Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2.3. Однородные координаты и линейное представление. В этом разделе мы опишем технику представления преобразований Кг и В', рассмотренных выше, при помощи элементов из Я(З, К) и М(4, Р) соответственно. Рнс. 10.17 Идея является общей н описывается в К"; мы ищем яложение некоторых специальных классов преобразований К", не все из которых явлнютсн линейными, в алгебру матриц М(н+ 1; В). В т 1 было показано, что Ч" является биекцней Н" - К" и моягет быть использовано для определения системы координат в К". Это означает, что если Т— преобразование К", то мы можем его выразить как преобразование Н".
Другими словами, существует отобрансение Т: Н"- Н" такое, что диаграмма на рис. 10.18 коммутативна. Имеем ~" Т Т ч'", но отображение ч" имеет обратное. Поэтому мы моя~ем записать Т (ч") 'Т'(г". Если Я вЂ” другое преобразование К", то Я Т-(О.)-~ ЮеТ.О-- -(О)- З О" (Е.)- Т а"=Я.Т.
Другими словами, мы монгем соединять вместе диаграммы, не нарушая коммутативность, как ато показано на рис. 10.19. Для некоторых преобразований Т пространства К" существует линейное преобразование Т,: К"+' - К"+' такое, что Т [х) [Т,х) для всех х ы К"+'. Т, существует для всех преобразований, рассмотренных в этой главе, и является требуемым представлением Т в К"~', так как если г ы К", то мы имеем Тг=Р-.Т (д»)-.=д- Т[г, 1)-д"[Т,(г,1)). Таким образом, преобразование Т получается путем применения Т, к однородному представлению и последующим применением (~" для возврата к фнзичеоким координатам.
364 Чтобы иметь уверенность в том, что все работает правильно, надо показать, что композиция о ° Т соответствует произведению матриц Я~Ты Это легко сделать, так как о Л' Л Т(х] Я[Т,х) (Б,,.ТЯ. Графически зто означает, что мы можем и 1 н' и" а Рве. 10Л8 Рик 10.18 расширить коммутатнвную диаграмму, изображенную на рнс. 10.19, до коммутативной диаграммы, изображенной на рис. 10.20. Отсюда следует, что, один раз определив матрицы Т,, Яы ..., соответствующие преобразованиям Рис.
10.20 Т, Я, ..., которые мы хотим осуществить, мы затем сохраняем нх, опуская обозначения классов эквивалентности и работаем с векторамн, нредставляющимн зти классы, Произведения преобрааоваввй в К" получают путем умножения матриц нв М'(я+ 1, К), примененных к векторам, представляющим классы. Все представители данного класса будут давать те же самые физические координаты в соответствии с отобралгением 1 (х, ..., х„, х„+,) — (хы ..., х„), зи+г Обычно выбирают вектор (г, 1)ю К"+', чтобы представить гюК". Такой выбор, очевидно, всегда возмон~ен.
365 Пример 2.2. Пусть Т: К"- К" — кереноо Тг в+а для всех ты К", где а ° (ан ..„а„)ы К" — фиксированный вектор. Тогда матраца Ть будет равна она может быть ва~исана в более краткой форме: [~ '1 Легко нокавать, что если л (г, (), то т(к) (Д")-" Т ()" (л) -(Е")-' Т.- ('+а)-(('+ а 1)) -[[о т1[Д у П р им е р 2.3.
Аналогичными вычислениями можно покаеать, что преобразование (Ь; а)ыЕ(21 можно вы- полнить, испольеун [' 1еибЬ(З,К), где ЮыЮО(2) и аенКв, а преобравование (гр, а)ыЕ(3) можно выполнить, нс- польвуя ['' а1еибЬ(4,К), где грен ЯО(З) и аеи К'. Обратные матрицы имеют вид [и" а ~ ~ [и'~ — и~~а] как в Е(2), так н в Е(3). У Пример 24. Проекция Р~.
'Кз- Ке, определяемая соотношением Р~ (А, у, ) —,, (т, у, О), может быть выполнена в М(4, В) как 0 О 0- 0 т 0 0 0 0 О О ° 0 0 Из Ф так как если х (г, 1)ж В< и г (л, р, в), то ~,(*) = СО")-'Р. а" И, 1)) - Ы")-' Р,г = - "~=:" =""')-Ь-'" -""")1- о оо о о о — 1/< 1 г о Г о ((х, у, О, 1 — з~х )) = ~ О о о г) Рвс. 10.21 '4.
Докавать, что 8(2)- коммутативвая подгруппа линейных преобразований В'. 5; Показать, что в общем случае влементы 8(2) ые коммутируют о влементами 80(2), и построить рисунок, демонстрирующий ото. 6. Доказать, что единица нетривиальной подгруппы 8(2) не коммутирует с 80(2). 7. Испольвуя преобравование 8(л, р) (3л, бр)', иамепить масштаб В' так, чтобы точка (2, 2) оставалась фиксированной.
Определить - вто преобравование. 368 Упражнение 10Л. 1. Покавать, что группы (Т(2), ~) и (Вг, +) изоморфвы. 2. Доказать, что если '=[' $ то матрица поворота И'(0)<и 80(2) может быть записана в вкспоненциальной форме И'(О) ехр(ОЛ. 3. Определвть евклидово преобразование, отображающее треугольнвк Р<<Л, ввобран<енпый на рис. <0.2<, а, в треугольник Р'9'й'< изображенный на рвс. <0.2<, б. А'-г = А'-г, в а Оет И7Г (О) = 1.
