Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. - Машинные методы математических вычислений (1040536), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Средняя же ошибка интерполяции по [О,1) равна нулю. Является ли этот простой пример типичным или же формуле прямоугольников случайно повезло? Чтобы ответить на зти вопросы, мы должны предпринять тщательный анализ ошибок, основанный на некоторых предположениях относительно ((х).Чтобы результатами этого анализа можно было пользоваться и в последующих параграфах, в него будут включены некоторые избыточные члены. Предположим, что ) имеет пять непрерывных производных и что значения этих производных не слишком велики. Рассмотрим элементарный отрезок [хь х„,.,).
Разложение по формуле Тейлора для) (х) относительно центра этого элементарного отрезка у; имеет вид ц г(х) == [(д )+(х — у ) [' (у )+'— (х — д;)'[" (д ) + 6 ( д') ) (У')+24 ( д') ) (У')+ ' ' ' ' йн р=-о, р=[, з — р.— -2, 12 ' 0, р — З, л) р — 4 80 ' "! ~-1 (Х вЂ” у;)РЫ = Л. Предположения относительно ) означают, что остаточный член, обозначенный многоточием, по величине меньше явно выписанных членов. Чтобы проинтегрировать этот ряд по [хь х„,[, заметим, что 5.!.
ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И ТРАПЕЦИЙ (оз Отметим, что интегралы нечетных степеней равны нулю. Следовательно, ! !! 1 ( х ) Й х й ~ ( У ) ( 4 й 1 ~ ( у ) ( и 1 ! ! У ( у ) + «; Это показывает, что, когда й; мало, ошибка формулы прямоугольников на элементарном отрезке есть 4й,( (у!) плюс члены более высокого порядка. Возвращаясь к разложению Тейлора и подставляя в него х=х; и х=х!+„получаем Р (х!) = ) (У1) 2 йГ(' (У!) + а МГ" (!4!) ! й«Г" (, ) ) ! й44!У(, ) ) 2 '1 (У!)+ 8 +щйп (У!)+за,й!!!У(у!)+ ° таким образом, (( 1) Г((1+0 ~( )+ йг~ ( )+ й«,!У( Объединяя это с разложением интеграла, находим «! «! Это показывает, что при малых й; ошибка формулы трапеций на элементарном отрезке равна — — ф«(у,) плюс члены более высокого порядка.
Общая ошибка каждой из формул есть сумма ошибок на отдельных элементарных отрезках. Пусть Е = — 4 ~', й!)" (У,), ! ";=1 « Е ! ~~!' й1)!У(у ) 1'= ! Тогда I Д) = — )«! Я -'; Е+ Е+... = Т Я вЂ” 2Š— 4 Е+.... Если й; достаточно малы, то й!(~й«! и, если только )!У не слишком плохо ведет себя, Р ~Е. к численное интегеияэвхние Из этих результатов можно извлечь несколько важных следствий.
Во-первых, для многих функций )(х)формула прямоугольников примерно вдвое точнее формулы трапеций. Мы выведем вскоре другие формулы, для которых погрешность выражается более высокими степенями йь так что множитель 2 не имеет большого значения — и все же это многим кажется удивительным. Следующий вывод заключается в том, что разность значений, полученных по формулам прямоугольников и трапеций, можно использовать для оценки погрешности каждвй из них. Однако эта оценка не безукоризнена; может случиться, что обе формулы дадут один и тот же и тем не менее неверный результат. Еще одно следствие касается эффекта от изменения числа элементарных отрезков. Проще всего яоделнть каждый элементарный отрезок помолам.
(Мы яредиолагаем, что значения функции заданы или могут быть вычислены также и ° новых точках). Каждое й; уменьшится в два раза, и, следовательно, все й;, входящие в главный член Е погрешности, уменьшатся в 8 раз. Однако общее число элементарных отрезков удвоится, так чте в целом член Е уменьшится примерно в 4 раза. Коэффициент уменьшения ошибки обычно не равен в точности 4, яоскольку )'", как правило, не является константой и сказывается также влияние членов более высокого порядка. Однако при реальных вычислениях с функциями, имеющими непрерывные ограниченные вторые производные, можно ожидать, что удвоение числа элементарных отрезков для любой формулы — прямоугольников или трапеций— приблизительно учетвйряйлт точность.
Разность результатов, полученных по любой формуле до и после удвоения числа элементарных отрезков, можно использовать, чтобы оценить погрешность или уточнить вычисленный результат. Прием многократного удвоения числа элементарных отрезкоп и оценки погрешности можно запрограммировать и получить метод, который автоматически определяет элементарные отрезки так, чтобы приближенное значение интеграла вычислялось с предписанной точностью. Этот прием можно применять и к другим, более точным квадратурным формулам.
Один такой метод будет рассмотрен в 5 5.4. 5.2. Спнайн-квадратура С помощью кубической сплайн-интерполяции можно получить интересную и полезную квадратурную формулу. Для х;ь, <х<х,е, зададим з (х)=);+6; (х — х,)+с; (х — х;)'+г(;(х — х;)' — кубический сплайн, который интерполирует ~(х) в узлах хь !05 Б.Е СПЛАЙН.КВАДРАТУРА Тогда при а=-х, и Ь=-х„.„1 Ь Ь 1(х) 1(х =) з(х) О(х — '~ й;~1+ — 6А + — йкс1-г — й11(1. Коэффициенты бп с, и 111 можно найти по подпрограмме ЯРЫ1ч'Е из 2 4.5. Поскольку здесь и+1 узлов, подпрограмму АРЫКЕ нужно вызывать при значении Ф=п+1. Однако полезно записать эту формулу по-иному, Напомним, что, согласно 2 4А, з(х) иа (х„ х1„! можно представить в виде з (х) == а~1~, + п1(1+ Й'; [(щ' — ю) о1+, + (п1' — й1) п11, где н1=1 — ц=(х — х1)/61 и Ь (Х) О' а з' Коэффициенты о; вычисляются из симметричной трехдиагональ- ной системы уравнений, выведенной в 24.4.
