Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. - Задачи и упражнения по дискретной математике (1048833), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Класс самодвойственных функций будет обозначаться через Я. ИЗ ОПрсдЕЛЕНИя Я ВЫтЕКаот, ЧтО ~Яп~ = 22 Справедливо следующее утверждение, называемое обычно леммой о нссамодвойствеаной функции: если функция 1(х") не является самодвойственной, то, подставляя на места ее переменных функции х и х, можно получить константу.
Если А — некоторое множество функций из Р2, то через А' будет обозначаться множество всех функций, двойственных к функциям из множества А. Множество А' 1шзывается двойственным к мнохссству А. Если А' = А, то множество А называется самодвойсптсннь м. Пример 1. Выяснить, является ли самодвойственной функция 1, заданная вектором: а) оу = (10110100); б) Ду = (10110010). Р е ш е н и е. Из определения самодвойственной функции вытекает, что на противоположных наборах она принимает противоположные значения. Поэтому вектор о? самодвойственной функции у (хп) имеет вид сеу = (мв, .'~1, ..., <12 — . 1 ~2" — — 1 ° се1 сев). Таким образом, чтобы выяснить, является ли функция 1"(хп), задаваемая вектором (оо, о1, ..., 122. 1), самодвойственной, следует проверить, получается ли вторая половина вектора из первой путем отражения и последующей расстановки отрицаний над координатами. В рассматриваемом примере вектор Иу задает самодвойственную функцию в случае б) и несамодвойственную в случае а).
П р и м е р 2. При каких и, функция Й хе ухе2 у .'~хч ол) 1<в (ев«...11ы М(п является самодвойственной? ?" с, Класс сажодвойственных функнив Решение. Заметим, что множество Л«?, наборов о таких, что Да) = О, состоит из всех наборов веса не выше и — )гг/2[= (и/2). Пусть и четно, тогда В„" С Ху. Пусть сй — произвольный набор из Во? . Противоположный набор о также принадлежит множеству Вл? . Таким образом, г"(а) = д"(сх) = О, что противоречит само- двойственности. Следовательно, при четных и функция ((х л) не явля(л/г1 ется самодвойственной. Пусть теперь и нечетно.
Тогда ?у — = (.) В,", п с=с Ас? = (.) В,". Очевидно, что о е Ас — тогда и только тогда, когда «=-)о/г« у а е Асс. Это и означает, что ( (х") е Я при нечетных и. Пример 3. Какие из переменных несамодвойственной функции Дх~), задаваемой вектором ау = (01101101), следует заменить на х, а какие на х с тем, чтобы получить константу? Решение. Поскольку Д(х~) е Я, то существует пара противоположных наборов, на которых функция принимает одно и то же значение. Такими наборами являются в данном случае (010) и (101), причем Д(010) = ((101) = 1. Если заменить хг и хз на х, а хг на х (или хг и хз на х., а хг на х), то получим Дх, х, г:) = г'(х, х, х) = 1.
2.1. Выяснить, является ли функция 1 самодвойственной: 1) У = х«хг Н хгхз Ч хзхг, 2) У = хг «Схг, '3) У = х«6« хг б«хз б«1: 4) ) = (х «? р чх)г ч хуз; 5) 1 = и ч у «с з)г «? хуг; 6) ~ = (х« — «хг); 7) )(хг ог хг); 8) ) = х«хг ей хати оз хзх«огхг огха! 9) ) = хгхг «гхз,' 10) У = х«б«хг 6«(хгхг «гхгхз «?хзхг); 11) У = х«хг огха(хг «? хг),' 12) гс = х«хгхз б«х«хг Ю хгхз 6«хат~,' 13) ~ = х,хгхз Юхгхгхз 6«хгхз Юх«хз,' 14) 1 = (х« + хг) ее (хг « хз) е«(хз « х1) н«хз; 1- >),« = (хг « хг) ~В (:гг « хз) «1« (хг « гч). 2.2. Выяснить, является ли самодвойственной функция д', заданная векторно: 1) ау = (1010); 2) ае = (1001); 3) ае = (10010110); 4) сге = (01100110); 5) оу = (01110001); б) ое = (01001101); 7) ае = (1100100101101100); 8) ае = (1110011100011000); 9) ае = (1000001110001100): 10) ае = (1001101110111001); 11) ау = (1100001110100101): 12) ау = (1100001100111100)! 13) сге = (1001011010010110); 14) Йе = (1101010010110010); 15) ае = (1010010101011010). 2.3.
