page 50-68 (1066249), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Дополнительная погрешность средств измерений возникает из-за выхода какой-либо из влияющих величин за пределы нор­мальной области значений.

2. 2. Систематические погрешности

В основу классификации систематических погрешностей положена закономерность их поведения во времени.

По характеру изменения во времени систематические погрешности разделяют на постоянные и переменные.

Постоянными называют такие систематические погрешности измерения, которые остаются неизменными (сохраняют ве­личину и знак) в течение всей серии измерений.

Переменными называют погрешности, изменяющиеся в процессе измерения. Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.

Методы исключения систематических погрешностей

Результаты измерений, содержащие систематическую погрешность, относят к неисправленным. При измерениях стремятся исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Однако вначале их надо обнаружить.

Постоянные систематические погрешности можно обнару­жить только путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с использованием более точных методов и средств измерения. В ряде случаев такие погрешности можно устранить специальными методами измерений.

Метод замещения обеспечивает наиболее полную компен­сацию постоянной систематической погрешности. Суть данного метода состоит в такой замене измеряемой величины известной величиной , получаемой с помощью регулируемой меры, чтобы показание измерительного прибора сохранилось неизменным. Значение измеряемой величины считывают в этом случае по указателю меры. При использовании данного метода погрешность неточного измерительного прибора устраняют, а погрешность измерения определяют только погрешностью самой меры и погрешностью отсчета измеряемой величины по указателю меры.

Пример 2. 2. Измерялось сопротивление резистора омметром малой точности. Результат измерения равен , где и — соответственно показание омметра и систематическая погрешность измерения. Заменив магазином сопротивлений и отрегулировав его так, чтобы сохранилось показание омметра, получим . Из приведенных двух выражений для следует, что .

Метод компенсации погрешности по знаку используют для устранения постоянной систематической погрешности, у которой в зависимости от условий измерения изменяется только знак. При этом методе выполняют два измерения, результаты которых должны быть равны и , где — измеряемая вели­чина. Среднее значение из полученных результатов представляет собой окончательный результат измерения, не со­держащий погрешности . Данный метод часто применяют при измерении экстремальных значений (максимума и нуля) неизвестной величины.

Метод введения поправок позволяет достаточно просто вы­числить и исключить из результата измерения систематические погрешности. Поправка — величина, одноименная с измеряемой , вводимая в результат измерения с целью исключения систематической погрешности. В случае , систематическую погрешность полностью исключают из результата измерения. Поправки определяют экспериментально или путем специальных теоретических исследований и задают в виде формул, графиков или таблиц.

Метод симметричных наблюдений весьма эффективен при выявлении и исключении систематической погрешности, являющейся линейной функцией соответствующего аргумента (ампли­туды, напряжения, времени, температуры и т. д. ). Положим, что измеряют физическую величину , а результаты наблюдений , зависят от времени . Для выявления характера изменения погреш­ности выполняют ряд наблюдений через равные промежутки времени . Пусть выполнено пять наблюдений в моменты времени . Вычислим средние арифметические значения двух пар наблюдений и . Наблюдения в этих парах проведены в моменты и , симметричные относительно момента . При линейном характере изменения погрешности, полученные средние значения должны быть одинаковы. Убедившись в этом, результаты наблюдений запишем как где — некоторая постоянная. Пусть и . Решение полученной системы из двух уравнений дает значение измеряемой величины , свободное от переменной систематической погрешности, т. е.: .

При измерениях всегда остаются неисключенные систематические погрешности (НСП). Порядок учета таких погрешностей рассмотрен ниже.

2.3. Случайные погрешности

Для удобства анализа ниже предполагается, что абсолютная погрешность результата измерений (2.4) является случайной, т.е. и обозначается .

Описание и оценка случайных погрешностей

Аналитически случайные погрешности измерений описывают и оценивают с помощью аппарата теории вероятностей и матема­тической статистики.

Наиболее общей характеристикой случайной величины (в данном случае случайной погрешности ) является закон {функция) ее распределения. Известны две формы описания этого зако­на: дифференциальная и интегральная.

Дифференциальным законом распределения случайной погрешности или одномерной плотностью распределения вероятностей {плотностью вероятностей) случайной погрешности называют функцию

, (2.5)

где — вероятность нахождения значений погрешности в интервале .

Интегральным законом распределения случайной погрешности называют функцию , выражающую вероятность того, что случайная погрешность находится в интервале от — со до некоторого значения, меньшего граничного :

(2.6)

Функция неубывающая и определена так, что и . Интерес представляет поиск вероятности , с которой погрешность измерений находится в заданном интервале погрешностей , где и — нижняя и верхняя границы этого интервала. Записывают вероятность как и в общем случае . Если и выполнено 100 измерений, то считают, что 60 значений попадают в интервал .

Для определения вероятности можно использовать и интегральный и дифференциальный законы распределения, но чаще применяют дифференциальный

(2.7)

так как он более наглядно описывает свойства случайной погрешности.

Из физических представлений следует, что вероятность на­хождения погрешности на интервале всех возможных ее значений, т.е. на интервале .

Часто необязательно описывать случайную погрешность с помощью законов распределения , а достаточно охарактеризовать числами отдельные ее свойства. Такие числовые характеристики называют моментами. Напомним, что моменты называют начальными, если с их помощью усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, и центральными, если усредняются величины, отсчитываемые от центра распределения.

Для рассматриваемых ниже симметричных законов применяется в основном центральный момент второго порядка, называемый дисперсией:

. (2.8)

Дисперсия характеризует рассеяние погрешностей относи­тельно центра распределения . Так как имеет размерность квадрата погрешности, то обычно используют среднее квадратическое отклонение (СКО) , которое имеет размерность самой погрешности.

В практике радиоизмерений при анализе погрешностей наи­более распространены нормальный (Гаусса), равномерный, а также закон распределения Стьюдента.

Нормальный закон распределения погрешностей применяют при следующих предположениях:

• погрешность может принимать непрерывный ряд значений в интервале ;

• при выполнении значительного числа наблюдений большие погрешности появляются реже, чем малые, а частота появления погрешностей, идентичных по абсолютной величине и противоположных по знаку, одинакова.

Для нормального закона распределения

(2.8)

где — СКО погрешности характеризует точность измерений.

Рис. 2.2. Графики нормального закона распределения

Чем меньше, тем выше точность измерений. Это следует из графиков функции (2.9) для разных (рис. 2.2). По мере уменьшения рассеяние случайных погрешностей относительно центра их распределения, т.е. в данном случае относительно значения , уменьшается. При нормальном законе распределения погрешностей формула расчета вероятности находится подстановкой (2.9) в (2.7). Для симметричного интервала, т.е. и :

(2.10)

Отметим геометрическую интерпретацию вероятности (2.10). На графике рис. 2.2 для конкретного значения СКО вероятность численно равна площади заштрихованной фигуры, ограниченной функцией , отрезком оси погрешностей от до и ординатами , . Чем шире заданный интервал погрешностей , тем больше площадь , т.е. выше вероятность попадания случайных погрешностей измерений в этот интервал. Для интер­вала погрешностей вероятность .

Чтобы вычислить вероятность (2.10), удобнее в интеграле ввести новую переменную . При этом его верхний предел интегрирования заменяется на , а правая часть выражения (2.10) преобразуется в табулированный интеграл , называемый интегралом вероятностей:

Характеристики

Список файлов учебной работы