Кондратьева Л.Е. - Основы метода конечных элементов (1061791), страница 3
Текст из файла (страница 3)
КороткоR = Kq .Нетрудно проверить, что эта матрица жесткости связана с матрицейжесткости ферменного элемента в местной системе координат K M (2) соотношением(5)K = CΤKM C ,где С – так называемая матрица направляющих косинусов осей xr , yr местной системы координат относительно осей х, у глобальной системы координат:00 ⎤⎡ cos ϕ sin ϕ⎢ − sin ϕ cos ϕ00 ⎥⎥.C=⎢⎢ 00cos ϕ sin ϕ ⎥⎢⎥− sin ϕ cos ϕ⎦0⎣ 022Преобразование матрицы жесткости балочного элементапри переходе к глобальной системе координатРассмотрим балочный элемент в глобальной системе координат (рис.
27).Вектор узловых перемещений элемента в глобальной системе координат⎡ui ⎤⎢vi ⎥⎢ ⎥⎢Θ i ⎥q = ⎢u ⎥ .j⎢v ⎥⎢ j ⎥⎢Θ j ⎥⎣ ⎦ΘjvjΘiuii′viyj′ ujyrzrzEJxrϕ jlxiРис. 27Вектор узловых усилий⎡ Rix ⎤⎢ Riy ⎥⎢⎥M⎢ iz ⎥R = ⎢R ⎥ .jx⎢⎥R⎢ jy ⎥⎢M ⎥⎣ jz ⎦Подобно тому, как выше была получена матрица жесткости ферменного элемента в глобальной системе координат, может быть получена матрица жесткости балочного элемента в глобальной системе координат:R = Kq , где2312 J 2 ⎞12 J ⎞6J12 J 2 ⎞ ⎛12 J ⎞6J⎡⎛⎤⎛⎛22⎢ ⎜ A cos ϕ + l 2 sin ϕ ⎟ − ⎜ − A + l 2 ⎟ sin ϕ cos ϕ − l sin ϕ − ⎜ A cos ϕ + l 2 sin ϕ ⎟ ⎜ − A + l 2 ⎟ sin ϕ cos ϕ − l sin ϕ ⎥⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎢⎝⎥JJJJJ12 J ⎞12612126⎢ ⎛⎥⎛⎞⎛⎞⎛⎞2222cos ϕcos ϕ ⎥⎜ − A + 2 ⎟ sin ϕ cos ϕ − ⎜ A sin ϕ + 2 cos ϕ ⎟⎢ − ⎜ − A + 2 ⎟ sin ϕ cos ϕ ⎜ A sin ϕ + 2 cos ϕ ⎟lll ⎠ll ⎠l⎝⎠⎝⎝⎠⎢ ⎝⎥6J6J6J6J⎢⎥sin ϕ4Jsin ϕ2J− sin ϕ− cos ϕ⎢⎥EllllK= ⎢⎥l ⎢ ⎛12 J 2 ⎞ ⎛12 J ⎞6J12 J 2 ⎞12 J ⎞6J⎛⎛22sin ϕsin ϕ ⎥− A cos ϕ + 2 sin ϕ ⎟ ⎜ − A + 2 ⎟ sin ϕ cos ϕ⎜ A cos ϕ + 2 sin ϕ ⎟ − ⎜ − A + 2 ⎟ sin ϕ cos ϕ⎢ ⎜⎝⎥llll ⎠ll ⎠⎠ ⎝⎝⎠⎝⎢⎥⎢ ⎛ − A + 12 J ⎞ sin ϕ cos ϕ − ⎛ A sin 2 ϕ + 12 J cos2 ϕ ⎞ − 6 J cos ϕ − ⎛ − A + 12 J ⎞ sin ϕ cos ϕ ⎛ A sin 2 ϕ + 12 J cos2 ϕ ⎞ − 6 J cos ϕ⎥⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢ ⎜⎝⎥lll2 ⎠l2l2 ⎠l2⎝⎠⎝⎝⎠⎢⎥6J6J6J6J4J⎢⎥cos ϕ2Jsin ϕ− sin ϕ− cos ϕ⎢⎣⎥⎦ .lllllЭта матрица также связана с матрицей жесткости балочного элемента в местной системе координат (4) соотношением (5), при этом000⎤⎡ cos ϕ sin ϕ 0⎢ − sin ϕ cos ϕ 0000⎥⎢⎥⎢ 001000⎥C=⎢⎥.000cossin0ϕϕ⎢⎥⎢ 000 − sin ϕ cos ϕ 0 ⎥⎢⎥00001⎦⎣ 0Характеристики совокупности элементовВыше были введены матрицы, характеризующие отдельный стержневой элемент, и получены соотношения между ними.
