Кондратьева Л.Е. - Основы метода конечных элементов (1061791), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Соединение в узле может быть жестким(рис. 14, а – для плоской стержневой системы) или шарнирным (рис. 14, б –также для плоской стержневой системы).а)б)Рис. 14Жесткий узел обеспечивает равенство всех перемещений концевыхсечений элементов, примыкающих к узлу (и линейных перемещений, и углов поворота). Шарнирный узел обеспечивает равенство только линейныхперемещений концов элементов.За неизвестные принимаются перемещения узлов стержневой системы.Матрица жесткости ферменного элементаyviij´jiuiujРис. 1510´vjlxРассмотрим отдельный конечный элемент с шарнирнымиузлами i, j (рис. 15). Такие элементы называются ферменными.Свяжем с ним систему координатху (см.
рис. 15). Эта система координат, привязанная к конкретному конечному элементу, называется местной.Под действием внешних нагрузок стержневая система деформируется, в том числе деформируется рассматриваемый элемент. Его узлы переместятся в новые положения i ′, j ′ (см. рис. 15). Матрицы-векторы перемещений узлов i и j соответственно⎡u j ⎤⎡ui ⎤qi = ⎢ ⎥ , q j = ⎢ ⎥ ,⎢⎣v j ⎥⎦⎣vi ⎦а вектор узловых перемещений элемента⎡ui ⎤⎢ ⎥⎡qi ⎤ ⎢vi ⎥q=⎢ ⎥=.⎢u j ⎥qj⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢⎣v j ⎥⎦Теперь рассмотрим усилия, приложенные к элементу, – внутренниеусилия, заменяющие действие остальной части стержневой системы нанаш элемент (рис. 16).yj RjxRix iRiyxRjyРис.
16Матрицы-векторы внутренних усилий для узлов i и j⎡ Rix ⎤⎡ R jx ⎤Ri = ⎢ ⎥ , R j = ⎢⎥,RRiyjy⎦⎣ ⎦⎣вектор усилий всего элемента⎡ Rix ⎤⎢⎥⎡ Ri ⎤ ⎢ Riy ⎥.R=⎢ ⎥=⎢⎥RRjjx⎣ ⎦⎢⎥⎢⎣ R jy ⎥⎦Если нагрузка на такой прямолинейный элемент приложена только вузлах, Riy = R jy = 0 . Действительно, из условия равновесия элемента∑Mi = 0 →R jy l = 0 → R jy = 0 ,11из условия равновесия∑y=0 →Riy + R jy = 0 → Riу = 0 .Кроме этого из условия равновесия элемента∑x = 0→ Riх + R jx = 0 → R jx = − Rix = Rx .Это означает, что продольные усилия одинаковы по величине и противонаправлены. На рис.
17 представлена соответствующая картина с растягивающими усилиями.yRxjiRxxРис. 17Удлинение элемента Δl = u j − ui , тогдаR x = EA()Δl EA=u j − ui ,llгде Е – модуль Юнга материала; А – площадь поперечного сечения элемента.В матричной форме⎡ 1⎢EA ⎢ 0R=l ⎢ −1⎢⎣ 00 −10001000⎤0⎥⎥q0⎥⎥0⎦или⎡ Rix ⎤⎡ 1⎢⎥⎢⎢ Riy ⎥ EA ⎢ 0⎢ R ⎥ = l ⎢ −1⎢ jx ⎥⎢⎢ R jy ⎥⎣ 0⎣⎦120 −10001000⎤0⎥⎥0⎥⎥0⎦⎡ui ⎤⎢ ⎥⎢ vi ⎥⎢u ⎥ .⎢ j⎥⎢v j ⎥⎣ ⎦(1)Обозначим⎡ 1⎢EA ⎢ 0KM =l ⎢− 1⎢⎣ 00 −10001000⎤0⎥⎥.0⎥⎥0⎦(2)Такая матрица называется матрицей жесткости стержневого элемента вместной системе координат.ОкончательноR = KM q .(3)Матрица жесткости балочного элементаТеперь рассмотрим отдельный конечный элемент с жесткими узламиi, j (рис.
