Заказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. - Теория оптических систем (1060803), страница 5
Текст из файла (страница 5)
10. Отражение лучей сферической поверхностью (15) Рис. 1З. Отравгеиие луча вогнутой сфери ческой ооверхиостьв где д=к — и. Вогнутая сферическая поверхность радиусом г показана на рис. 15. Найдем положение отраженного луча (угол о' и отрезок з'), если положение падающего луча задано углом о и отрезком з между вершиной 0 сферической поверяности и осевой точкой А .
Из с~ АМС (точка М— точка встречи падающего луча со сферической поверхностью на высоте 6, точка С— центр кривизны сферы) следует, что з1п е = (п1г) а1п о, Рис. 16. Отражение луча выпуклой сферической поверхностью По закону отражения е' = — е, Из Л АМА' имеем а' = а+ 2е'. (16) Из к'ь СМА' получим д' = гз1пе'(з1па'. (17) Для вычисления отрезка з', определяющего положение точки А' — изображения точки А, используем равенство 3'=т а. (18) Из формул (15) — (18) следует, что отрезок з' является нелинейной функцией угла а. Следовательно, сферическая отражающая поверхность не сохраняет гомоцентричности пучка лучей после его отражения. Высоту й падения луча находят по формуле Й = г з!п <р = г з!п (а' — е'). В тех же обозначениях, что и на рис.
!5, на рис. !6 показано отражение луча от выпуклой сферической поверхности. Определяемые формулами (15) — (18) значения а' и з' являются исходными для расчета хода лучей через последующую отражающую ялн преломляющую поверхность. При этом ат — — а(, а зт = з( — с! (рис.
17). Для вычисления з, расстояние б согласно правилу знаков должно быть взято со знаком минус. Рис. ! 7. Отражение луча снстеыоа из двух зеркал 11. Преломление лучей несферической поверхностью Преимущества, которыми обладают оптические системы с не- сферическими поверхностями вследствие наличия у них дополнительных по сравнению с обычной сферической оптикой расчетных параметров, достаточно широко и давно известны. Трудности изготовления и контроля несферических поверхностей успешно преодолеваются (11, 271. Наиболее простыми в изготовлении и поэтому чаще других применяемыми в оптических системах являются поверхности второго порядка (параболоид, эллипсоид, гиперболоид). Рассмотрим преломление лучей поверхностью второго порядка, меридианальное сечение которой показано на рис.
18. М. М. Русинов для определения хода луча после его преломления поверхностью второго порядка предложил способ, основанный на решении системы из двух уравнений [30!. Одним из уравнений системы является уравнение профиля поверхности, другим — уравнение прямой — луча, падающего на эту поверхность. Если уравнение профиля поверхности, вершина О которой совпадает с началом координат, задано в виде у' = а,г + а,ге (19) (случай а, < 0 соответствует эллипсу, ае > 0 — гиперболе и ае = 0 — параболе), а уравнение луча — в виде у=аг+Ь, (20) то после исключения ординаты получаем аегв + 2аог + ое = а,г + аегв, а при исключении абсциссы г— у=а, ~ +ае~» ) . (21) Так как абсцисса г точки М встречи луча с поверхностью обычно мала (по абсолютному значению), то для большей точ- Рее.
13. Преломленне луча поверхностью второго порнлна 24 ности вычислений целесообразно ординату у определять из уравнения (21): а,а — 2а,э*а')/а) 4Ь(д,д д Ь) у 2( — ) ° (22) Коэффициенты и и Ь, входящие в уравнение луча (20), соответственно равны а = — 12 о; Ь = з 1н о. (23) Значение коэффициента а, в уравнении (19) равно удвоенному радиусу кривой меридионального сечения в ее вершине: аг = 2г,. Учитывая (23) и (24), уравнение (22) можно записать в следующем виде: ) + (д/гд) ад~ ) + (д/тд [2+ (д/г~) а>)К~а (28) у = ад/)Х а — 1я д Абсцисса г точки встречи определяется по уравнению луча (20). Если меридиональное сечение поверхности представляет собой параболу, то решение (25) будет более простым, а именно: д- — ь~д )(1 аут+ 2) / ) Фг При известных координатах г и у точки встречи М угол д) между нормалью к поверхности в этой точке и осью ОЛ получается из выражения 1д у = дг/ду, которое в общем случае будет иметь вид: (26) 1и ч = у/(а,/2+ а,г) = у/(гд + а,г).
Из рис. 18 находим, что е = о — т. (27) В соответствии с законом преломления угол преломления е' рассчитывают по формуле ып е' = (л,/л,) з)не. (28) Угол о' между преломленным лучом и оптической осью о' = а + е'. (29) Отрезок з', определяющий положение изображения А' точки А, будет равен з' = у/1цо'+ г. (30) Таким образом, последовательное использование полученных формул дает возможность решить задачу расчета хода луча после его преломления поверхностью второго порядка. Этот же способ 25 Рнс.
!9. Отражение луча по- вархностмо второго порвана применим и для поверхностей высших порядков. Исходными данными для последующей поверхности являются полученные значения оа и за, аа+т — — оа и ее+~ = за — т1м 12. Отражение от несферических поверхностей Для решения задачи определения положения луча, отраженного от несферической поверхности, в первую очередь следует найти координаты точки встречи этого луча с заданн й н есферической поверхностью, например, способом, изложенным в п. 11.
