Тимофеев Г.А., Попов С.А., Никоноров В.А. - Теория механизмов и механика машин (1074079), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для анализа группы П(4, 5) необходимо использовать модуль 2, предварительно рассчитав кинематическне параметры присоедини- тельной пары В» заполнив массив Х/Х/(6) = (хс,ус,хс,ус,х~ ус) Для зтой цели предназначен модуль 3. Он же используется н для расчета параметров центров масс звеньев 3 и 4.
Для точки Яь Дано; Х/С(б)=(х,у,,4х0); 11=1,; РРХ1(3) =(<р, ~-р,гр'„<р",). Найти: ХЖЗ(6) = (хзмуз,,х~з,у~„х~„уз,). Для точки $,. Дано: Х/Х(6) = (хо Ус хс ус хг»»ус)» /с= 1ли1 РРЖЗ) = (»Ре % М Найти: ХЖ4(б) = (хам Уз4,хз „Уз „хз„уз4) Пример 3. Кулисный механизм на базе гиариириага чегнырехзееннина Если И' = 1, то у = =гр(г) — обобщенная координата.
Формула строения 1(0„1) -+ П(2, 3) -ь П(4,5). Для анализа группы 1(0, 1) предназначен модуль 1, группы П(4, 5) — модуль 4. Прежде чем воспользоваться расчетным модулем 4, необходимо сформировать массив ИЗ(6) =(хр,у„,х~,у~,хл,ус) с помощью модуля 3, что возможно сделать лишь после анализа группы П(2,3). Составим расчет'иый модуль для диады П(2,3) с тремя ВВВ ввв вращательными кинематичсскими парами. Модуль 5. Группа П(2, 3).
Дано: ХЗА(б)=(хх умхА»ул хя у',); ХЗС(6)=(хс ус хс ус»хс ус)' 1„=1, =сопяц 1„- =., =сопев »' 2(3) = (»рз~/р2 грз)» РЗ(3) (ч»з грз »РЗ). Запишем условие замкнутости векторного контура: гс = г, +12 + 13, или 12 = гс — У/, -13» проецируя последнее на оси координат, получим 12 соз'рг хс хА 13 ' соз~рз» 123'и'Рг = ус уА 13 'з(П%. Уравнения (2.19) возведем в квадрат и сложим, обозначив =(х — А) +(у -у„), =(1', +12 — 1 )/21„ результат этого преобразования представим в виде (хс — х„)соззр, +(ус -УА)з(пзрз = с. (2,201 Из уравнения (2.20) определим угол Зрз.
Выразим з(п1рз и соз<рз через !й(зрзгз2) по формулам тригонометрии: 1+ !дг(ЗР„'2) ~ 1+ !й (р,1'2) (2,21! Подставив зти выражения в (2.20) и освободившись от знаменате- ля, получим (с А-(хс — хА)1 !й'(~Рз/2)-2ЬС-УА) 1К(93/2)+1с-(хс — ХА)1=0 Решение квадратного уравнения определяется формулой ! Л1-~ь с+(х -х„) (2.221 В основной сборке угол 0 «рз < я. где 21=31гл'-сг.
После вычисления !й(зрз/2) надо по формулам (2.21) подсчитат» з)пзр и соз<рз, а затем, исходя из соотношений (2.19), найти зш и соз1рг. Знак плюс-минус в (2.22) указывает на две сборки рассыл!. риааемой группы (вторая показана на рисунке штрихами). Основноя сборке соответствует в нашем случае знак плюс, в чем можно убедиться„найдя два значения угла зрз последовательно используя фс11. мулы (2.22), (2.21).