18).yΘjvii´jujiuiz´vjjΘixlРис. 18Такие элементы называются балочными. В результате деформациистержневой системы под действием внешних нагрузок узлы рассматриваемого элемента переместятся в новые положения i ′, j ′ , кроме этого концевые сечения повернутся (см. рис. 18). Векторы перемещений узлов⎡u j ⎤⎡ ui ⎤⎢ ⎥qi = ⎢ vi ⎥ , q j = ⎢ v j ⎥ ,⎢ ⎥⎢Θ j ⎥⎢⎣Θ i ⎥⎦⎣ ⎦13а вектор узловых перемещений элемента⎡ ui ⎤⎢v ⎥⎢ i ⎥⎢ Θi ⎥q = ⎢ ⎥.⎢u j ⎥⎢vj ⎥⎢ ⎥⎢⎣Θ j ⎥⎦Усилия, действующие на элемент, показаны на рис.
19.yj Rjx Mjz xMiz Rix izRjyRiyРис. 19Векторы внутренних усилий для узлов i, j⎡ R jx ⎤⎡ Rix ⎤⎢⎥Ri = ⎢ Riy ⎥ , R j = ⎢ R jy ⎥ ,⎢⎥⎢⎥⎢⎣ M iz ⎥⎦⎢⎣ M jz ⎥⎦а вектор для всего элемента⎡ Rix ⎤⎢R ⎥⎢ iy ⎥⎢ M iz ⎥R=⎢⎥.Rjx⎥⎢⎢ R jy ⎥⎥⎢M⎣⎢ jz ⎦⎥Матрицу жесткости КM балочного элемента получим следующим образом. Будем отдельно рассматривать перемещения узлов по оси х, по осиy, повороты узловых сечений относительно оси z для каждого узла(рис. 20).Узловые усилия можно определить, воспользовавшись табличнымирезультатами для расчета рам методом перемещений [1] (рис.
21).14yyujui′ijizx′jijxzyj′yjixvjvii′jizxzyyΘijiΘjxjizxzРис. 20liABMBRAΔ=1MA6i;l6iMB = ;l12iR A = RB =;l2MA = −RBMAlM A = 4i ;M B = 2i ;iBR A = RB =ϕA = 1RBϕA = 1ARAMBгде i =6i,lEJlРис. 2115Учитывая направления перемещений узлов, а также то, что смещения узлов нашего балочного элемента не единичные, а vi , v j , Θi , Θ j (см.рис. 20), получим усилия, соответствующие отдельным смещениям узлов,показанные на рис. 22.y6 EJvil2i′12 EJvil3vi12 EJvil3i6 EJvil2xjz12 EJvjl3j′6 EJvjl26 EJvjl2vjyxji12 EJvjl3zyΘi2 EJΘil4 EJΘili6 EJΘil2zxj6 EJΘil2yΘj2 EJΘjlz4 EJΘjli6 EJΘjl2jРис. 22166 EJΘjl2xТогда узловые усилияRiy = 0 ⋅ ui +12 EJ6 EJ12 EJ6 EJvi +Θi + 0 ⋅ u j −vj +Θj,l3l2l3l2R jy = 0 ⋅ ui −12 EJ6 EJ12 EJ6 EJvi −Θi + 0 ⋅ u j +vj −Θj,l3l2l3l2M iz = 0 ⋅ ui +6 EJ4 EJ6 EJ2 EJvi +Θi + 0 ⋅ u j −Θj,vj +lll2l2M jz = 0 ⋅ ui +6 EJ2 EJ6 EJ4 EJvi +Θi + 0 ⋅ u j −Θj.vj +lll2l2Выражения для узловых усилий Rix и R jx получаются с использованием формулы (1):Rix =EAEAui + 0 ⋅ vi + 0 ⋅ Θi −uj + 0⋅vj + 0⋅Θ j ,llR jx = −EAEAui + 0 ⋅ vi + 0 ⋅ Θi +uj + 0⋅vj + 0⋅Θ j.llВ матричной форме⎡ EA0⎢ l⎢12 EJ⎢⎡ Rix ⎤ ⎢ 0l3⎢R ⎥ ⎢⎢ iy ⎥ ⎢6 EJ0⎢ M iz ⎥ ⎢l2⎢⎥=⎢⎢ R jx ⎥ ⎢ EA0⎢⎥ ⎢− lRjy⎢⎥ ⎢12 EJ⎢M ⎥ ⎢ 0− 3⎣ jz ⎦⎢l⎢6 EJ⎢ 0l2⎣⎢06 EJl24 EJl0−6 EJl22 EJl−EAl012 EJ0−0−EAl00l36 EJl2012 EJ−l36 EJl2⎤⎥⎥6 EJ ⎥l2 ⎥⎥2 EJ ⎥l ⎥⎥0 ⎥⎥6 EJ ⎥− 2 ⎥l ⎥4 EJ ⎥⎥l ⎥⎦0⎡ ui ⎤⎢v ⎥⎢ i ⎥⎢ Θi ⎥⎢ ⎥⎢uj ⎥⎢v ⎥⎢ j⎥⎢Θ j ⎥⎣ ⎦17или0⎡ A⎢12 J⎢ 0⎡ Rix ⎤⎢l2⎢R ⎥⎢⎢ iy ⎥6J⎢ 0⎢ M iz ⎥l⎢⎥= E⎢0⎢ R jx ⎥ l ⎢ − A⎢⎢⎥⎢ 0 − 12 J⎢ R jy ⎥⎢⎢M ⎥l2⎣ jz ⎦⎢6J⎢ 0⎢⎣l0−A6Jl04J00A6Jl0−2J00−12 Jl26J−l012 Jl26J−l0 ⎤6J ⎥⎥l ⎥⎥2J ⎥⎥0 ⎥⎥6J ⎥−l ⎥⎥4J ⎥⎥⎦⎡ ui ⎤⎢v ⎥⎢ i ⎥⎢ Θi ⎥⎢ ⎥.