Щетинин А.Н., Губарева Е.А. - Введение в тензорный анализ (1075683)
Текст из файла
Фюм: о;мюй митрнюК йаора о юмуиабщаМ иуё$щмща~~~:.:,:,:;-::,':,:,".:..:':,';.; Ф аиду обВиио ату иеиейфю Фвииаоата — авамющ~4$$ф~~'-::,:,':.'.,:"~-'- ~ичиаа Оо оиредаааФФв лииеинан связность (симвоиы Кристоффеии), щотщ~ маиет дифферажбфовать тензщыийе щаа на тааиа иоавиаиоМ$Щ.- Бсаи тадатыФр$ьктримйню поащмиюсти, Все саодатса и щ~а Иа~ обычного двумернеь пространства В», в мтвэром фиааиоощрф' ' Два бака гаубоюко изучения материала следует оаиазаиаащ~: Основнйй цель пособим — научить стщеита двум аитабфф3щи,' ским процедурам: правилу суымнрованиа Эйшаайна и иицииаа 4, "~,4ййфмаФ „уФ.
цццц„в,'скво щи) вопд Фоиворои Ф"ФФ4($($~~-'-;.„:;,;,ф";:;~;,, ®~в~~ сстсатвпииой струвтурои ввкторВФФмфйф~~!'.;:"-:;",",:,.';:~ . д у всктщ» 'с ~~ щК ) с пбязлОм В топив ж ВЩЬ~Я~ урм имсщщвссв в прастрвистмс В, бсз тряс иврввйвоатвк'в' '; ",:.: -;~'" простравсство ~» (тт ), сквдвриос произпсд р ор втпщви т. д П„ств с„ст, с — етаидаутиый базис в пространства Вв (в ку(ивт аиавитипссрф тсомстрии оп обомипадсв Ф1 я'» ~ф Ъвдв ввийфМ~ (с,)„(с )„, (ез), цбрввуют базис касатслыпио пространства в точка в (рис. 1Л*). 3афивснрусм в какдом касателыом пространство щука) ио всвтору.
Д)цр подуем ~ю6Фйф~ФОи мойя попса точио; всктофиов попс — это фующив Х, отпосншав каждой точка т Е Кв вактау Х(в) б Т,(йв). Двв кнждото в существукп такие числа с*(ж), щ~ Х(*) = 1'Ф(с )' (1Л) Фущщии с'(ж) будам считать глздкимн (класса С ). При макси ревепстта (1 Л) нсполфдустсв пропью Эйдиююйщ; ссни в фсрмудс втсп «стречнотсв два раза (ввсрху и виюу), то вто овивчвст суммировапнс. В слуюа ирострапстпа T„(Ф) формуда ,фивииуцм~ цпфвдащщщво ввктвфиФо ипйв Вйв,~яфФВющям~й„, У вЂ” пекторпьвс попа и Х ~ К, то повпиим (~х)(х) =Я )х( ).
Пусть Л Уз б ЖУ) Х я В(У)- Очевйдщ что иммФ~:!".;":,"'-'''"::;1 дхй+Л) =дх7~+дхЬ (Щ для.Ь)=дхЛ Ь+Л дхЛ. Операцщо, облалао«цу«о формалыщмн свойствамн (15), иззю- ' 1 в т ди~~4+Ре Миров«зле««. «азам образом, векторное елмнав«о . 1 йвет лнфференцйровать функййй.
Оцрелелнм «оеекл«ориое лоле. Для точки х ра«жмотрим совр%.' женное к касательному щюстранству Т (Вз) пространство у'Ф), хе. пространство линейнык функций с онерацнами слоиениа и умножениа на часло. Если зафикснровать базис (е1)„(ез),, (ез)в ка тел Т (Вз) и о линейные Функ" цин (е«)„формуламн 1 (1, (е') ((е-) ) = б' = ~ Можно рассывтрнвать зту систему в произвольной о6акнца.:6-:,. щранства. Пу ааа 6рь д6 4ФМФ6~$.: Ф1, ЗЗ Фз в зтой атее области' му =Ф1(х'., х2, хз), 3=1, 2, 3.
