Щетинин А.Н., Губарева Е.А. - Введение в тензорный анализ (1075683), страница 2
Текст из файла (страница 2)
называемого твнзором кручения ?!рн Т == О связность называется сичл|етричной или связностью без кручени», т, е. Г~ 1 = 1» для всех ?., 1, т.. Если система координат фиксирована, будем использовать обозначение з7ь -= ч'х,. Пример 4.!. Пусть Х, =-- с,, » — 1, 2, 3, — станларгный базис и пространстве ',и'. Положим з7ху - Дх (11') Х„»ле У вЂ” з?'Х,. Легко увидеть, что мы получили линейную связность, лля которой все функции Г н» равны нулю. Она называется канонической линейной связностью в пространстве ?? .
3 Упражнение 4.!. Рассмо.грите пространство В» н положите 1 з7хУ вЂ” 'з1хУ» -Х х У, 2 гле T — каноническая связность. Проверьте, что мы получили линейную связность, для которой коэффициенты линейной связности равны 3 ° 1 2 1, 2 1 3 Г12 Г'' ' ?'з " ' Г13 Г'' Г»1 а остальные коэффициенты — нулю. 4.2. Ковариантная производная тензорных полей Пусть Х вЂ” векторное поле. Рассмотрим дифференцирование %'х алгебры 'Х(?»), удовлетворякяцее следующим условиям: 1) 17х ~ = Дх ! лля !»- й(П); 2) з7х?211(оз®У) =.
С»»ах(озЗУ) для аз ей»(П), У б Хз(??); 3) 17х У для векторных полей определяется формулой (4.1). з)..... в,.я. ,:;:~;.',.';-;:;~-".';:":::! ~::,::.:;::;:."'~~~~ф~ФФХ~)';=.: Сз (Фьвз9 Х, + е ЯЛ7~Х ) = (~„оз) . + г'.Та двз; ( 7 а г в ) У о ч Т В Итак Апя векторнык н ковекторнык полей Т коварнантная про Ииэмйпяаи.%'в-определяется соответственно по формулам (42) И', %;Т); = —,,', -?7,Т.. (4З) Теорема 4.А Ковариантные производные тензоров второго ран- га вычисиеатся по формулам (ту Т)" = — „+ Т'„~Т"'+ т', т': (4.4) (4.5) (4.б) Коварнантиая производная для тензоров произвольного ранга определяется по формулам, аналогичным (4.4) — (4,б).
Д о к аз а те л ь с т в о. Ограничимся случаем тензорного поля типа (2, 0). Использовав свойства 1 — 3 операции ~7ь, получим Чь ~Т1эг)х' 8 Ихз) =- 57ь (2';,) дх' З дх' + Т;, г7ь (дх' З (1х')— д7"ц = — ьг1х' З сЫ вЂ” Тц Ц„йх' К г!хз — 7;,Нх' Я Г~~дх' = Ио ! — — ТыТ~ — Ть '1"и г)х' В йх~, что и требовалось доказать. Пусть задана кривая х(х) = (х'(~), хя(~), хз(1)), а < ~ < Ь.
рассмотрим вектор скорости этой кривой ~(1) = ~~ (1), ~ (1), ~ ($)) ь 1" (1) = Ь— —. 1, 2, 3, Й Пусть Х вЂ” такое векторное поле, что на заданной кривой оно принимает значения, равные г,. Будем говорить, что тензорное поле Т параллельно вдоль кривой, если его ковариантная производная в каждой точке кривой по направленизо вектора скорости равна нулк1: т~„т -.—. и, а < Е < 1 Корректность этого определения вытекает из предыдущего замечания (см. подразд. 4.2).
Пусть Т =: У == ц~Х, — векторное поле. Имеем ут1з г',1т1ь Дх1 ~7, у -- 1' —, Х, 1 1' 1 Ч, л., = ~~ — - — г", з1 Х„ гух' ' сй й Поэтому условие параллельности поля вдоль кривой запишем в виде дт) лх' — + — Г~ ~1» = ()., й == 1. 2, 3.
