Вишняков - Расчет электромагнитных полей с помощью программного комплекса ANSYS – 00.2 Введение (1050614)
Текст из файла
 è ø í ÿ êî â Ñ .  . , Ãî ðä þõ è í à Í . Ì . , Ô åä î ð î âà Å . Ì .Ð à ñ÷ å ò ýë å ê ò ð îì à ã í è ò í û õ ï î ë å é ñ ï îì î ù ü þ ï ð î ã ð à ì ì í î ãî ê î ì ï ë å êñ à A N S Y SÌÝÈ (ÒÓ) Êàôåäðà ýëåêòðîôèçèêè 2003ÂâåäåíèåÌåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâÌåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòîä÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîé çàäà÷è.
Âìàòåìàòèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáîé êðàåâîé çàäà÷å ìîæíîïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèåíåêîòîðóþ òàê íàçûâàåìóþâàðèàöèîííóþ çàäà÷ó − íàõîæäåíèå ôóíêöèè, ìèíèìèçèðóþùèéñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèîíàë. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ðåøèòü äâåïðîáëåìû: íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèîíàë è îòûñêàòüôóíêöèþ, åãî ìèíèìèçèðóþùóþ. Òàêîé ìåòîä ðåøåíèÿ êðàåâûõçàäà÷ íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì. Îí îñíîâàí íà ôóíäàìåíòàëüíîìôèçè÷åñêîì ïðèíöèïå íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ.Ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷àì ýëåêòðî- è ìàãíèòîñòàòèêè ïðèãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ I ðîäà (óñëîâèÿ Äèðèõëå) ìèíèìèçèðóåìûìôóíêöèîíàëîì ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ çàïàñåííîé âïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîé (èëè ìàãíèòíîé) ýíåðãèè:WÝ =1εε 0 E 2dv ,∫2WÌ =1µµ 0 H 2dv∫2Òàê êàê E =-grad ϕ ,òî ìèíèìèçèðóåìûé ôóíêöèîíàë ìîæíîçàïèñàòü â âèäåWÝ =12εε 0 (grad ϕ) dv ,2∫à èñêîìîé (ìèíèìèçèðóþùåé) ôóíêöèåé áóäåò ϕ(ξ,ζ,η).Çàäà÷à ðàñ÷åòà ïîëÿ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ òàêîé ôóíêöèèϕ(ξ,ζ,η), ïðè êîòîðîé W{ϕ}⇒ min. êëàññè÷åñêîé òåîðèè ïîëÿ âàðèàöèîííûì ìåòîäîìðåøåíî ìíîæåñòâî ðàçíîîáðàçíûõ çàäà÷.
 íàñòîÿùåå âðåìÿøèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ÷èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ âàðèàöèîííûõçàäà÷, îðèåíòèðîâàííûé íà ïðèìåíåíèå ÝÂÌ − ìåòîä êîíå÷íûõýëåìåíòîâ.Ñóòü ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.Îáëàñòü ðåøåíèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà êîíå÷íûå ýëåìåíòû. Âêà÷åñòâå ôóíêöèîíàëà âûñòóïàåò ñóììà ýëåêòðè÷åñêèõ ýíåðãèé,5 è ø í ÿ êî â Ñ .  . , Ãî ðä þõ è í à Í . Ì . , Ô åä î ð î âà Å . Ì .Ð à ñ÷ å ò ýë å ê ò ð îì à ã í è ò í û õ ï î ë å é ñ ï îì î ù ü þ ï ð î ã ð à ì ì í î ãî ê î ì ï ë å êñ à A N S Y SÌÝÈ (ÒÓ) Êàôåäðà ýëåêòðîôèçèêè 2003íàêîïëåííûõ âî âñåõ ýëåìåíòàõ. Òàê êàê ýëåìåíòû ñîïðèêàñàþòñÿäðóã ñ äðóãîì, ó íèõ åñòü îáùèå òî÷êè.