⎢uj ⎥⎢v ⎥⎢ j⎥⎢Θ j ⎥⎣ ⎦В общем виде это уравнение выглядит так же, как для ферменногоэлемента (3):R = KM q ,где K M – матрица жесткости балочного элемента:KM0⎡ A⎢12 J⎢ 0⎢l2⎢6J⎢ 0El= ⎢0l ⎢− A⎢⎢ 0 − 12 J⎢l2⎢6J⎢ 0⎢⎣l0−A6Jl04J00A6Jl0−2J00−12 Jl26J−l012 Jl26J−l0 ⎤6J ⎥⎥l ⎥⎥2J ⎥⎥ .0 ⎥⎥6J ⎥−l ⎥⎥4J ⎥⎥⎦(4)Приведение внешних нагрузок к узловым усилиямВ предыдущих разделах рассматривались стержневые элементы, накоторые действует только узловая нагрузка (см.
рис. 16, 19). В действительности внешняя нагрузка на стержневые конструкции может быть ираспределенной (рис. 23, а).18В таких случаях перед решением задачи МКЭ проводится так называемое приведение внешних нагрузок к узловым усилиям.Так как рассматриваются линейно-деформируемые упругие стержневые системы, можно использовать принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил). В соответствии с этим принципом результат действия группы сил равен сумме результатов, полученных от действия каждой силы в отдельности.qqjFFh/2hila)qб)3ql8ql 20,125 Fh 8F2F5ql8F2в)0,125 FhРис. 23г)Представим решение нашей задачи в виде суммы решений для тойже стержневой системы от нескольких внешних воздействий, равных всумме исходному воздействию.Закрепим все узлы системы от всех возможных смещений (рис.
23, б):в данном случае это означает введение жесткой заделки в узел i и шарнирно-неподвижной опоры в узел j. В результате qi = 0 , q j = 0 . Получившаясяпри этом система – это не связанные друг с другом стержневые элементы(рис. 23, в).19Определить усилия в такой системе можно относительно просто: каждый отдельный стержень – дважды или трижды статически неопределимая система, которая может быть рассчитана методом сил. В случае простейших внешних нагрузок можно воспользоваться готовыми решениями[1] (рис.
23, г – эпюра изгибающих моментов M изг в отдельных стержнях).Теперь рассмотрим заданную53qlql систему (см. рис. 23, а) под действи2⎛ ql⎞ 88ем узловых усилий, равных тем, ко⎜⎟⎜ 8 − 0,125 Fh ⎟F⎝⎠торые приходились в отдельных2стержнях на их опоры (рис. 24).По принципу суперпозицииFрешение исходной задачи (см. рис.223, а) можно представить в видесуммы решений двух задач (рис.0,125 Fh23, б и 24).Таким образом, расчет стержРис.