сИ Й Поскольку система (4.71 линейиа. оиа имеет единственное решение с данными начальными условиями, причем решение существует для всех 1 из заданного отрезка, Таким образом. определен результат параллельного переноса вектора вдоль кривой (рис.4.!). (4.7) Рис.4.1 29 'Й взвяФ42 Ря митрии просеФаийзМщв„.:~~!"::"'-":.'-'::::::::;:;::!!';::'...",-:;;,~:„ где у — каноническая связность. Найдем парвллщ~' "," --': ":""~!!,'!!!!. вдоль кривой х ($) = х ф = О, х (4) = $, удовлетворявзйв1~.-:~!:!':;:;-:;,'",'':;: щпо зх (О) =- е1. Уравнения (4Л) примут вид ,( 1 1 1)2 1 ( 3 — — -ц2 == О; — +-г)1 =-О; — '=О,,: '!:;:::.) 2 ' гй 2 ' г(г Решения этих уравнений: 1) (() =сов —, з) (() =- — вгп-, з) (Ц=О 1, ~ 2 ( З 2' т.е.
при параллельном переносе наш вектор вращается вокру прямой. В этом разделе мы определили понятие ковариантной произвэдной формальным образом. Существует, однако, как и для производной Ли, конструкция взятия ковариантной производной операции: нужно в формуле (З.б) вместо отображения Ф 1 использовать перенос тензора, индуцированный параллельным переносом векторов. Тогда можно доказать все необходимые свойства оператора Tк, т.е. убедиться, что определенная таким образом операция совпадает с уже построенной операцией.
5, СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИТА ,йг~рдвяг ф х12 "ив~ гвя зввявзт '~~,ф~Щ™Ф '®М' ''у=2д ~Вв''-а'. Вх ~ (У" д)" = — -ГгьЫ Гзвдз ,ддй в а О и Дхь Переставив циклически индексы (, 1,, луч им (г, получим Г+ Г =- — ""' ( .2) д ~~,'Ь+ д г Ггя — — ' Г =- д'9'": (5З) д Г„,.д, а Гь дь (5.4) дьаГо + д~а Если обозначить (а), (б), (с) правые части формул (5.2) — (5.4), то в силу с 'имметричности связности имеет р место авенство (б) + ь'но с мич (с) — (а):-- ' дьь о ( ) .- 2 Г". Умножив это Равенство на д н просум ровав по й, получим формулу,' .
). (5,11 Связность, построенную в теореме 5Л, называют связносгвьго Леви- Чивита. Понятие ковариантного дифференцирования не связано ни с какой метрикой. Пусть в пространстве задана метрика. Связность называется согласованной с метрикой. если ковариантная производная метрического тензора д по направлению любого векторного поля Х равна нулю: т7хд =- О. В координатной записи зто означает следующее: (17ьд)о --- О, 1„1,)г =-1,2,3. Теорема 5.1. Существует и единственна симметричная нчная связность, согласованная с метрикой до. Эта связносгь в любо" любой систе- 30 Пример 5Л. В случае евклиловои метрики,'д„=- о =-о ) все Г" - О, т, е. связность Леви-Чнвнта совпадает с канонической ц- ° к е.
3 связностью в пространстве К . 5.2. П ть за гана гыоекоеть Лобачевского как верхняя Пример .. ус полуняоекоевгь (и > О), в которой задана метрика 2 Они -~- Й' гЬ „2 т. е. (д„) .. '„,; (д")— 1 2 1 6' зности равны нулю Т= и!(изд, Х =-!!д„ ((57я Т)',)-- е;,;,:=, !. ";;," Ф=.-„1 Г11 остальные коэффициенты свя Пример 5З, Пусть на плоскости Лобачевского, указанной в примере 52, задано тензорное поле Т типа (1, 1) и векторное пола Х, Найдем ковариантную производную ь' х Т.
Для этого применим формулу (4.5), считая, что х! =- и, хз = и. Тогда ! (х Т),' = — ', +Г,',Т,'+Г,',Т,' — Г!!!Т!1-- Г'„Т,' = дк й ..—.= 1 4 0 и 4 ~ — -) 0 — 0 и — — 0 ==. 1; и дТз 1 1 и — О! — и+О 0--0 0- — -Π—— и и и т. л, Так как ~!.! Т =:. иT ! Т, то в итоге получим Пи ример 5.4.
