i 2 + i 3.Эта система при t = 0+ принимает следующий вид:i1(0+)R1 + i2 (0+)R2 + L2i2 (0+)R2 + L2− L3di2di3(0 + ) − M(0 ) = E ;dtdt +di2di3(0 + ) − M(0 ) − i3 (0 + )R 3 −dtdt +di3di2(0 + ) + M(0 ) = 0;dtdt +i1(0+) + i2 (0+) + i3 (0+).21Учитывая, что i3(0+) = 0, i2 (0 + ) = 6 A, получаем:i1 (0 + ) = 6 A,di2A(0 + ) = 200 ,cdtdi3A(0 + ) = 400 .cdt6. Постоянные интегрирования определяем из следующей сис%темы уравнений:i2 = 4 + A1 l−100t3−di2100=−A1 l3dt100t3+ A2 l − 300 t ;− 300 A2 l − 300 t .При t = 0+i2(0+) = 6 = 4 + A1 + A2;di2100(0 + ) = 200 = −A1 − 300 A2 .3dtОткуда А1 = 3, А2 = –1.7.
Окончательно получаемi2 = 4 + 3 l−100t3− 1l − 300 t .8. Ток i3 рассчитываем аналогично:i3 = 4 − 3 l−100t3− 1l − 300 t .9. Ток i1 = i2 + i3.Замечание. В зависимости от вида корней характеристическогоуравнения функция y(t) имеет различный вид.Пусть i(t) изменяется по закону: i (t) = 5 − 3 l − 100 t + 4l − 200 t . По%строим его график по составляющим i(t) (рис. 1.12), причем по рас%чету i(0–) 2 А.При построении графика учитываем следующее: 1) при t 0+ токi(0+) 6 А (ток в момент коммутации изменился скачком от 2 до6 А); 2) вторая экспонента затухает в два раза быстрее, чем первая;22di(0 ) = −500 A /c.
Последнее значение и его знак определяютdt +поведение тока в момент времени t 0+.3)Рис. 1.12Пусть ток iL(t) изменяется по закону iL(t) = 5 sin 400 t · l –100 t.График тока представлен на рис. 1.13.Рис. 1.1323При построении графика учитываем следующее: 1) iL(0+) = 0;diL2) по результатам расчета(0 ) = + 2500 A /c; 3) период коле%dt +2πбаний равен T == 0,0157 с = 0,01 мс, постоянная времени цепиω св11равна τ = =c = 0,01 мс.δ 1002.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМИНТЕГРАЛОВ НАЛОЖЕНИЯЭтот метод основан на сочетании расчета переходных процес%сов при постоянных источниках и принципа суперпозиции. Приэтом предполагается, что в схеме действует только один внешнийисточник сигнала.2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