Зная две функции угла, найдем угол зрз = агс1К(з!'1 зрз/соз 1рз ). Решим задачу о скоростях. Дифференцируя систему (2,19), получим систему линейных уравнений: 12 Р2 з1по2 хс хА + 13 Рз 31П 333. 12'Р2 соз1Р2 ус уА 13!33 соз'рз учитывая, что для рассматриваемого механизма хс =. у~ — — О, запишем — 121рг з)ПЗРЗ = — Х1+ 131рз ззп Зрз» !2'Рг соззрг = УА 131рз Соззрз. Исключим нз (2.23) Зр',» для чего умножим первое уравнение на соззР3, втоРое — на ыпзРЗ и сложим ик: хА соз1рз+ уА зшзрз ЗР 2 12(31п~рг соз!Рз соз'РЗЯ1п Рз) Умножив первое уравнение (2.23) на созЗр„второе — на ззпзрг и сложив их, найдем ХА Соз»рг + УА з!пзрг р'3— 13(з!П рзсоз'рг СОЯ43331П~РЗ Можно знаменатель свернуть„например: ХА Соз Зр2 + УА з1П 1р2 'Рз = 13 зн" 'Рз»рг Однако для расчетов более удобным оказывается первоначальный вариант.
Решим задачу об ускорениях. Продифференцировав уравнения (2.23), получим систему линейных уравнений относительно Зрг" Зрз: 'рг~г згп'рг 'РЗ 3 зи11РЗ А ггргз 'рг 31РЗ! ! З»(2 24) 9212соз рг+Зрз(зсоззрз =-УА+12Ы з(п~рг+13(зрз) з(ПЗРЗ Найти зр" н зр' из системы (2.24) можно, используя прием, приведенный выше.
Однако систему (2.24) (н (2.23) также можно 45 Модуль 6. Группа П(4, 5). 1(0,1) -+ П(2,3) — э П(4,5). в ввв пвп Спроепнруем на оси координат: О - хс — Ь фь з(п яьь + Ь "соз ьрь ~ Уе =Ус +Ь'сььсоз'Рь+Ь 'зшьР». решить по правилу Крамера, что при автоматизированных расче- тах удобнее. Пример 4. Кулиснььй механизм на базе игарниунага четырехзееннина Если 5' = 1, то 4 и <р(«) — обобщенная координата.
Формул» строения." Ддя анализа группы 1(0,1) предназначен модуль 1, группы П(2, 3) — модуль 5, для расчета кинематических параметров точки С вЂ” модуль 3. Составим расчетный модуль для диады П(4, 5) с вращательной внутренней и двумя внешними поступательными кинематическя. ми парами. 46 дано: «3С(б) = ( „Ус,хс,ус, с *ус); Р«з (3) = И'ь йььь,чьь»' хг = сопз1 Найти; Р««(3) = (Ь,Ь',Ь ), «3Е(б) =(хя,уе,О.,уе,О.,уе), Условие замкнутости векторного контура: хе хс Из первого уравнения найдем Ь = —.
соир» Из второго уравнения найдем уе, Продифференцируем систему (225): Ь'ьр» з)пьр» хс Из первого уравнения Ь' = созфь Из второго уравнения найдем уе. Дифференпируя систему еще рзз подучим 2~' »р» з(п»р» + Х»((»р»)' соз»р» + р» з(п (р„~ — х' сов <р„ ув =- ус + 2Ь' Ф» соа»р» -Ь((»р'„)' з(п»р» — <р" сов 4» 1+ Х»" з(не», Запишем порядок чередования модулей для расчета данногс механизма. 1. Модуль 1. Результат Х1й(6) = (хв, ув хв, ув,хв, ув) 2, Модуль 5, В формуле (2.22) необходимо выбрать знак плюс (основная сборка).
Результат: РР2(3) =(»р,„»р',»р",), РРЗ(3) = (»рз,»р'„»р',). ° 3. Модуль 3. Дано: ВХ(6) = Х»й(6) = (хв,ув,хв,у~,хд,ув); Я =1 с„РРХХ(З) = =Ррв(3) = Мв~»Р2.Ю. Найти; .ВС(6) = (хс„уг,хс,рс,хс,уев), 4. Модуль 6. Дано: ВС(6) =(х„.,ус,х'.,Ус,хс,ус); РРН(3) = ((»р, -к/2),<р',,<р,"); хе= сонм, Найти: РН(3) = (л„Кл"), ХЗЕ(6) = (хе,у,0.,уе,0.,уе), 5, Модуль 3. Для расчета координат точки оз.