Теперь получим характеристики совокупности стержневых элементов, образующих стержневую систему.Первоначально будем считать элементы не связанными друг с другом. Общее число элементов системы – т.⎡ q1 ⎤⎢ ⎥⎢ # ⎥Вектор узловых перемещений системы q = ⎢ q r ⎥ .⎢ ⎥⎢ # ⎥⎢ m⎥⎣q ⎦(6)⎡ R1 ⎤⎢⎥⎢ # ⎥Вектор узловых усилий системы R = ⎢ R r ⎥ .⎢⎥⎢ # ⎥⎢ m⎥⎣R ⎦25⎡K1 нули ⎤⎥⎢%⎥⎢⎥.⎢rМатрица жесткости системы K =K⎥⎢⎥⎢%⎥⎢ули Km⎦⎣нДалее рассмотрим элементы, связанные в единую систему, напримерраму (см. рис.
23, а).Чтобы заставить m несвязанных элементов работать так же, как работает соответствующая система связанных элементов, нужно приравнятьперемещения соответствующих узлов этих двух систем.В матричной форме эти соотношения выглядят так:q = Hq ,где q – вектор узловых перемещений системы несвязанных элементов (6);Н – так называемая матрица соединения (или логическая матрица); q –вектор узловых перемещений системы связанных элементов.Матрица соединения состоит из единичных матриц Е. Для системыферменных элементов⎡1 0⎤E=⎢⎥.01⎣⎦Для системы балочных элементов⎡1 0 0⎤E = ⎢0 1 0⎥ .⎢⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦Матрица жесткости системы связанных элементовK = H Τ KH .ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИМЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВДля иллюстрации вышеизложенных основных принципов МКЭ рассчитаем ферму (рис. 28).2633му11ЕА2 кН32ЕАЕА2ЕА44ЕА512 кНх3м3мРис.
28Пронумеруем элементы (см. рис. 28).Запишем матрицы жесткости отдельных элементов фермы в местныхсистемах координат (рис. 29):⎡ 1 0 − 1 0⎤⎢⎥EA ⎢ 0 0 0 0⎥1,3KM =,3 2 ⎢ − 1 0 1 0⎥⎢⎥⎣ 0 0 0 0⎦0 − 1 0⎤0 0 0⎥⎥.0 1 0⎥⎥0 0 0⎦⎡1⎢2, 4,5 EA ⎢ 0KM =3 ⎢− 1⎢⎣0у3х321у1у4х2х1х4у23у5х545Рис. 2927Вычислим матрицы жесткости отдельных элементов фермы в глобальной системе координат ху (см. рис.
28).Для этого составим матрицы С направляющих косинусов элементов:00⎡ cos( x, x1 ) cos( y, x1 )⎤⎢⎥001 ⎢cos( x, y1 ) cos( y, y1 )⎥=С =⎢00cos( x, x1 ) cos( y, x1 )⎥⎢⎥00cos( x, y1 ) cos( y, y1 )⎦⎣00 ⎤⎡ cos 45° cos 315°⎢cos135° cos 45°00 ⎥⎥==⎢⎢ 00cos 45° cos 315°⎥⎢⎥0cos135° cos 45° ⎦⎣ 0⎡⎢⎢⎢⎢−=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣22222222000002220 −2⎡ 0⎢2 ⎢− 1С =⎢ 0⎢⎣ 0⎤0⎥⎥⎡ 1⎥0⎥⎢− 12⎢⎥=⎢ 02⎥2⎢⎥2 ⎥⎣ 02⎥⎥2 ⎦1 000000 −10⎤0⎥⎥;1⎥⎥0⎦0⎤⎡1 − 1 0⎢1 00⎥2 ⎢13⎥;С =⎢0 1 − 1⎥2 0⎢⎥0 11⎦⎣0281 01 0010 −10⎤0⎥⎥;1⎥⎥1⎦⎡1⎢45 ⎢0С =С =⎢0⎢⎣0010000100⎤0⎥⎥.0⎥⎥1⎦( )ΤТогда в соответствии