Затем используют формулы (26) — (30), при этом формулу (28), относящуюся к случаю преломления, необходимо заменить равенством е' = — е. Р ассмотрим отражение луча поверхностью второго порядка, меридианальное сечение которой показано на рис. 19. Уравнение этого сечения имеет вид: у = а,г + а,га. Л уч АМ встречается с поверхностью в точке М с координатами г и у. После отражения этот луч в пересечении с оптической осью (ось ОЯ) дает точку А' — изображение точки А. Угол тр между нормалью в точке М кривой и осью Ое вычисляют по формуле (26). Угол падения луча е = а — ~р.
Угол отражения луча От е' = — е. Угол между отраженным лучом и осью о' = тр+ е'. резок з', определяющий положение точки А' относительно вершины О отражающей поверхности, равен з' = у/1д о' + г. (31) Формула (31) по внешнему виду такая же, как и формула (30). Координаты г и у для формулы (31) определяются выражениями (20) и (25) Глава 1П ИДЕАЛЬНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 13. Понятие об идеальной оптической системе и ее свойства.
Линейное увеличение Идеальной оптической системой называют оптическую систему, отображающую каждую точку предмета точкой и сохраняющую заданный масштаб изображения. В действительности даже без учета днфракции, как правило, реальные оптические системы не обеспечивают образования абсолютно резкого изображения и его полного соответствия предмету. При создании оптической системы с допустимыми отступлениями от идеальной используется представление об идеальном изображении, получаемом при действии идеальной оптической системы. Чтобы такая система превращала гомоцентрический пучок лучей пространства предметов в гомоцентрнческий пучок лу-. чей пространства изображений, необходимо выполнить следующие условия: каждой точке пространства предметов должна соответствовать точка пространства изображений; каждой прямой пространства предметов должна соответствовать прямая пространства изображений.
Такие соответствующие друг другу точки и прямые (в том числе и лучи), находящиеся в разных пространствах, называют сопряженными. Следует напомнить, что и пространство предметов и пространство изображений заполняют все пространство. Линейным увеличением р оптической системы называют отношение линейного размера изображения, перпендикулярного к оптической осн, к соответствующему размеру предмета, также перпендикулярного к оптической оси; р = у'/у Для идеальных оптических систем с круговой симметрией линейное увеличение постоянно в пределах всего поля изображения.
Для оптических систем двоякой симметрии линейное увеличение различно в двух взаимно перпендикулярных направлениях плоскости изображения. 14. Кардинальные злементы идеальной оптической системы Среди множества точек пространства предметов имеются бесконечно удаленные точки, Каждая бесконечно удаленная точка принадлежит пучку параллельных прямых (пучок парал- 'и Рао. Ю. Кардинальные элементы оптической системы лельных прямых пересекается в бесконечно удаленной точке).
Множеством бесконечно удаленных точек является бесконечно удаленная плоскость. Возьмем в этой плоскости точку Я, принадлежащую оптической оси (рис. 20). Из точки Я исходит пучок параллельных лучей, каждый нз которых параллелен оптической оси, падающих, например, на преломляющу1о поверхность 1 осесимметричной оптической системы. Эта система, если она идеальна, в пространсгве изображений обеспечит получение осевой точки г', сопряженной с бесконечно удаленной осевой точкой. Точку г' называют задним фокусом оптической системы. Плоскость, проходящую через задний фокус перпендикулярно к оптической оси, называют задней фокальной плоскостью оптической системы. Действие оптической системы из а преломляющих и отражающих поверхностей можно рассматривать как действие некоторой пары условных сопряженных плоскостей, перпендикулярных к оптической оси, линейное увеличение в которых Р = +1 (рис.
20). Одну из этих плоскостей называют задней главной плоскостью оптической системы, а точку Н' ее пересечения с оптической осью — задней главной точкой оптической системы. Положение задней главной плоскости определяется 'точкой 0' пересечения продолжения луча или самого луча, идущего параллельно оптической оси в пространстве предметов, с продолжением этого же луча или самого луча, прошедшего оптическую систему и образующего в пересечении с оптической осью задний фокус г'. Расстояние 1' между задней главной точкой Н' и задним фокусом г* называют задним фокусным расстоянием оптической системы. Приведенные определения можно отнести и к случаю обратного хода луча через оптическую систему, т.
е. лучей, идущих справа налево. В этом случае другую плоскость, сопряженную с задней главной плоскостью 1в обратном ходе лучей), называют передней главной плоскостью, а точку Н ее пересечения с оптической осью — передней главнай точкой, Положение передней главной плоскости определяется точкой пересечения продолжения тм луча или самого луча в обратном ходе (справа налево), идущего параллельно оптической оси, с продолжением этого же луча или самого луча, прошедшего оптическую систему и образующего в пересечении с оптической осью передний фокус Р в пространстве предметов.
С фокусом Р сопряжена бесконечно удаленная точка Я' оптической оси в пространстве изображений. Плоскость, проходящую через передний фокус перпендикулярно к оптической оси, называют передней фокальной плоскостью. Расстояние 1 от передней главной точки до переднего фокуса является передним фокусным расстоянием оптической системы. Фокусы, фокальные плоскости, главные плоскости, главные точки и фокусные расстояния называют кардинальными элементами оптической системы. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