Дано: ХЩ6)=(хв,ув,х',ув,хв,у')„ХХ=Хои', РРЯ(3)-"(»рз,»р',,»рв). Найти: Хв32(6) =(хв„увз,хвз,уз,,хвз,у~»). Пример 5. Кулисньвй механизм, входным звеном которого лелнетсл коромысло Проведем структурный анализ механизма, выбрав в качестве обобщенной коордннать» угол»р. Получим следующую формулу строения механизма: 1(0, 1) -+ П(2,3) -+ П(4, ~, В пвв впп По сравнению с механизмами, рассмотренными ранее, строение данного механизма обладает одной существенной особенно- 48 стью, которая не позволяет начать кинематический анализ с расчета группы 1(0,!) модулем 1.
Эта особенность заключается в том, чво следующая группа П(2, 3) присоединяется к начальному звену лвв яе вращательной, а поступательной кинематической парой А. Позтому расстояние Х не постоянно, а зависит от положения звена 1, т,е. направляющая для ползуна является подвижной, Анализ механизмов подобного типа следует начинать сразу с расчета присоединенной к начальному звену группы. Модуль 7. Группа П(2,3) с подвижной направляющей для пвв лолзуна. усложним конфигурацию группы. Рассмотрим общий случай, когда ось поступательной пары А (ось 2) не проходит через внутренний шарнир В, а отстоит от него на некотором расстоянии»Х.
Ьх =хм ха~ Ьх =хм ха* Ь=~Ь~=Д- Ь,' Ум Ул 21 Ф Ьк =Ум Ул~ Ьг =Ум Уа* сР» = агстй(Ь /Ь„) (2.26) 50 Положение группы при плоском движении определяется нс. ложением связанных со звеньями векторов а = Й3 и Ы = .ВА, Прз фиксированных положениях внешнего шарнира Х) и оси 7 возмск. ны два варианта сборки группы (на рисунке второй вариант поки. зан штриховой линией), которые будем отличать с помощью чи. елового признака сборки ЗОВ=х1: если обход кинематическиз пар Ху, В и С (внешний шарнир -+ внутренний шарнир -+ постум.
тельная пара) совершается по ходу часовой стрелки, то ЗОВ =-!: если против хода, то ЗОВ =+1. Задача кинематики формулируется следующим образом. Дано; ХЗХтб) =( Х(6)=(х,у„„х,'„у',хл,у'); 1 =-а=сольц ~„„=-а'=соли Движение оси Е поступательной пары определяется заданнымз параметрами некоторой ее произвольной точки М: ХЗМ(6)= =(хм,ум,х',ум,х",ум), и угловыми параметрами: РР2(3)=. =('р Е' 'рх) Найти: РРА(3) = (<р„<р'„<р',); РН(3) = (Ь, Ь"„Ь").
Введем кбазовый» вектор Ь=Х)М, связывающий заданнмс точки В и М, Тогда условие замкнуюсти векторного контурз ХЗВСМ имеет вид Параметры вектора Ь: 13В(6) = (Ь,<р„,Ьд.,Ь„',Ь;,Ь„"), определяются согласно алгоритму и считаются известными, Спроецируем уравнение (2.26) на осн координат и после перехода от тригонометрических функций углов (ф + Зк~2) и (~р + я) к функциям угла дх получим Ьсозср, =ассам, +Иссяк, йЬсоз~р., Ьз(п<р~ =азппр,-Из(п<р, ~Ьз1п~р,. Знак перед Ь в (228) зависит от направления вектора Ь относительно оси 2 поступательной нары (при совпадении направления вектора Ь с направлением оси 7 получается знак плюс, в противном случае — знак минус)„что, в свою очередь, зависит от выбора точки М на оси Е Чтобы сделать алгоритм расчета Ь инвариантиым относительно выбора точки М, будем условно считать, что вектор Ь совпадает по направлению с осью Х независимо от положения точки М, тогда систему уравнений (2.28) будем всегда записывать со знаком плюс перед Ь, и если при ее решении значение Ь получится отрицательным, то зто будет означать, что вектор Ь в действительности имеет противоположное направление.
