Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В фиксированном базисе отображение Т- А, пз Епа(У) в «Я(п, К) биективио (каждому преобразованию 2то соответствует едипствеппая матрица п наоборот), Далее Ав т АвАт,' зто зквпвалоптно тому, что диаграмма па рис. 6.3 комиутатпвпа, На практике зто просто озвачает, что матрица пропаведенпя преобразова(л,т ) хг нпп Я' Т в Епд()т) может быть вычпслеиа путем умиожеиия матрицы Ав на матрицу А,.
Нет необходимости явпо определять Б ° Т, а затем вычислять Ов Лт1 вввт Ав.т ка основе определе- Рпс. 6.3 ния. Аналогпчпые результаты получаются п для Я+ Т. Кроме того, для суженпя ~р' на обратимые ппеобразоваппя Апт(вт) получаем Ат-т Аг" зто означает, что для вычисления А, неооходпмо лишь кайтп матрицу, обратную к Ат. Подчеркнем еще раз, что пзоморфизм врв зависит от баэкса; в другом оазисе мы будем иметь другой пзоморфизм между Епв)()т) и вв" (и, В). Таким образом, влемепт .вв" (и, Й) может рассматриваться как представление элемента Епд(Р) в цвикспрованновг бависе или как представление различных алемевтов Епд(вт) в различных базисах. В гл. вО, где результаты етого параграфа будут применяться к й" (и 2, 3, 4), отображение вр' будет рассматриваться в стандартном базисе (еь ..., е.), как зто определялось в з 4 гл.
5. Для етого базиса, если х -(хь ..., х.) ви П", то в Г' 1 х ~х;еь Тх=Аг ~ в=в в Пусть отооражепге Тви Епй(Е) имеет собственвый вектор х ~ У, соответствующий собственному значению овий. Тогда, если в базисе В (еь ..., е„) пространства р вектор х имеет вид х= ~)оеь то .4г =о ггт 44в тогда йе1 А аиаы — ам ась Если А жА'(и, В) имеет злементы ае (1<1, 1 п), то минорам элемента а„называется матрица А "о ~и ж.зу(п — 1, В), полученная из А путем вычеркивания й-й строки п 1-го столбца.
Теперь йеы .зг" (и, В)- В можно определить рекурсивно для всех пж Х как йе1А А,' ( — 1)'+1 аы йе1Аы'и. С=1 Иногда эту йюрыулу называют разложенпеы по первой строке. Ъ|ожно показать, что если использовать любую другую строку плп столбец для форыпрованпя соответствующего выражения, то сумма будет равна йе$А. Другпын словами, ~~ ( 1)1+г аи йег.йо '), 1-1 и ~~ ( — 1)'~-' а„, йе1 А'"'", 1(г(и, йе$ А 1~~( "и. Для малых значений п каждая из зтцх формул подходит 2т2 Позтому коордкнатные вектора в представлении х являются собственными вектораыи А„соответствующими тому же самому собственному значению. 3.2.
Некоторые друже понятия теория ыатрпц. Определим теперь на М(и, В) отоораженпе, назыеаеыое детерминантам (определигелеы): йеы .я" (и, К)» К. Было бы естественным ввести зто понятие и исследовать его свойства в 3 4 гл. 5, так как йеФ не зависит от бависа. Это означает, что если А,ж Ау(и, К) и Аг еи з(г(и, К)— ыатрицы отобрая1ения 'Гж Епй(г') в базисах В и В' соответственно, то йе1Ат йесАт .
Однако, чтобы определить йет на Епй(Р), ыы должны были бы ввести понятия пз тензорной алгебры. Вместо атого дадим хорошо известное определение йег на М(п, В) и установим некоторые пз наиболее важных его свойств. Определенне йеь будем давать при помощи рекурсии.
Вначале определим йе1 для случая М(2, К). Пусть для пспосредствеппого вычисления де1А. Чтобы минимизировать число операций разложения, следует начинать со строкк плп столбца, содержащих наибольшее количество нулей. Подчеркпсм, однако, что этн разложения являются в общем случае пе подходящими для вычисления и существуют более эффективные вычислительные процедуры для нахождения йе1, Некоторые важные свойства де! приведены нинге.
Предложение. Отображение йе1: .г«(п, В)- К удовлетворяет слвдуюи!ил» условиям. а) де! 1 = 1; б) де! А = де! А' для всех А ю Х(п, К); в) г)е!1 А й" се!А, Х ю К, А юлт" (и, В); г) оо!АВ=бе!Аде!В; д) А ю С1 (и, Я) тогда и только тогда, когда бе!А чь чьО. р Мы не будем давать доказательства этих утверждений, Предлагаем читателю проверить пх для лУ(2, В). Заметим танисе, что свойство д) характеризует СЬ(п, В).
Удобно выделять некоторые матрицы с «особыми» свойствамк, которые будут использоваться в дальнейшем. Если А ю.п" (и, В) н А А', то говорят, что А симметрична; если А = — А', то матрица А кососиммвтрична. Если АЛ»=А'А =1 (т. е. А ' А'), тогда говорят, что А ортогональна. Множество всех ортогональных матриц гг(п, К) обозначается через 0(п). Через БО(п) обозначим подмножество 0(п), состоящее пэ матриц с единичным детерминантам. Злементы оО(п) называют спвциольныли ортогональнычи матрицами. Пред гож е и и е. а) 0(1г) является подгруппой СЬ(п, В); б) БО(п) является подгруппой 0(п).