Рассмотрим мал«ржу Якоб«« дз1 дз1 дх« дх' дхз дхз дз дз дх' дде' дхз Если ее оцрелелйтель (акобиан) а точке (хю ха 4) окан'~ай:«В нуля, то функции х«можно в окрестностн зтой точкн ВатрВМ4а. через з', как утверждает теорема об обратной футн«цнн. Ток«ркн Если отображение ~ обратимо и р = У-', то носйМиМФ4НФ"::,::.:;::.'';::.."::::::;,",, ;р! 1 ие твизорв фунщ$ио, лийнйщм тив й~; р)+Т(у, )~; р); Т(уХ, И': р) = УТ(Х, И; р), т(т - — ~~ ()лз) ®Ю (все производные берупж в точке в), 0тобр " У,: В(У) -+ФЩ определите алабин овере, иолам~, тав вав при У(е) = Др) = х и (У„) (Х(е)) Ф(У,), (Ж(р)) значение полл ЯХ) и то им а определить иевоиаоиио.
Напеавмм, что гладюе отображение у нвзмввиж Й4Фааиор- фамам, если оно обратимо, н обратное отображение у ~ такие тлвдиж Отметим, что пщлюсть обратного отображении не следу- ет из лщлюсти у. Щимер Ы. Отображение ~:Й-+%, заданное формулой Де) = в . ввлветса гладком, но обратное отображение у "(х) = = Ф в нуле не двфференпируемо. Если у: У -~ К вЂ” дтффеоморфизм, то отображение 7.: ФЩ -+ ЖЩ можно опредешпь, И самом деле, положив (У,(Х)Н4 = (У.),—,,(Х(У '(еИ, получим воррейтно опреллленпое отображение. Введем определение тензориото ченнй отрвничимса случаем полл типа ие отлпваетсв. Пуси, Ъ(У) — векторя попей в области У, а %*(У) — повтори торных полей в той 1ке области.
Зададим авмцюму артумеиту; Т: Ж(У) л '3(У) х %*(У) Определим линейность функции Т: Т(Х+КЖ';~р) =Т(Х, ЮУегь а'з ЯЯ,",4Р!-."~:.'4иезаа1)1ейар1и)ззФ~Ф,:~ФФМФг4йзФ~$ввг '-:::: "; Сопмсно формулам (1.9) и (1. 1фмзмем /д д 1 Гдж~ д дха д дя" (,д»з' Ы' ~ ~, дяз дхе' д»1 дхв'дхт дхадтядяз г д д ~ дхадхядяь =- — — — Т вЂ” — 4(хт = — — — Т" Дс Дзз Даг (~Д„в' Див' ~ Д»З Д»1 Дхт вр' г, е. формулу для преобразования координат тензориого поля типа (2, Ц: дх "д въ" Т =- — — Тт (22) О дяз д 1д.т ар' таким образом, какдому теюо(игому поше типа(2, 1) и системе мюрдинат х', .хз, хз ставится в соответствие набор из Зз+' = 27 Функзппг Тьу(х), преобразузошихс» при переходе к системе юординат»', аз, зз по формуле (2,2).
Макио показать, что задание такого соответствия определяет тензорное поле в смысле данного выше определения, Итак, имеем два опрелеления теизорного поля; () как линейного отображения (см. формулу (2, Ц). 2) с помощьв сопоставления каждой системе координат функций 2аб(х) юординат тензорного поля, которые преобразуются при замене системы координат по формуле (22). ,у".(х) = 4(х)а (х), 1= 1, й, 3. ИосюлькУ завззсимОсть Яж) от $(ж) Ййиейй~,Змеям Р(я(и24ф11 нашей терминоюгни имеем тензорное пеке типа (1', 1ь.Озйеззям; что если среда однородна и нзатропиа, то матрица (З~~) енааярй)а т.е. у = с)з; в общем случае зто не так, 2.2.
Операции иад тензерньзми иианми Рассмотрим!Ц٠— множесгяо тензсриых воней таза (р,б). Тензорные поля одном типа можно складывать, умножап. на:чзгс ." .. яа, используя формулы, аналогичные формулам (1.3) дия вектор.- ных полей, Легко проверить, что множество 'Хч„щ с зтими оие рмпзянн является векторным пространством (бесионечнймеривпа). Пусть, например, Т, Я ~ 'Х,'(У), Х ~ К.