Ýíåðãèÿ ýëåìåíòîââûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîòåíöèàëû ýòèõ îáùèõ òî÷åê.W = W {ϕ1 ,ϕ2 ,...,ϕ N },ãäå N − ÷èñëî ýòèõ îáùèõ òî÷åê.Âû÷èñëÿþòñÿ òàêèå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëîâ îáùèõ òî÷åê, ïðèêîòîðûõ W − ìèíèìàëüíà.  äàëüíåéøåì çàäà÷à ñâîäèòñÿ êôîðìèðîâàíèþ è ðåøåíèþ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé,íåèçâåñòíûìè âåëè÷èíàìè â êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïîòåíöèàëû îáùèõòî÷åê ýëåìåíòîâ.Ðàññìîòðèì ïðèìåð ôîðìèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðèðåøåíèè äâóìåðíîé çàäà÷è â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.YLGmpnXÐèñ.1Ïóñòü â îáëàñòè G íàäî íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà,óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ Äèðèõëå íà ãðàíèöå L ýòîé îáëàñòè.Îáëàñòü G ðàçáèâàåì íà êîíå÷íûå ýëåìåíòû.
Âûáèðàåì â êà÷åñòâåýëåìåíòîâ ïðîñòåéøèå ôèãóðû - òðåóãîëüíèêè.Îäèí èç ýëåìåíòîâ ñ íîìåðîì i ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 1.Ïîëîæåíèåi-ãîýëåìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè åãîâåðøèí m,n,p ( xm , ym , xn ,yn ,xp ,yp ). Âíóòðè êàæäîãî6 è ø í ÿ êî â Ñ .  . , Ãî ðä þõ è í à Í .
Ì . , Ô åä î ð î âà Å . Ì .Ð à ñ÷ å ò ýë å ê ò ð îì à ã í è ò í û õ ï î ë å é ñ ï îì î ù ü þ ï ð î ã ð à ì ì í î ãî ê î ì ï ë å êñ à A N S Y SÌÝÈ (ÒÓ) Êàôåäðà ýëåêòðîôèçèêè 2003ýëåìåíòà èñêîìóþ ôóíêöèþ ϕ ïðåäñòàâëÿåì òàê íàçûâàåìîéïðîáíîé ôóíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì:1) ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà ïîçâîëÿòü âû÷èñëèòü grad ϕ , ò. å.èìåòü êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ;2) ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà ïîçâîëÿòü àíàëèòè÷åñêè âû÷èñëÿòüýíåðãèþ ýëåìåíòà, ò.å. èíòåãðàëà (â ïðåäïîëîæåíèè ïîñòîÿíñòâàäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè âíóòðè ýëåìåíòà):12WÝ = ∫ εε 0 (grad ϕ) dv .2Îòìåòèì, ÷òî ïðîáíûå ôóíêöèè íå îáÿçàòåëüíî äîëæíûóäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ Ëàïëàñà.
Êàê ïðàâèëî, äëÿ âñåõ êîíå÷íûõýëåìåíòîâ âûáèðàþòñÿ ïðîáíûå ôóíêöèè îäíîãî âèäà.Ïðîñòåéøåé ïðîáíîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ(1)ϕ (x , y ) = α + α x + α y ,i0iXiYiãäå α0i, αxi, αyi − ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè.Ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óêàçàííûì âûøå òðåáîâàíèÿì:1 ) grad ϕi = e X α Xi + eY αYi ;(2)2 ) Wi = ε i ε 0 (α 2Xi + αYi2 )Si ,ãäå Si − ïëîùàäü òðåóãîëüíèêàÊîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè α0i, αxi, αyi ìîãóò áûòüíàéäåíû ÷åðåç ïîòåíöèàëû âåðøèí òðåóãîëüíèêà.ϕm1 xmymα 0iϕn = 1 xnynα Xi = B α XiϕpypαYi1 xpα 0i(3)αYi,ãäå  − êîîðäèíàòíàÿ ìàòðèöà i- ãî ýëåìåíòà.Ðåøåíèåì (3) ÿâëÿåòñÿα 0iα Xi = BαYiϕm−11ϕn =∆iϕpxn y p − x p ynym x p − xm y pyn − y py p − ymy m − ynϕnx p − xnxm − x pxm − xmϕp .7xm yn − xn ym ϕm(4) è ø í ÿ êî â Ñ .  .