Учитывая сказанное, перепишем систему (2.28) в виде Ьсозсз„— аз1п~р -Ьсозф, = асозср„, Ьз1пср„+Иссяк, -Ьзйнр, =азшр,. Возведя в квадрат обе части уравнений (2.28а) и складывая их, Ь~+с(~+Ь~+2Ыз(п(9 -<р„)-2ЬЬсоз(у -р )=а~. (2.29) Уравнение (2,29) является квадратичным относительно Ь: Ь'-2ЬЬсоФрз — грз)+(Ь +сХ -а +2Ыз1п(грз-срз))=0. (230) При решении (2.30) получаем два значения Ь, соответствуюглаз двум вариантам сборки группы: Ь =Ьсоз(ш„-гр )+ЗОВ~Го — (И+Ьз(п(рз -гр )Г. (2.311 Далее нз (2.28а) найдем тригонометрические функции угла гр,: з(п<р, =(Ьз(п<р +Нсоз~р, — Ьз(пгр,)/а, созгр, = (Ь совая -Изпнр, — Ь совр,)/а.
шарнир В (при этом Х = 8А= О), Эта конфигурация в механизмах встречается наиболее часто. Ниже ва рисунке показаны оба возможных варианта сборки группы. Знак числового признака сборки определяют по следующему правилу: если обход контура ХЗХ)Х)з (где Х) — внешняя вращательная пара, Х1 — внутренняя вращательная пара, Х)з — проекция внешней лары на ось У поступательной пары) совершается ло ходу часовой стрелки, то ЗОВ=-1„если против хода, то 36В =+1. Учитывая, что Ьсоирь =Ь„, Ьз(пу = Ь, перепишем системз (2.28а) в виде Ьсозгр, +осовев, =Ь -Аз)пгр„ Ьз(пгр, +азшгр, =Ь,,+Исозгр,.
После дифференцирования (2.33) по обобщенной координате 9 получим систему линейных уравнений относительно неизвестных Ь' и гр',: Ь'созгр, -гр',аз(пгр„= Ь' +Ьгр', з1п~р„- Йр', созгр„ (2.341 Ьз(пгр,+гр',асоир, =Ь;,— Ьр',созгр,-йр',з(пгр,. Прн повторном дифференцировании (2.34) получаем систему ли- нейных уравнений относительно неизвестных 6" н гр",: Л"соз<р,-<р",аз(пгр, =Ь"„+а(<р'„) совр„~- + ~2Ь9' + Ьгр" +а(9',)~1з1пгр, +(Ь(р',) — ~Хгр" 1созгр,„ Ь"з(пф, +<р",асозгр.
=Ь,", +а(~р',)'созгр,— — 12Лгр' + Ьгр" + г((гр',)')созгр, + (Ь(гр',) — йр~)з1п ~р,, Системы уравнений (234), (2,35) репшются по правилу Крамера. Рассмотрим частный случай конфигурации группы П(2, 3), когпвв да ось поступательной пары А (ось Л) проходит через внугренннв 52 Постановка задачи кинематики в этом случае ничем не отличается от рассмотренного общего случая, за исключением того, что направление оси У здесь определяется поворотом вектора ХЮз против хода часовой стрелки на 90'.
Очевидно, что результаты, пслученные для общего случая, бу,зут справедливы и для рассматриваемого, если в формулах (2.27) — (2.35) положить Ы = О. Вернемся к механизму, описанному в примере 5, Для расчета его кннематическнх параметров необходимо последовательно использовать два расчетных модуля: 7 н 3. Расчет структурной группы П(2, 3) выполняется модулем 7. пзв Ось У поступательной пары группы в данном случае совпадает с осью ОА входного звена Х. Произвольная точка М этой оси может быть совмещена с шарниром О, а положительное направление осн получено поворотом вектора ХЮя против хода часовой стрелки на 90'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