Пусть задан тензор Т (см. пример 5.3). Опустим верхний индекс тензора и получим тензор Я с координатами 5!в —.- 5<~:~"~"- Имеем Т1, з,-г....-г. 'и = 51 ! Т, + дя! Т, =- и и + О 0 =- ии 5!з=У!!Тг ! 5я!Т!:: и 010 О - О ' пт.д,Прина пима днимании индекса у тензора Т получим тензор Л; !1!а ю Ть Провй!(я вычислении вивФЯЯчиь!е т(р!адвьйу!кицв' иычя!пя!еия)йв('" 11 " ' ж=(",,'), М=(',":',) Пример 5.5. Вычнслвм ковариантные производные з7иЯ и 57х й, Согласно формуле (4.6) имеем дд1! ! з ! з ('7!5)!! = д л --Г!!д!! -Г!!Бя1-Г1!Я!1 — Г!151з=. 1 и !' 11 и 1 == — -о — — -- о-о — -- о= —; ('7!5)!г —, ! — Г!!5!з — Г!!.52я — Г!зд!! — Г!ад!г = 1 1 и и --.О-о о — о- -- — -о о- —, п ~, !! ) и т.д. Выполнив аналогичные действия, получим 1! дк' 11, ( 1! =и !О О+ — — О+О ии ! --- .0=-:и и и,) и т.
д. Так как !7» 5 -- !! ь !,э', ! к Й вЂ” ! '7 ! Й, окончательно имеем ( " » ( ' „') (як ) (, -" ) худ,.- д, — 2у хд„+ у дс+2у х<7, -,- уд, + 2х 2хд, — у д, ь2х хд ау ьЬ = ь(ьь + гоагп ь(н г - = 1'(х. у). 34 35 ьм . " -::; '::~)(1(ь)уу'1 'ВьзЛйелйть коммутатор (Х, )'1 векторных полей.".: 3 влача 2. В плоскости Лобачевского с метрикой ,1 г+д г иг найти кова нанти риантную производную Ъ'хТ тензорного поля Т типа (1, 1) в направлении ) равлении векторного поля Х. Определить координа~~ тензоров Я и )ь по ,полученные из тензорного поля Т соответственно опусканием и поднима подниманием индексов.
Определить ковариантные производные '7хд' и ЧхЛ Задача 3. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой найти ковариантную производную з'ьхТ тензорного поля Т типа (1,!) в направлении векторного поля Х. Определить координаты тензоров Я и Л,, полученные из тензорного поля Т соответственно опусканием и подниманием индексов. Найти ковариантные производные ~7х Я и з7х г'ь. Исходные данные указаны в таблице, приведенной в задаче 2.
Задача 4. Вычислить тензор малой деформации Ьлд для метрики поверхности 1. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Соаремеииаа теоы~- ' трия. Мг Наука, 1979. 2. Димитриекко Ю.И. Тензорное исчисление. Мг Бысш. шк., 20б1. 3. Грамол Д., Клиигенберг В., Мейер В. Риманоаа теометрля и целоаи Пер. с англ. Мг Мир, 1979.
4. Свивав М. Математический анализ на мнотообразиях: Пер. с аитл. Мг Мир, 1968. ОГЛАВЛЕНИЕ Учебное издание ВВЕДЕНИЕ.....,............,................... 1. ВЕКТОРНЫЕ И КОВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ .. 2, ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ..........,.....,. 2.1. Определение тснзора...,............... 2.2.
Операции над тензорными полями....,...,, 23. Тензоры в пространствах с метрикой........ 2.4. Действие отображений на тензорные поля.... 3. ПРОИЗВОДНАЯ '!И 3.1. Фазовый поток. 3.2. Производная Лн тензорного поля............. 4 КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ.............. 4.1. Коварнантная производная векторных полей .. 4.2. Ковариантная производная тензорных полей .. 4.3. Параллельный перенос .. 5, СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИ!А .. 6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ...............,... Литература.............,....... 3 4 11 П 13 16 !7 19 19 20 26 зб 27 29 30 34 37 $Цатииин Алексанлр Николаевич Губарева Елена Александровна ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНЫН АНАЛИЗ Редактор О.э!э'.
Карачева Корректор Е.В. Акатова Компьютерная верстка В.И. Товсптоног Подписано в печать 02.07.20!2. Формат 60х84Н6 Уел. печ. л. 2,33. Тираж 300 экз. Нзл. № 5. Заказ 500 Нэлательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005. Москва. 2-я Бауманская ул., 5, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
