page 50-68 (1066249), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. (2.11)

Функция , называемая функцией Лапласа, выражает вероятность попадания случайной величины в интервал . Значения функции приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Значения интеграла вероятностей

0,00	0,000	0,70	0,516	1,40	0,839	2,25	0,976
0,10	0,080	0,80	0,576	1,50	0,866	2,50	0,988
0,20	0,159	0,90	0,632	1,60	0,890	2,75	0,994
0,30	0,236	1,00	0,683	1,70	0,911	3,00	0,9973
0,40	0,311	1,10	0,729	1,80	0,928	3,30	0,9990
0,50	0,383	1,20	0,770	1,90	0,943	3,50	0,9995
0,60	0,452	1,30	0,806	2,00	0,955	4,00	0,9999

Задавая границу в значениях , находят , а затем искомую вероятность по таблицам функции . Можно выполнить и обратный поиск, т.е. по заданной вероятности найти , далее и интервал . По табл. 2.1 находят вероятности (2.10) для имеющих практическое значение ин­тервалов погрешностей , представленных в :

.

В соответствии со значениями этих вероятностей погрешность результатов измерений, равная , названа равновероятной (так как ). Погрешность, равная , принята в радиотехнике за максимальную и ее записывают в виде . При из тысячи выполненных измерений только три их погрешности Л выходят за пределы интервала .

При нормальном законе распределения случайной погрешности за истинную величину принимают ее оптимальную оценку , равную оценке , математического ожидания выполненного ряда наблюдений , т.е. полагают, что есть результат измерения:

. (2.12)

Закон распределения Стьюдента применяют при обработке результатов небольшого числа многократных наблюдений и он справедлив, когда плотность вероятности слу­чайных погрешностей распределена по нормальному закону. Закон описывает распределение плотности вероятности случайной величины

(2.13)

где — оценка СКО результата измерения .

Интеграл вероятности для распределения Стьюдента

(2.14)

Здесь

Параметр в (2.14) называют коэффициентом Стьюдента. При расчетах погрешностей задают некоторую доверительную вероятность и число проводимых наблюдений . Поэтому данный коэффициент обозначают через . Значения коэффициента приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Коэффициенты Стьюдента

Р авномерный закон распределения характерен для поведения случайных погрешностей при измерении непрерывных физических величин цифровыми методами. Все возможные случайные погрешности результата измерений, характеризуемых равномерным законом, расположены в некотором интервале , где — максимальная погрешность (рис. 2.3). Аналитически плотность вероятности равномерного закона распределения погрешностей описывается следующими соотношениями:

(2.15)

Вероятность того, что случайная погрешность находится в симметричном интервале , определяют с помощью выражения (2.7):

(2.16)

На графике плотности вероятности (см. рис. 2.3) площадь заштрихованного прямоугольника с основанием и высотой равна вероятности (2.16).

Для равномерного закона распределения, симметричного относительно центра , расчет СКО случайной погрешности выполняется по (2.8):

(2.17)

Описание и оценка результатов наблюдений

Ниже предполагается, что результаты наблюдений некоторой величины содержат только случайную погрешность . Значит свойства случайной величины наиболее полно описывают законом распределения , соответствующим за­кону распределения ее случайной погрешности .

В частности, аналитическое представление нормального закона случайной величины можно получить путем преобразова­ния координат в формуле (2.9), т.е. переходом от переменной к новой переменной . Тогда:

(2.18)

где — центр распределения случайной величины , — ее СКО.

Вероятность попадания величины в некоторый интервал вычисляют по формуле, подобной (2.6), с заменой интервала на интервал и переменной на .

Для описания отдельных свойств случайной величины используют числовые характеристики законов распределения — начальные и центральные моменты -го порядка, отражающие некоторые средние значения.

Начальный момент 1-го порядка {математическое ожидание случайной величины) определяет центр распределения и описывается выражением

. (2.19)

Центральный момент 2-го порядка (дисперсия) характеризует рассеяние значений случайной величины и определяют формулой:

. (2.20)

Точечные оценки законов распределения результатов наблюдений

Функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин , значения которых неотделимы друг от друга в некотором конечном или бесконечном интервале. Однако реальное число наблюдений величины всегда ограничено, и поэтому как результаты наблюдений, так и их случайные погрешности величины дискретные, значения которых поддаются счету. Оценим математическое ожидание и СКО для ограниченной группы (выборки) наблюдений, обозначив их через . Такие оценки называют точечными и их принято помечать волнистой чертой — тильдой: и .

Результат измерений при распределении наблюдений по нормальному закону определяют, учитывая известную в теории вероятностей закономерность (закон больших чисел): при достаточно большом числе независимых наблюдений , среднее арифметическое значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию , определяемому подобно оценке по формуле (2.12): .

Соответственно, при оценке СКО используют выражение для СКО , справедливое для достаточно больших :

Характеристики

Список файлов учебной работы