Чтобы получить квадратурную формулу, заметим, что 1+1 1 з (х) 1(х =- й1 ~ з (и1) 1(п2, к1 О 1 ! Ц1 1(ЬВ =- —, 2 к О (п22 — п1) Йв = — — ° ! 4 ' 0 Следовательно, !+1 11+(,.„1 йкО;+О!„1 2 ' 4 к ° Другими словами, формула сплайн-квадратуры есть формула трапеций плюс поправочный член, содержащий коэффициенты оо Для реального вычисления удобна формула Ь и а 1=1 При счете нужны только массивы данных Х и г', а также массив вторых производных С, вычисляемый подпрограммой БАРЫНЕ. Однако еще два массива В и Р требуются подпрограммой БРЫ14Е для хранения промежуточных результатов.
Е ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 106 Чтобы оценить точность сплайн-квадратуры, заметим, что, исключая патологию в поведении Г" (х), справедливо соотношение 3 А!с! -(-с!! ! й! 5" (х!)+х'(х!!!) Ь! р, ! Таким образом, поправочный член, даваемый сплайном, аппроксимирует ошибку самой формулы трапеций. У нас не было пока сколько-нибудь обширной практики использования этого метода, однако, основываясь на приведенном анализе, мы рассчитываем, что он будет вполне успешным, Поэтому мы рекомендуем его для тех случаев, когда узлы фиксированы, а автоматические методы, описываемые в последующих параграфах, неприменимы. Нужно отметить, что сплайн-квадратура не является обычной квадратурной формулой.
Если записать ее в виде Ь х+ ! ) )(х)!(хж ~х сс!) (х!), то каждый коэффициент !е! зависит весьма сложным образом от всех значений функции ((х!). 5.3. Формула Снмлсона В 2 5.1 составные формулы прямоугольников и трапеций были определены как л())= Х 61~"! !") Г (х!)+ ) (х5,) !=! 2 Далее, было показано, что погрешности этих формул выражаются так: 1 ((') — хт ((') =Е+Е+. 1Я вЂ” Т Я=- — 2Š— 4à — ,' где х Е = — 24 ~ !!с! Ь!) Е=! х !=! аэ. ФОРмулА симпсонА 1от Комбинируя эти две формулы надлежащим образом, мы можем получить новую формулу, для которой погрешность уже не содержит Е.
Поскольку (г(1) примерно вдвое точнее, чем ТЯ, то подходящим будет выбор з (г)+ з Т (~)' Расписывая это, чтобы выявить составляющие члены, получим и 5 У) = Е 8 й5 [Р (х5) + 4Р ( ' 2 "') + Р (х5 из)1 . Многие читатели узнают здесь составную формулу Симпсона. Она может быть также выведена интегрированием кусочно-параболической функции, интерполирующей заданные узлы.
Погрешность формулы Симпсона можно получить непосредственно из выражений погрешностей формул прямоугольников и трапеций: 1(1) — 5И= — Р У) — 15 (1')]+1 [у(0 — Т(г)) (2 2) Е (2 4~р = — -'р+". = — — '~' й'Г(у)+" 3 ' ' ' 2880 и ' 5=1 Заметьте, что, хотя 5 ф основана на интерполяции степени два, в выражение погрешности входит четвертая производная и, следовательно, формула Симпсона точна для кубических функций. Другими словами, как и формула прямоугольников, формула Симпсона получает один «дополнительный» порядок точности.
(Читатель может проверить, что формула Симпсона точна в случае кубических функций.) Если длину каждого элементарного отрезка уменьшить вдвое, то каждое Ь5, в формуле погрешности уменьшится в 32 раза. Общее число членов возрастет в два раза, так что погрешность в целом уменьшится примерно в 1б раз. Зтот факт важен для программ, автоматически выбирающих число и величину элементарных отрезков. Прием комбинирования двух приближений с погрешностями одного порядка с целью получить гораздо более точное приближение можно применять повторно. Например, значения 5(г) для двух различных наборов элементарных отрезков можно скомбинировать так, что будет получено новое значение, отличающееся от 1(Г) величиной, зависящей от 15', и (и' (х).
Проведение этой !08 а чисченное интегеиеовкние процедуры систематическим образом приводит к популярному методу, называемому квадратуралги Роз«берга. Ту же идею можно применить к численному дифференцированию, к численному решению дифференциальных уравнений— вообще к любому численному процессу, аппроксимирующему пределы, поведение погрешности которого известно. Этот общий прием называется экстраполяцией Ричардсона илн экстраполяцией к пределу '). Прекрасный обзор истории и приложений этого метода дан в статье Джойс (1971). Мы отметим еще один пример экстраполяции Ричардсона в $ 6.8. Любая попытка оценить сравнительные достоинства методов, описанных до сих пор, именно формул прямоугольников, трапеций, Симпсона и сплайи-квадратуры, связана с вопросами типа «Что больше, Ь'7'"(х) нли й'(гч(у)?» Ответ и соответствующие выводы, разумеется, зависят от природы интегрируемой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