13. Доказать, что и является собственным вектором И'-„(О) при любом О, 0-' О(2я. Чему равно собственное значение? Дать геометрическую интерпретацию этому результату. 14. Вывести формулу для матриц поворота И р(р), И~у(т). 15. Показать, что все подгруппыЯ- [И1-(О):0~Ос 2п) изоморфны ЯО(2). Хе д ктв, г.
вава 369 О. Показать, что если пюйт — единичный вектор, то пХ((пХг)Хп) пХг для всех г ° Ка. 9. Пусть и ю йз я Ав: К'- Кз определено соотноше- нием А,г пХг для всех гшК'. Показать, что Ав ликейноепреобразование К', и определить матрицу Аав в стандартном базисе (1, 1, )г). 10. Используя результаты и. 9 этого упражнения и выражение $г'„- (О) через А;, получить в явном виде матричную форму поворота $г';(О) в К'. Показать, что сетИ'-(О) = 1, 11. В обозначениях и. 9 показать, что для всех гжйз имеем А-г — А-г А-г = — А-г Э 4 з в в ' а а А'-г А-г в а А-'+" г А'-+ "г в в для всех й ш Х; испольэовать зти результаты для дока- зательства равенства )Г-(О) = ехр(ОА-). 12. а) Используя експоненциальную форму И'; (О), получить другов доказательство того, что И.— (О) (И~.-(О))' - 1.
б) Если А ж М(л, К), то можно показать, что 1~( РА)- *о~в А): ы а используя этот факт, получить другое доказательство соотношении 18. Пусть ажВз — фиксированный вектор и преоб. разованне Т: Кз- Вз определено как — при а г*уьО, Тг О в противном случае. а) Доказать, что Т вЂ” нелинейная проекция в Вз. б) Доказать, что Т[(г, 1)) [(г, а г)) для всех ежКз при г ать О. в) Определить матрицу А ж.эе (4, В) такую, что Т[х] [Ах) для всех х ж К', гдв [х)ж Нз.
в 3. Кривыв и поверхности ЗА. Математическое представление. Кривые и поверхности образуют основу большинства вспомогательных устройств компьютера и графического математического обеспечения. Возможны различные математические описания одной и той же геометрической формы; некоторые из них обсуждались и доступны с точки зрения приложений. Если 1ж К вЂ” интервал, то через х" обозначим множество всех отображений класса С': с:1- К", причем с' чь О на 1. На х" определим отношение - следующим образом, Пусть е3 11 К сз 1з тогда с~ - сз, если существует отображение ~р: 1~ - 1з из класса С' такое, что с~ сз'~р и ~р'чьО на 1ь П р в дл о жение, Отношение является отношением эквивалентности на х". 1 Доказательство оставляем в качестве упражнения. Пусть Ж" обозначает классы зкзнвалеитности х"/-.
Определение. Ьриеой в К" называется злвмент $'". 1 Если ею х' и е: 1- К", то 1 называют параметрическим пространством с, а 8 — параметром или координатой с. График с (КгарЬс) определятот как множество точек (с(Г): 1ыЛ. В70 Если [с] обозначает класс зквивалентности с в У*, то для всех сс си [е] имеем ягарЬ сс кгарЬ с, так что разумнее говорить о графике кривой [с]. Обратное неверно; мы можем иметь соотношение нгарЬ [сс]- йгарЬ[с»], но при этом [сД«а[с»].
Отношение эквивалентности группирует вместе элементы и*, которые параметризуются «аналогичным» образом. Для вычислительных целей выберем злемент сщ [е) и назовем кривую также с, хотя с точки зрения терминологии его неправильно. Это возможно при условии, что мы понимаем разницу и проявляем осторожность, когда это необходимо. График кривой в »»» является множеством точек, которые мы видим отобраясенными на графическом терминале.
Тогда Ж» — множество плоских кривых, а элементы У» — множество пространственных кривых, у» и»»з важны для приложений, однако, где легко провести рассуждения в более общем случае, будем зто делать. В литературе по компьютерной графике употребляют термины «параметрическнй», «явный», «неявный» по отношению к различным методам определения кривых. Если ($с, ..., $„)- система координат в К" н элемент оси сн х" определен при помощи л функций Ф $с(с) (1 <» ~ и), то такое задание кривой называют явным параметрическим описанием. Иногда выделяют два тяпа — «симметричный» и «несимметричный». Описание несимметрично, если параметр является одной из координат, т. е. » в» для некоторого с, х ( » а:- п.
Следовательно, несимметричные описания имеют ввд (з»» (зс(з») зз(з») ° з! ° ° ° $ (з») ) )»» н 1» в случае»в'» и декартовых координат эта запись имеет знакомый внд (х, (х, у (х) ) ), х св [хо, х1], и кривую определяют, задавая явно у как функцию от х. С другой стороны, мы можем описать кривую в К*, определяя подходящую функцию 1: К"- В. Для фиксированного а «а К функция ] определяет кривую с графиком 1 '(а)-((зс»" $-): 1(зс " » г.)-а) )($с, ..., $„) называют уравкекием кривой (строго говоря, следовало бы назвать графиком кривой). В прппципо «»» вт« уравнению такого типа можно придать явную форму, хотя в общем случае это сделать достаточно сложно. Говорят, что кривые, определяемые такими уравнениями, описаны неявно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