Заменить прочерки в векторе а символами 0 или 1 так, чтобы получился вектор значений самодвойственной функции: 1)а=(1 0 ); 2)се=( 01 ); 3)а=(01 ); 4)а=(01 0 О, ); 5)о=( 01 11); 5 Г. П. Гаврилов, А. А. Сапожонка 66 Гл. 11. Замкнутые. классы и полнотпа 6)а=1 1 1 0 1): 7)а=1 10 0 1); 8) а = (1001 — — — 1111 — —— 9) 11 = (11 — — 00 — — -01 — — 10 — — ); 10) а = (- - - -- -- -. - -01 - — — 101100). 2.4. Определить, какие из переменных функций Дхп) следует заменить на х, а какие на х с тем, чтобы получить константу; 1) а1 = (10110110); 2) а1 = 111011000); 3) а1 = 110100100); 4) а1 = (10101000); 5) а1 = 111001110); 6) а1 = (1000110100101100); 7) а1 = (1001011010011010); 8) а1 = (0111000100110001); 9) а1 = 10110100011101011); 10) а1 = (10100101010100110); 11) а1 = 11010111011001010); 12) а1 = (01100001); 13) а1 = (1011010011110010); 14) ау = (0000111100101111); 15) ау = 11110100001101000).
2.5. Пусть тп1х, у, з) = ху о' дя Ч зх. Показать тождества; 1) тп1тп1х, у, я), тп1х, у, я), тлях, у, У)) = = п111тп(х, у, г), ттЦ,х, у, з), тпе,х, р,д)); 2) х 61 р й я = тп1тп1х, у, я), тп(х, у, з), у); 3) тп1тп1х, р, з), тп(х, у, з), пМ,х, у, У)) = = тп(х, тп(х, у, я), тп(х, у, я)): 4) х 6З д 61 я = т1тп1х, у, я), тп1х, р, з), тп1х, у, У)): 5) тп1х, у, у) = птах, у, я); 6) тп(х, у, з) = ху 61 уя В зх; 7) тп(х, у, з) = тптх, т 1х, у, я), я); 8) хуз Ч 11х Ч у р з) = тп(х, тп(у, я, 1), 1); 9) хуя Ч Пх Ч у 'Р з) = тп1тп(:с, у, 1), п1Ех, з, 1), тп(у, я, 1)); 10) хуя 1тттх Ч у Ч г) = тлях Ю у Ю г), 111Ех, у, з), 1). 2.6.
Показать, что если 1(хп) 6 Я, то ~Х1~ = 2" 1. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. 2.7. Показать, что не существует самодвойственных функций, существенно зависящих в точности от двух переменных. 2.8. Выяснить, при каких и > 2 функция Дх") является само- двойственной: 1) 16т ) = х1 6З хз ев... 61 хп3 2) ~1х') = ~/ хтх: 1« 1< 3)Дх )= 1/ 1<1<2«!ди< 4) )'(хп) = Я х х,,", 1(1(1(п 5) 1 ттп) = тХ1 Ч ХЗ) 6З 1Х Р ХЗ) 61 61 1Х,, Р п) 6З ттп „ 6) Дх") = (х1 Ч хз Ч хз) 61 ах< Н хз Ч хз) 61,, .61'1Х вЂ” гдХп — 1ЧХп), П=ЗК; 7) 11х ) = тп1х1: хз, хз) 63 тп1хпп хз, хо) 61 пт тП11'и — З; тп — 1, Хп), 'П = ЗК; З" х.
Класс самодвойствеяпых узуикиий 67 8) 1 (хп) = (х1 — 4 ХЗ)(хз -4 хз) .. (Хп — 1 -4 хп)(хп 4 Х1); 9) 1 (Х") = (Х1 -4 ХЗ) Ю (ХЗ -4 хз) ~Э... Ю (Хп 1 — 4 хп) 4В бз (хп ~~) Е х 61 Ер... бз 10) 7(хп) = ~/ хпх„...хьо 1 < й ( п. 1«,,«. 3< 2.9. Показать, что каждая самодвойственная функция, сущест- венно зависящая только от переменных х1, ХЗ, хз, представима в виде х1 хз ч тп1 хз~ ч ХЗ хз~ либо в виде х1 Ю хг 01 хз б~ а, где сп (3 у, сс б (О, 1).