Рассмотрим тензориьш ноля В = Т+ В и У .= ХТ, Ясно, что для юординат зчнх тензориьзх полей справедливы следующие равенства: 11*,в(х) = Т,'~(х) + Д",ь(х); 1",'ь(х) == 2Фх) Отметим, что теизорные поля можно умнсскать не толью на числа, но и на функции. Если, например, Т 6 'Ц(У), а 1 — функцня и й'=- ГГ, (1Ф'~ Я((з)),то И",„(х) =1( )Т;„(и). щае Й = С,'Т тин» (р-).,ф-1~'-';,'~",,':-:,~~"';;."!т"„,;;=,„ .асаф'. 'М:, ''в'ФаФ-;.":".:~:!'''!~:::,"!':-.'"'::-'~~~„.::,фйфФ векторное поде Возьмем теюоу:::еаФХ:.::::Ф'...: сверг»и, Получим тентор Ст (еаф'Х):.%3фф."'ф':,;-',~ в-'й"' 'Ж- ст(Х) -- С'(с»Э Х) иениить (инн и»оборот), тн новучитеи нери»аннин» :-.,:::;-:,.-.~."„,„;,.'В" я зй — Яйлу бФЛ т .Ь Тогда фуииниц и (х) нрсдставдяют собой иоо)нинин»с т»ПФФФ"' -::,:,;-"'' ', ниде»ем ие р»асичавттс».
смого иаиричссюго веизора, Его можно тапнсдть в инни 2,4. Действие етейрюкеиий и» таизерньае имн =о Ь'Э~*' а симм иче ав и ВадреанщиМ: ' ц рата. 1 бь в поиааио, кав действуют отобр неии» ив вен Очевидно, что матрена (у,,) симметричесвав и йвадрван,. Форма (1, О) соответственно, рассмотрим общий случай. Пусть ~: Ь' -+ Ф", где У С К", $' С Ж вЂ” гладкое отображение, Нос»ольку не»евана~-' положительно определена.
но определить отображение «скторкых долей Г,: %1(У) -+ 7тЩ, т„=( — йтисоаю, -ациапо; соло); ,...,~Ф~,;:-':,.',~!! ", ",: ' -:;-' ":~!;:::~4';,и~:фй;-'.и)6Ф,'-" $5иафй У, 'тди ф, ' ФФзщ~1~~ь~' ~~ЙЬ~ и -~ ик,:ф =!Р„л «4))и,'®~Ф...:::.".: ."И~ ~;,4,-' -",;::,","".""-'.;:,;-~~Мгфу~фюМ()ЛЯ);~~'$Ф Ф'-= '! ивтютийв (М). тде ть = ~Аа. ум~ ла ), тв =М» ММ- ла). Мат;и'6~РЮФ$.: - ъ 3. пКйй~юдИА® ива . ~щ ойюииното рааиуса, Заладим адаитиаио, еокраилот тип теиаора и обладает еаойством еоаоеоао1 ф ооаийао л анти> р~тоац)=- «У~е~+~в~~ РЛ) Значит, ааа аоеа Т, Ь" ~%(У)- дифференцирование цолноотыо определаотеа овоии де%отава.
ем аа Функции, векторные и коаевторные цоаа. Это еледует ю ъ'ирааитеииф яЯ Пуеть щщораиоетт ладана аии трафви фея Дла упрощенна аботиачевий считаем, ато о = 2. Пуоть в Обив ийи ти у задало в"вт е иоле .к = т,'Х. ~ таам иоаекк тииавиа а =УМ,р) ф тензорного поля еем Из формул (3.7) Хх С одной стороны„ Х,хс,'( У= т)'Хз по формулой (3.8) а с другой— С,'Х,х (ю (2.4) и (3 4) (3.9) Поле Х.хУ обоз полей Х н У. Из фо Тогда 23 ,,~'-:-„"~~"';;.~,":"'::.'::.'::::~::-~(~ф»(М)))1ь=е =. дхХ(х) = Хху (*). Доказательство. На основании формул Взяв производную по 1 и устремляя 1 к нулю, получим дт(» а дГ' (ХхУ)3 = — — т) —.