24невой системы на действие произвольной внешней нагрузки состоит из расчета отдельных ее элементов надействие внешней нагрузки, относящейся к ним, и расчета всей стержневой системы в целом на действие только узловых усилий. Первый расчет,как было сказано выше, относительно прост. Поэтому задача сводится восновном к расчету стержневой системы на узловые нагрузки. Описаннаяоперация и называется приведением внешних нагрузок к узловым усилиям.Преобразование матрицы жесткости ферменного элементапри переходе к глобальной системе координатРассмотрим ферменный элемент в некоторой системе координат ху,единой для всей стержневой сисyxrRRsinϕтемы, состоящей из ферменныхjyrэлементов (рис. 25). Такая систеRcosϕϕEAма координат называется глоRcosϕ ilбальной.
xr y r – местная системаR Rsinϕкоординат данного элемента.xРис. 2520В результате деформации узлы элемента переместятся (рис. 26).j′yrjvii′ivjyxrujuixРис. 26Вектор узловых перемещений элемента в глобальной системе координат⎡ ui ⎤⎢v ⎥iq=⎢ ⎥.⎢u j ⎥⎢ ⎥⎣⎢ v j ⎦⎥Вектор узловых усилий⎡ Rix ⎤ ⎡− R cos ϕ⎤⎢R ⎥ ⎢⎥iy ⎥ ⎢ − R sin ϕ ⎥⎢R==.⎢ R jx ⎥ ⎢ R cos ϕ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎢ R jy ⎦⎥ ⎣ R sin ϕ ⎦()()[()()Удлинение элемента Δl = u j − ui cos ϕ + v j − vi sin ϕ . ТогдаR=]EAEAΔl =u j − ui cos ϕ + v j − vi sin ϕ .llВектор узловых усилий((((⎡ − u j − ui⎡ Rix ⎤⎢⎢R ⎥iy ⎥ EA ⎢ − u j − ui⎢R==⎢ R jx ⎥l ⎢ u j − ui⎢⎢⎥⎢⎣ R jy ⎥⎦⎢⎣ u j − ui)cos 2 ϕ − (v j − vi )sin ϕ cos ϕ⎤)cos ϕ sin ϕ − (v j − vi )sin 2 ϕ⎥⎥ =)cos 2 ϕ + (v j − vi )sin ϕ cos ϕ⎥⎥)cos ϕ sin ϕ + (v j − vi )sin 2 ϕ⎥⎦21⎡ ui cos 2 ϕ + vi sin ϕ cos ϕ − u j cos 2 ϕ − v j sin ϕ cos ϕ⎤⎥⎢EA ⎢ ui sin ϕ cos ϕ + vi sin 2 ϕ − u j sin ϕ cos ϕ − v j sin 2 ϕ⎥==l ⎢− ui cos 2 ϕ − vi sin ϕ cos ϕ + u j cos 2 ϕ + v j sin ϕ cos ϕ⎥⎥⎢22⎢⎣ − ui sin ϕ cos ϕ − vi sin ϕ + u j sin ϕ cos ϕ + v j sin ϕ⎥⎦⎡cos 2 ϕsin ϕ cos ϕ− cos 2 ϕ − sin ϕ cos ϕ⎤ ⎡ ui ⎤⎢⎥⎢ ⎥22− sin ϕ⎥ ⎢ vi ⎥sin ϕ − sin ϕ cos ϕEA ⎢ sin ϕ cos ϕ=⎢⎥ ⎢ ⎥.l ⎢− cos 2 ϕ − sin ϕ cos ϕcos 2 ϕsin ϕ cos ϕ⎥ ⎢u j ⎥⎢⎥ v− sin 2 ϕsin ϕ cos ϕsin 2 ϕ⎦ ⎢⎣ j ⎥⎦⎣ − sin ϕ cos ϕМатрицу⎡− cos 2 ϕ − sin ϕ cos ϕ⎤cos 2 ϕsin ϕ cos ϕ⎢⎥− sin 2 ϕ⎥sin 2 ϕ − sin ϕ cos ϕEA ⎢ sin ϕ cos ϕK=l ⎢ − cos 2 ϕ − sin ϕ cos ϕcos 2 ϕsin ϕ cos ϕ⎥⎢⎥− sin 2 ϕsin ϕ cos ϕsin 2 ϕ⎦⎣− sin ϕ cos ϕназывают матрицей жесткости ферменного элемента в глобальной системекоординат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