с (5) K 1 = C1 K 1M C1 =0⎤⎡ 1⎡1 − 1 0⎢1 00⎥ EA ⎢ 02 ⎢1⎢⎥⋅=0 1 − 1⎥ 3 2 ⎢− 12 ⎢0⎢⎢⎥0 11⎦⎣ 0⎣00 − 1 0⎤⎡ 1 1 000 0⎥ 2 ⎢ − 1 1 0⎥⋅⎢01 0⎥ 2 ⎢ 0 01⎥⎢00 0⎦⎣ 0 0 −10⎤0⎥⎥=1⎥⎥1⎦⎡ 1 1 −1 −1⎤⎢⎥EA ⎢ 1 1 −1 −1⎥=.6 2 ⎢ −1 −1 1 1⎥⎢⎥⎣ −1 −1 1 1⎦Аналогично получим:0⎡0⎢01EA ⎢K2 =03 ⎢0⎢⎣0 − 1⎡ 1⎢EA ⎢ 044K = KM =3 ⎢− 1⎢⎣ 0000000⎤1⎤⎡ 1 −1 −1⎢⎥−10 −111 − 1⎥EA3⎢⎥, K =⎥,00⎥11 − 1⎥6 2 ⎢− 1⎢⎥⎥01⎦1⎦⎣ 1 −1 −1−10100⎤⎡ 1⎢0⎥EA ⎢ 05⎥ , K 5 = KM=0⎥3 ⎢− 1⎢⎥0⎦⎣ 00000−10100⎤0⎥⎥.0⎥⎥0⎦Составим матрицу жесткости системы несвязанных элементов:⎡K1⎢⎢K =⎢⎢⎢⎢н⎣нK2улK3улK4ии ⎤⎥⎥⎥.⎥⎥K 5 ⎥⎦29Получим матрицу жесткости системы связанных элементов K .Сначала составим матрицу соединения Н.
Для этого заставим систему несвязанных элементов (см. рис. 29) работать так же, как заданная система (см. рис. 28): приравняем перемещения соответствующих узлов этихдвух систем.q11 = q1 ,q12 = q3 ,q12 = q2 ,q22 = q3 ,q13 = q3 ,q23 = q4 ,q14 = q1 ,q24 = q2 ,q15 = q2 ,q25 = q4 .В этих выражениях qi (i = 1 ÷ 4 ) – элементы вектора узловых перемещений q системы связанных КЭ.
Нумерация узлов заданной системы – нарис. 28.В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом:⎡1 0⎤где E = ⎢⎥.⎣0 1 ⎦30⎡ q11 ⎤⎢ ⎥ ⎡E⎢ q12 ⎥ ⎢⎢ 2⎥ ⎢0⎢ q1 ⎥ ⎢ 0⎢ 2⎥ ⎢⎢ q2 ⎥ ⎢ 0⎢ 3⎥ ⎢⎢ q1 ⎥ = ⎢ 0⎢ q3 ⎥ ⎢ 0⎢ 2⎥ ⎢⎢q4 ⎥ ⎢ E⎢ 1 ⎥ ⎢0⎢ q24 ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢0⎢ q15 ⎥ ⎢ 0⎢ 5⎥ ⎣⎢⎣ q2 ⎥⎦000E0E0E000EE0E000000⎤0⎥⎥0⎥⎥0⎥0⎥⎥E⎥0⎥⎥0⎥0⎥⎥E ⎦⎥⎡ q1 ⎤⎢q ⎥⎢ 2⎥,⎢ q3 ⎥⎢ ⎥⎣ q4 ⎦Итак, матрица соединения имеет следующий вид:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢Н =⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣100100000000000000000010010000000010001000100000000000000011000000000000000000100010100100000000000000100100000000000010001000000000100000000 ⎤0 ⎥⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎥0 ⎥.0 ⎥⎥1 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎥0 ⎥1 ⎦⎥(7)Теперь в соответствии с формулой (7) вычислим матрицу жесткостизаданной системы K . В результате перемножения матриц получим:⎡⎛ 1⎤111⎞+ 1⎟−1 0 −−00⎥⎢⎜2 22 22 2⎠⎢⎝ 2 2⎥1111⎢⎥−0 0 −00⎥⎢2 22 22 22 2⎢⎥−−11020000⎥⎢⎢−100 01000⎥⎢⎥11111 ⎥EA ⎢−−−0 00K=⎥.3 ⎢222222222⎢⎥⎢1111 ⎥⎛ 1⎞−−+ 1⎟−0 −10 ⎜⎢⎥22222222 2⎥⎝⎠⎢⎢111 ⎥⎛ 1⎞+ 1⎟ −00 −1 0 −⎥⎢⎜2 22 2 ⎝2 22 2⎥⎠⎢⎢1111 ⎥−−00 0 0⎥⎢2 22 22 22 2⎦⎣31В заданной ферме перемещения узлов 1, 4 ограничены опорами: вузле 1 невозможно вертикальное смещение, в узле 4 – и горизонтальное, ивертикальное.