Доказательство. в) Надо показать, что 0(п) замкнуто по у»гножению и для каждой А знО(п) существует ооратная матрица Л ' ы 0(п) . Если г1, В ю О (и), то г! А' = Л "А = 1 и ВВ' = В'В = 1; следовательно, (АВ) (АВ) т АВ(ВтАт) А (ВВт)Ат ААт 1 213 Аналогично (АВ)'АВ 7, и, следовательно, АВю0(я). Если А ю 0(л), то (Л-~) (Л-1)г Аг(Ат)т Аг4 Следовательно, А-' ю 0(п). б) Доказательство в етом случае осуществляется по. добным образом и оставляется в качестве упражнения. У Завершим атот параграф кратким обсуждением функций от матриц. Подобно де1, ото следовало бы рассматривать в $4 гл. 5.
Однако у нас нет аппарата для рассмотрения сумм с бесконечным числом слагаемых в Епд(У). Результаты в Х(п, В), приведенные нлже, достаточны для наших целей. Пусть А ю.зг(я, В), тогда матрпца А'а К(л, В)-вто по определению матрица АА. Аналогично можно определить А' для всех йюХ, з>2; положим Ас Е Следовательно, если р: В есть полнномпальная функция р(х) ~ а,х', где а,еи Й и пеи Х, ~-о то определим р(Л)ю .4Г(я, Й) как я р(А) = ~ сг~А'. 1=» Такая матрица существует, поскольку зг" (и, В) — век- торное пространство, Эту идею моягно обобщить, Если у; Й- В разлагается в сходящийся ряд О у(х) ~ а~я', ~ о СО то имеем смысл выражение ~ а А', $1ножество .4.'(и, В) о ~11 »1 может быть идентифицировано с В . На В можно определить норму, как указано в т 4 гл.
5. Тогда зто ин- дуцирует норму иа я"(я, Й), и в етом случае бесконеч- ные суммы имеют смысл. В частности, еслл А <и Х(п, В), то можно покйзать, что Аь Вт ~~)~ '~ "ь-о всегда существует в Х(я, В) и ааппсывается как ехрЛ 214 илп ясе е". Когда л = 1, етр лвллстсл ооычпой зкспонспцпальпой функцией, однако прп и ) 1 функция ехр ведет себя совершенно пныи ооразои (сп, упражнение 6.3). У п р а ж н е н п е 6.3. 1.
Доказать, что йг(2, В) с обычными операцилмн является линейной алгеброй. 2, 1) Определить матрицы линейных преобразований Т1(х, у) =(2х+ 2у, -х — у), (") Тз(х, у) = (2х+ у, -х) пространства К' в а) стандартном базисе В', б) базисе В' =((1, 0), (1, 1)). 2) Вычислить координаты вектора а ( — 1, 7) в базисе В' и определить вектор Т~Тза, используя матричное представление. 3) О помощью понятия детерминанта определить, какие из преобразований (*) обратимы. Явлнется ли произведение Т~Тз обратимым7 3. Пусть А — [з 4), В = ~ .
а э1, С ~ з о|. Определить, является лп каждая из этих матриц симметричной, кососимметричной, ортогональной, обратимой. 4. Показать, что у кососимметрпчной матрицы элементы, стоящие на диагонали, равны нулю. 5. 1) Доказать, что собственные значения симметричной (2 Х 2) -матрицы всегда действительны. 2) Доказать, что собственные числа ненулевой косо- симметричной (2Х 2) -матрицы не являются действительными. 6. Пусть А ю.зг (л, К).
Доказать, что (Аа) Ь а (А'Ь) для всех а, Ъ ю В", и использовать этот факт для доказательства того, что если А симметрична, то собственные вектора, соответствующие различным собственным вначениям, ортогональны. 7. 1) Пусть («») и р(х) = х' — 4х + 5. Доказать, что р(А) = О. 2гб 2) Использовать (» ) для вычисления обратной мат. рицы А '. 8. 1) Пусть Используя индукцию, доказать, что 1' '1'-!' "1 для всех п~Г), т. е. показать, что ев-еА, и выписать выражение для де1 е". 2) Пусть А=~, и 1юК. Определить матрицу е'". 9.
1) Пусть А, В ~и.й'(п, К). Какие должны быть выполнены условия, чтооы выполнялось соотношение е(в+в~ евевг 2) Использовать предыдущую Формулу для доказа* тельства того, что е" всегда имеет обратную. 10. Пусть А~и.»(г(п, К), След матрицы А (обозиача» ется 1гА) определяется ло 4юртгуле и 1гА ~ Ан, г 1 Если А ю .вг"(п, К) — матрица с элементами ~)» при 1 1, Ан 10 при 1~1, то, используя индукцию, показать, что » г(ес А Д Хг — Хг).в Х„, т.
е. доказать, что в данном случае Йене" — еи ", 11. Пусть А ю М(п, К) имеет собственный вектор х ви К", соответствующий собственному значению 1. ~н К. Докааать, что х является сооственным вектором е", соответствующим собственному значению е'. 12. 1) Доказать, что если А ю 08(п, К), то де1А ' (бетА) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
