Неровный В.М. - Теория сварочных процессов (1043833), страница 98

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 98)

Трудности решения дифференциальных н интегральных уравнений примерно одинаковые, результаты решений уравнений (!3 2) и (!3.3) должны совпадать. 13.2. Моделирование процессов энергамассаперенвса методом конечных элементов Сущность МКЭ заключается в том, что все тело разбивают на несколько частей (злементов) конечного (а не бесконечно малого) обьема, настолько простых по форме н внутреннему устройству, что численное интегрирование дюкс сложных функций гю объему каждого из них не вызывает затруднений. Для приближенного решения краевой залачп в целом необходимо обеспечить только стыковку элементов между собой.

Условия стыковки записывают в виде алгебраических уравнений. В некоторых случаях зтн уравнения независимы друг от друга и могут быть решены по отдельности„но чаще онн образуют систему уравнений, порядок которой зависит от числа конечных элементов. Такцм образом, процедура МКЭ состоит в замене дифференциального или интегрального уравнения системой алгебраических уравнеипй. Существует ряд методов, родственных МКЭ— метод конечных разностей, метод граничных элементов н др. Каждый из ннх в чем-то превосходит МКЭ при решении определенного ограниченного круга задач. Однако МКЭ является наиболее гибким н универсальным. Для упрощения процедурке. 1ЗЗ. Виды конечных элементов Ры МКЭ фоРмУ (рнс.

! 3.3) обычно выбирают простой (треугольной илн четырехугольной для плоских задач, призматической нлп пирамидальной — для пространственных). Искомую функцию внутри него 706 также описывают простой формулой (обычно полиномом невысокого порядка).

Поэтому прн небольшом числе элементов решение может получиться весьма грубым. Однако математически доказано, что по мере измельчения элементов погрешность уменьшается и решение неограниченно приближается к точному. Чем грубее н проще элементы, тем мельче они должны быть для достижения заданной ~очности. Наличие погрешности при использовании конечного элемента не является свидетельством его непригодности, если зта погрешность убывает прн уменьшении размеров элемента и в пределе стремится к нулю. Это не значит, что все виды элементов равноценны.

При прочих равных условиях следует предпочесть элементы„дающие наименьшую погрешность прн данных размерах н более быстрое ее убывание при уменьшении размеров. Поскольку число элементов н порядок системы уравнений прн моделировании сложных сварочных процессов доспцает десятков и сотен тысяч, решение такой системы уравнений является наиболее серьезным этапом процедуры МКЭ. Часто идут на усложнение элементов (повышение степени полинома внутри элемента) для того, чтобы уменьшить число элементов и порядок системы уравнений, Большую зкономию может дать использование интерполяцнонных функций, близких к ожидаемому репюнню конкретной задачи, но это снижает степень универсальности программного обеспечения.

На понижение порядка системы уравнений направлена н суперэлементная процедура: несколько обычных элементов объединяют в суперэлемент, исключая нз системы уравнений сначала неизвестные, связанные с внутреннимн границами между объелиняемымн элементами, н оставляя те, которые участвуют в стыковке суперэлемента с другими суперэлементами. Тогда число уравнений в системе для суперэлементной модели уменьшается.

После решения этой системы необходимо вернуться к внутреннему устройству суперзлемента н найти значения исключенных ранее «внутренних» неизвестных. В общем случае суммарное число операций не уменьшается, но задача упрощается за счет ее разделения на несколько этапов. Если в модели много одинаковых суперэлементов, то часть операций для ннх можно не повторять и объем расчетов будет сокращен.

Процедура МКЭ в принципе достаточно проста. Простейшая программа может быть написана н отлажена за неделю. Однако область применения такой программы весьма ограничена. На разработку программы среднего уровня, содержмцей средства подго- тот товки данных (среду, аналогичную АцюСА(3), эффективные процедуры составления н решения уравнений, а также визуальную слете~у ан~л~за резу~ьтат~в моделирования, требуезся затратить, по оценке специалистов, от 10 до 100 человеко-лет. В мире существуют десязки коммерческих программных комплексов МКЭ (наиболее известны )4АВТВАН„А)чЯ т Я)„в том числе специализированных для решения сВВРОчных и других технологических задач (Я'т"3%ЕЕ)3, МАКС).

На их создание были затрачены еще ббльшне усилия. Тем не менее среди иих нельзя назвать ии одного, пригодного для решения всех возникающих задач. Поскольку внутренняя часть комплекса является для пользователя «черным ящиком», довольно трудно бывает самостоятелыю приспособить его к решению задачи, не предусмотренной разработчиками. Отметим обстоятельства, оказывающиеся ие в пользу коммерческих комплексов, — огромные размеры программного кода (сотни мегабайт) и необходимость поддерживать совместимость ~овы~ Версий программ с предыдущими. Те)зяется гибкое~~ и с трудом осваивается решение принципиально новых задач, а изменения в аппаратном обеспечении (например, переход с больших ЭВМ на персональные компьютеры) имеют для таких программных комплексов катастрофические последствия. Поэтому создание новых программных комплексов МКЭ, прежде всего не универсальных, а направленных на решение конкретного круга задач, сохраняет свою актуальность.