д» дха' дт(' дз)э дха а дз)' д» дха д» дха Подставив это выражение в (3.9), получим формулу (3.8), что и требовалось доказать. Теорема 3.2. Производная Ли ковекгорного поля ю =- ю, дх' по направлению векторного поля Х = с'Х выражается формулой (гхоз), =- с' — '+ оза —, дю, д»" (3.10) дха 'дх$ ' Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя формулы (2.4) и (ЗЗ), (Р-,~) = <Б'';Й вЂ”,, +%!)) и =и +г —,~ ~ (Ф) дг," ~ д~" дх,', д*,', Взяв производную по 1 н устремив 1 к нулю, получим (Х'хаз), — ч, юа = ч + оза . йо, д1 доз, дР" д» дх' дха '" дх' ' по и требовалось доказать. имеем озЗУ) =Хх( = (дхю;) з1'+ оз (Охи) З У) =. С,' (Х,х ю бЗ У+ оз 8'ХХ'У) -,.-''.
дха дх~ ) ~ дха дх~/ ' =- (дх го ) з)'+ ю, <дхт('). начается <Х, У) и называется каамугяавзврам рмулы (3.8) следует, что (У, Х) = — (Х, У) . Пример З.Х. Коммутатор базисных полей равен нулю: 1Х,,Х 1= 0. Пример 3.2. Вычислим <ХХ, Ц н [Х, Щ. Получим 1Хху) =- -~У,ХХ)- -Х,,(ХХ) =-у,,Х)х — ХХ,кХ = — -(дт.Х)Х+ Х~Х: Ц; <Х. ХУ] =. (дх Х) У+ Х(Х, У].
Теорема 3.3. Пусть Х и У вЂ” векторные поля. Тогда д1х,г1 — дхА - дгдх Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычислим коммутатор <дх, дг) = дхдг — дгдх. Имеем (дх, дз (Х дх(дг~') -- дк(дх Х) -= дх ~г1' — ~ — дг ( ~' — ) =- пз поля Х. У вектор- области П (4.1) используют вакп коэф- ти Г Тогда у Получим Тогда ' ', 26 дхт д, 1 д т д2.1 = —.—.т7х Х»+ —. Х» =- дал дя! дх' дх""даз Дх ' Дх» Ь Дзх' = — —.Г„н Х + —.. Х, = дх» дв! ~' дх'дя! »Г Дх»» Дх» Дзха — — Г",+ —,* ~Хь=г" —,* Х„.
дл' дат дхздху и дх« дв«Гд тд1 . д2 .Я вЂ” Гв дх з, дя» дв! ' дФд~з'/ ' ;.'." =~»;!~=;:-:,,=,';-!:.;;.:;:::;"-;;::'.::::;',,':.;::;-,:,:-;::.;:::,~д4,'~~йийр~~тйан проианоднаи некторнык полей ":-":: ':-'::-'':::::-':: ''-::::-:::::::,:Кдв»ввиовииов иро»»зводной в направлении векторно иязвц»»ктсв( правило, сопоставляющее векторному полю :позе ?ю»ле '(7Х»У, если выполнены следующие условия: '7х (У+х) = з7хУ+з7х~; Чх УУ) = (Дх~) У+)"7хУ: ?7х„г= 7хг+ 7,г; 7,х =~~7хУ. где Я вЂ” также векторное поле.
Пусть ?? С ?1~ и х', хз, хз — система координат в Тогда 'С7х, (Х ) = Г~ Хь, 1, 7' =- 1, 2, 3. Помимо термина «ковариантная производная» также термин «линейная связность». Функции Г з пазы фи»?вантами линейной связности. Пусть х», 22, яз — другая система координат в облас з7л, (Я ) = Г,~~Я», з',7' =- 1, 2, 3. Выразим поля 4 через Х и подставим в эту формул Очевидно, что функции Г,". не являвзтся юордннатами тензора (так как при переходе к другой системе координат не изменяются по тензорному закону), Однаю нетрудно вычислить разность функций à — 1';: дз«дх дх' г Д Д. Д, (, ' "7' Таким образом, функции Т„н =?'„'„— Г~'„, являются коордннаь ь ь тами тензора.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