Поэтому в матрице К необходимо вычеркнуть строки истолбцы 2, 7, 8. Тогда матрица примет вид:11 ⎤⎡⎛ 1⎞110+−−−⎜⎟⎢ 2 22 22 2 ⎥⎥⎠⎢⎝000⎥−1 2⎢EA ⎢0010− 1⎥K=⎢⎥11300−0⎢⎥2 22⎢⎥⎛ 1⎞⎥⎢ − 10 −10 ⎜+ 1⎟⎢⎣2 2⎝ 2⎠⎥⎦или⎡ 1,35 − 1⎢−12EA ⎢⎢ 0K=03 ⎢0⎢− 0,35⎢⎣− 0,3500010−1− 0,35 − 0,35⎤00 ⎥⎥−1 ⎥ .0⎥0,70 ⎥01,7 ⎥⎦Теперь можно рассчитать перемещения узлов заданной фермы.Вектор внешних узловых нагрузок и вектор узловых перемещенийзаданной системы связаны соотношением R = K q , откудаq = (K )−1 R .Матрица (K )−1 обратная матрице K :⎡0,98⎢0,493 ⎢⎢0,49( K ) −1 =EA ⎢⎢0,49⎢⎣0,49320,490,490,490,490,245 0,2450,245 1,435 0,2450,245 0,245 0,9450,245 0,945 0,2450,49 ⎤0,245⎥⎥ 1=0,945 ⎥ ⋅0,49⎥0,245⎥0,945 ⎥⎦⎤10,5 0,5 0,5 ⎥⎥0,5 2,93 0,5 1,93⎥ .⎥0,5 0,5 1,93 0,5 ⎥0,5 1,93 0,5 1,93⎥⎦⎡2⎢13 ⎢⎢1=EA ⎢⎢1⎢⎣11111⎡ 0⎤⎢ 0⎥⎥⎢Вектор внешних узловых нагрузок R = ⎢− 12 ⎥ .⎥⎢2⎥⎢⎢⎣ 0 ⎥⎦⎡2⎢13 ⎢⎢1Тогда q =EA ⎢⎢1⎢⎣ 1⎤10,5 0,5 0,5 ⎥⎥0,5 2,93 0,5 1,93⎥⎥0,5 0,5 1,93 0,5 ⎥0,5 1,93 0,5 1,93⎥⎦1111⎡ 0⎤⎡ −10 ⎤⎢ 0⎥⎢ −5 ⎥⎢⎥ 3 ⎢⎥⎢ −12 ⎥ =⎢ −34, 2 ⎥ .⎢⎥ EA ⎢⎥2⎢⎥⎢ −2,14 ⎥⎢⎣ 0 ⎥⎦⎢⎣ −22, 2 ⎥⎦Далее определим внутренние усилия в заданной ферме.Для этого сначала запишем векторы узловых перемещений конечныхэлементов (в глобальной системе координат):⎡ −10 ⎤⎡ q1 ⎤ 3 ⎢ 0 ⎥1⎢⎥,q =⎢ ⎥=⎢⎣ q 2 ⎥⎦ EA ⎢ −2,14 ⎥⎢⎥⎣ −22, 2 ⎦⎡ −5 ⎤⎡ q 2 ⎤ 3 ⎢ −34, 2 ⎥2⎢⎥,q =⎢ ⎥=⎢⎣ q 3 ⎥⎦ EA ⎢ − 2,14 ⎥⎢⎥⎣ −22, 2 ⎦⎡ − 2,14 ⎤⎡ q 3 ⎤ 3 ⎢ −22,2 ⎥3⎢⎥,q =⎢ ⎥=⎢⎥0qEA⎢⎣ 4 ⎥⎦⎢⎥⎣ 0 ⎦⎡ −10 ⎤⎡ q1 ⎤ 3 ⎢ 0 ⎥4⎢⎥,q =⎢ ⎥=⎢⎥−5qEA⎢⎣ 2 ⎥⎦⎢⎥⎣ −34, 2 ⎦33⎡ −5 ⎤⎥⎢3 ⎢− 34,2⎥5 ⎡q 2 ⎤q =⎢ ⎥=.q⎥⎢0EA⎣ 4⎦⎥⎢⎣ 0 ⎦Затем получим векторы узловых перемещений стержней в их местных системах координат:q1M⎡ 1⎢2 ⎢ −11 1=C q =2 ⎢ 0⎢⎣ 00 0⎤⎡ 10 ⎤⎡ −10 ⎤⎥⎢⎥⎢ 10 ⎥1 0 0 303⎥⋅⎢⎥=⎢⎥,0 1 1⎥ EA ⎢ −2,14 ⎥2 EA ⎢ −24,3⎥⎥⎢⎥⎢⎥0 −1 1⎦⎣ −22, 2 ⎦⎣ −20,0 ⎦1аналогично⎡ − 34,2 ⎤⎥⎢3 ⎢ 5 ⎥2,qM =EA ⎢− 22,2 ⎥⎥⎢⎣ 2,14⎦⎡ 20,0⎤⎥⎢3 ⎢− 24,3 ⎥3qM =,2 EA ⎢ 0 ⎥⎥⎢⎣ 0 ⎦⎡ − 10 ⎤⎥⎢3 ⎢ 0 ⎥44,qM = q =EA ⎢ − 5 ⎥⎥⎢⎣− 34,2⎦⎡ −5 ⎤⎥⎢3 ⎢− 34,2⎥55.qM = q =EA ⎢ 0 ⎥⎥⎢⎣ 0 ⎦Наконец, вычислим векторы узловых усилий элементов:R1M = K 1M q1M⎡1⎢EA ⎢ 0=3 2 ⎢ −1⎢⎣00 −1 0 ⎤⎡ −10 ⎤⎢ 10 ⎥0 0 0⎥⎥⋅ 3 ⎢⎥=0 1 0 ⎥ 2 EA ⎢ −24,3⎥⎥⎢⎥0 0 0⎦⎣ −20,0 ⎦⎡ 14,3⎤ ⎡ 7,15⎤⎥⎥ ⎢⎢1⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥кН,==2 ⎢− 14,3⎥ ⎢− 7,15⎥⎥⎥ ⎢⎢⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦34аналогично⎡− 12 ⎤⎢ 0⎥2⎥ кН,RM = ⎢⎢ 12 ⎥⎥⎢⎣ 0⎦⎡ 10,0⎤⎢ 0 ⎥3⎥ кН,RM = ⎢⎢− 10,0⎥⎥⎢⎣ 0 ⎦⎡− 5 ⎤⎢ 0⎥4RM = ⎢ ⎥ кН,⎢ 5⎥⎢ ⎥⎣ 0⎦⎡− 5 ⎤⎢ 0⎥5RM = ⎢ ⎥ кН.⎢ 5⎥⎢ ⎥⎣ 0⎦Результаты расчета этих усилий для некоторых элементов показанына рис.
30.х2х112 кН7,15 кНу112у27,15 кН12 кНРис. 30Проверить результаты расчета можно, например, по условиям равновесия узлов фермы. Вырежем узел 3 и рассмотрим его равновесие под действием приложенных внешних нагрузок и внутренних усилий (рис. 31).37,15 кН45°2 кН45°10 кН12 кНРис. 3135Составим уравнения равновесия:∑ х = 0 : 7,15 cos 45D + 2 − 10 cos 45D ≈ 0 .y = 0 : 7,15 cos 45D − 2 + 10 cos 45D ≈ 0 .∑Таким образом, узлы находятся в равновесии.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики / Г.
К. Клейн [и др.]. – М. : Высш. шк., 1980. – 384 с.2. Розин, Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов / Л. А. Розин. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1976. – 232 с.3. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. – М. : Мир, 1979. – 393 с.4. Кислов, В. М. Метод конечных элементов : метод. указания кпракт. занятиям / В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