При использовании готового программного комплекса МКЭ можно добавлять к работающему программному комплексу недостшощие элементы для более эффективного его применения. Некоторые коммерческие программные комплексы предусматривают для этого встроенный язык программирования. 13.2.1. Простейшая медель нретекании тека в пластине Продолжим рассмотрение задачи о протекании тока в проводнике и рассмотрим порядок построения модели на основе простейших конечных элементов. Пусть имеется пластина, через которую течет ток, и обозначены точки (узлы), в которых требуется рассчитать потенциал. Пластина имеет постоянную толщину, а потенциал в направлении по толщине пластины не изменяетсж Поэтому в разбиении пластины на элементы по толщине нет необходимости, и ее модель может быть двумерной (плоской).

Разобьем плоскость пластины на ячейки (клетки) так, чтобы каждая граница проходила на равном рассгоянии от двух соседних узлов тех (рис. 13.4). Выделенный белым цветом конечный элемент позволяет установить, какой ток потечет из ячейки 2 в ячейку ! через границу площадью 3 между ними, по изВсстной разности потенциалов между точками ! и 2. Если распределение потенциала по длине элемента аппроксимировать полиномом пер~ой степени, то напрязкенность электрическопз поля во всех точках элемента будет (/з -(!з одинакова и равна Е = —. Плотность тока согласно (!3.1) равна )=- (материал изотропный, сопротивление во всех на- Е Р правлениях одинаково). Ток через элемент прямо пропорционален разности потенциалов, т.

е. Таким образом, выделенный на рис. 13.4 конечный элемент эквивалентен электрическому сопротивлению )(=р- (13,4) между узлами элемента 1 и 2. Такое сопротивление имеет вырезанный нз исследуемой пластины проводник с удельным сопротивлением р„ длиной ! и по- стоянной по длине площадью поперечного сечения з. Если добавить в модель ана- " 2 логичные конечные элементы для каждой пары соседних узлов, то они покроют всю пластину. Будем считать, что все заряды, попав- Рис. 13.4, Простейшая конечиошие в од из ячеек, сосреи ячеек сос е- ЭЛЕМЕНтваз МОДЕЛЬ ЭЛЕКтРОПРОЯОДЯШЕй пластины (1-5 — узлы модели; л и В— доточены в ее узле. Тогл» „„ки с „...„В,„ц,' модель всей пластины МОж- жду узлами ! и 2 показана схема четы- но представить в виде злек- рехугольиого конечного элемента) трической схемы (рис.

13.5). Согласно классификации конечных элементов, рассмотренный элемент следует называть стержневым линейным двухузловым. Рне. 13.5. Электрическая аналогия схемы конечно-элементной модели пластины Если известны потенциалы иа краях пластины и сопротивления конечных элементов, то можно по правилам Кирхгофа получить систему линейных уравнений, неизвестными в которой являкпся потенциалы внутренних узлов.

Это типичная процедура МКЭ по сведению дифференциального уравнения краевой задачи к системе линейных уравнений, Ввод данных, составление и решение' системы уравнений и вывод результатов должны быть реализованы в компьютерной программе. 13.2.3, Моделирование пространственных тел и тел сложной фермы Как правило, моделирование пространственных объектов существенно сложнее, чем плоских, н требует применения более сложных элементов. Однако рассмотренный простейший двухузловой элемент без существенных изменений может быть превращен из плоского в обьемный. На рис. 13.6 видно, что если плоский элемент состоит из двух ктолстых» треугольников„толщина которых равна толщине пластины, то объемный — нз двух пирамид.

В обоих случаях основания частей элемента примыкают с двух сторон к граничной плоскости з, разделяющей соседние ячейки, а их боковые стороны соединяют точки контура границы з с уиами з' и 2. Соединяюпшй 2 2 узлы 1 и 2 отрезок длиной ! перпендикулярен плоскости границы я и в точке пересечения с ией делится пополам. Бслн пространственное тело разбито на ячейки в виде прямоугольных параллелепипедов, то, соединив каждую грань, разделяющую две соседних ячейки с узламц, расположенными в центрах ячеек, мы получим такой элемент. В совокупности элементы заполнят весь объем тела, Модель протекания тока и распределени» потенциалов в теле можно представить в виде электрической схемы, аналогичной рис.

13.5, где каждый элемент изображен в виде сопротивления, присоединенного между двумя узлами. Как известно, любую самую сложную электрическую схему можно начертить на плоском листе. Ячейки, на которые разбита модель, имеют форму прямоугольных параллелепипедов„если заданные узлы з', 2, 3... расположены ровными рядами, как на рис.

Характеристики

Список файлов книги