, Ãî ðä þõ è í à Í . Ì . , Ô åä î ð î âà Å . Ì .Ð à ñ÷ å ò ýë å ê ò ð îì à ã í è ò í û õ ï î ë å é ñ ï îì î ù ü þ ï ð î ã ð à ì ì í î ãî ê î ì ï ë å êñ à A N S Y SÌÝÈ (ÒÓ) Êàôåäðà ýëåêòðîôèçèêè 2003Ïðè ýòîì ∆i = det Bi = ± 2Si(çíàê îïðåäåëÿåòñÿ ïîðÿäêîìñëåäîâàíèÿ èíäåêñîâ − ìèíóñ ñîîòâåòñòâóåò ñëåäîâàíèþ èíäåêñîâm,n,p ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå).Ïî (4) ïðåäñòàâèì αxi è αyi â âèäå:[][]α Xi = −11(yn − y p )ϕm + (y p − ym )ϕn + (ym − yn )ϕ p = −cm ϕ m + cn ϕ n + c p ϕ p ;2 Si2 SiαYi = −11(x p − xn )ϕm + (xm − x p )ϕn + (xn − xm )ϕ p = −bm ϕm + bn ϕn + bp ϕ p .2 Si2 Si[][]Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â (2):εεWi = i 0 (cm ϕm + cn ϕ n + c p ϕ p )2 + (bm ϕm + bn ϕn + bp ϕ p )2 .4 Si[]Äëÿ N ýëåìåíòîâ:NW = ∑Wi .i =1Î÷åâèäíî, ÷òî W=W{ϕ1,ϕ2,...,ϕm,ϕ12,ϕ22,...,ϕm2}, ãäå m −îáùåå ÷èñëî âåðøèí òðåóãîëüíèêîâ.Ïðîèçâîäíûå îò ýòîãî âûðàæåíèÿ áóäóò ïîëèíîìàìè ïåðâîéñòåïåíè îò ïîòåíöèàëîâ âåðøèí òðåóãîëüíèêîâ.
Íàïðèìåð,äèôôåðåíöèðóÿ ïî ϕj , ïîëó÷àåì:dWdϕ j= K1 j ϕ1 + K 2 j ϕ2 + K + K mj ϕm(5)Óñëîâèåì ìèíèìóìà ôóíêöèè W ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþâñåõ ïðîèçâîäíûõ òèïà (5).  ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòî óñëîâèåïðèîáðåòàåò âèä(6)Kϕ = 0 ,ãäå K − ìàòðèöà âëèÿíèÿ, Kij − ýëåìåíòû ìàòðèöû K.Ïåðåíóìåðóåì âåðøèíû òðåóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû íà÷àëüíûìèíîìåðàìè îáîçíà÷àëèñü âåðøèíû, íå ëåæàùèå íà ãðàíèöå îáëàñòè(íåèçâåñòíûå ïîòåíöèàëû), à ïîñëåäóþùèìè - âåðøèíû, ëåæàùèå8 è ø í ÿ êî â Ñ .
 . , Ãî ðä þõ è í à Í . Ì . , Ô åä î ð î âà Å . Ì .Ð à ñ÷ å ò ýë å ê ò ð îì à ã í è ò í û õ ï î ë å é ñ ï îì î ù ü þ ï ð î ã ð à ì ì í î ãî ê î ì ï ë å êñ à A N S Y SÌÝÈ (ÒÓ) Êàôåäðà ýëåêòðîôèçèêè 2003íà ãðàíèöå.  ýòîì ñëó÷àå (6) ïðèìåò âèä:K 11K 12K 21 K 22ϕÍ0= ,ϕà Ð0(7)ãäå ϕí − âåêòîð-ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ ïîòåíöèàëîâ ,à ϕÃÐ −çàäàííûõ.Èç (7) ñëåäóåò:(8)Ê11 ϕ Í+Ê12 ϕ ÃÐ = 0 ,îòêóäàϕ Í = −Ê11-1 Ê12 ϕ ÃÐ(9).Äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà íà ÝÂÌ ðàçðàáîòàíû àëãîðèòìûôîðìèðîâàíèÿ ìàòðèöû âëèÿíèÿ. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõïîòåíöèàëîâ âåðøèí òðåóãîëüíèêîâ, ïî (4) ìîãóò áûòü íàéäåíûïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè, à çàòåì ïî (1) − çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëîâëþáîé òî÷êè îáëàñòè.Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷ ìåòîäîì êîíå÷íûõýëåìåíòîâïðèìåíÿåòñÿ ëèáî óâåëè÷åíèå ÷èñëà êîíå÷íûõýëåìåíòîâ, ëèáî óñëîæíåíèå ñòðóêòóðû ïðîáíûõ ôóíêöèé; ïðèýòîì âîçðàñòàåò ÷èñëî ãðàíè÷íûõ óçëîâ.
Ìåòîä êîíå÷íûõýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí ïðè ðåøåíèè òðåõìåðíûõ çàäà÷,à òàêæå ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà. Ïîìèìîóðàâíåíèé Ëàïëàñà- Ïóàññîíà ìåòîä ÊÝ ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿðÿäà äðóãèõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.9.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