2.10. Локазатьз что функция Дхп) самодвойственна тогда и толь- КО тОГДа, КОГДа ЕЕ Х1-КОМПОНЕНта Л (Хп) ДВОйСтВЕННа К ЕЕ Х1-КОМПО- пента ув(хп), 2.11. Пусть Дх") такова, что 7'(О, хз, ...., Хп) = Д(1, ХЗ, ..., хп). ВЕРНО ЛИ, ЧтО 2'(Х1, ..., Хп 1, 1) = 1(Х1, ..., Хп 1, 0)? 2.12. Пусть функция Дх") представима в виде Дх") = = х„у1(хй" 1) р ЗЗ*(хс" 1), где уз некоторая функция такая, что Зс*(х' )Н Зс(х" ) = ус(х" ) Показать, что 2 Е Я.
2.13. Показать, что функция д" = у1у1 9 х(уз 9 ф) самодвойственна, если у1 и уз являются самодвойствснными. 2.14. Используя лемму о несамодвойственной функции, доказать, что Я является прелполным классом в РЗ. 2.15. Верно ли, что число самодвойственных функций, сущест- ВЕННО ЗаВИСЯЩИХ От ПЕРЕМЕННЫХ Х1, ХЗ, ..., Хп, РаВНО ЧИСЛУ ФУНКЦИЙ ИЗ РЗ(Хп 1), СущЕСтВЕННО Заанеящнк От ВСЕХ СВОИХ ПЕРЕМЕННЫХ? 2.16.
1) Пусть функция 7"(хп) суп1ественно зависит от перемен- НОй Х1 И КажДаЯ ИЗ КОМПОНЕНТ Д (Хп) И Д(Хп) ЯВЛЯЕТСЯ СаМОДВОйет- венной функцией. Показать, что Дх") не является самодвойственной функцией. 2) Останется ли верным утверждение 1), если слова «каждая из ком1юнент» заменить на «хотя бы одна из компонент»? 2.17. Показать тождество 3 (Х1 Х2 ХЗ Х4 . Хп)— = 7(Х1; т(Х1 Х2 хз): хи(Х1, Х2, хз), Х4, . Хп) 1е Ч1 ЯИ(Х1, Х2, УЗ), Х2, И1(Х1, Х2,ХЗ) Х4; ° ° ° Сп) Ю ЧЗ.~(т(Х1 Х2 ХЗ), И1(Х1 Х2, ХЗ) ХЗ Х4 -. Хп).
2.18. Используя предыдущую задачу, доказать, что: 1) 8 = Г(Х1 йзха йз хз, т(Х1, ХЗ, хз), ХН; 2) ~ = [(т(Х1, ХЗ, хз)Н 3) Я = '((т(х„хз, хз))). 2.19. Выяснить, является ли множество А самодвойственным: 1) А = (О, 1, х); 2) А = (О, х); 3) А = (х Ю р, х р, х Ю р ес 2); 4) А = (х 4 р, х Ч р): 5) А = (х -+ р, ху); 6) А = (х р., х, 'др, т(х, р., х)); 7) А = (х Е р Е 2, х); 68 Га. П.
Замкадганс. кпассм а аопнотиа 8) А = Нх — э д)]; 9) А = [(ка(х, д, з))]; 10) А = [(1, х Е д)]: 11) А = Н1, х Е д, хд)]; 12) А = [(1, хдН; 13) А = [(х'уд, хЕдЯ; 14) А = НхЕдН; 15) А = [(хд ЕзЕ1)]. 2.20. Показать, что: 1) если [А] = 1'з, то и [А*] = Рз, 2) (А*)* = А; 3) если А = [А], то и А* = [А*]; 4) если А, С Аз, то А* С А', 5) если А базис [А], то А' базис [А*] . 3 3.
Класс линейных функций Функция 1(х") называется линейной, если она представима полиномом Жегалкина не выше первой степени, т.е. если существуют такие константы еи Е (О, 1), 1 = О, н, что У(х ) = оа Е о1х1 Е, .. Е <~пхп. Множество всех линейных функций обозначается через Ь, а множество всех линейных функций, зависящих от переменнык хы хз, ... ..., хп, — через Г". Из представления (1) вытекает, что ]Ь" [ = 2"+~. Множество Ь является замкнутым и предполным в Рз классом. Справедливо утверждение (аемма о нелинейной функции): если у' й Ь, то, подставляя на места ее переменных функции О, 1, х, д., х., д, можно получить хд или хд. Если 1" ф Ь, то функция 1 называется нелинейной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
