С.К. Соболев. Задачи практического содержания на максимум и минимум (1035540)
Текст из файла
© С.К. Соболев. Задачи практического содержания на максимум и минимумСоболев С.К. ©Математическое моделирование1. Задачи практического содержания на максимум и минимумНа взаимно перпендикулярных осях расположены точки А и В на расстоянии 100ми 30м соответственно от точки О пересечения осей. В некоторый момент ониначинают двигаться к точке О: точка А с постоянным ускорением 5 м/мин2 с нулевойначальной скоростью, а точка В – с постоянной скоростью 10 м/мин.
Через какоевремя расстояние между А и В будет минимальным? Вычислить это наименьшеерасстояние.1.2. Над землей на высоте 260 м с постоянной скоростью 20м/сек летит НЛО. Уфолог,заметив его прямо над своей головой, спустя 1 сек запустил строго вверх сигнальноисследовательскую ракету (без собственных двигателей) с начальной скоростью60 м/сек. Через какое время после старта расстояние между ракетой и НЛО будетминимальным? Вычислить это наименьшее расстояние. (Сопротивлением воздухапренебречь, принять g = 10 м/сек 2 ).1.1.1.3.Две мухи движутся прямолинейно и равномерно: одна по плоскости ХOY, а другая– вдоль оси OZ.
В начальный момент они находились в точках A1 (15;7;0) иA2 (0;0;35) соответственно. Спустя 10 сек первая муха находилась в точке B1 (12;11; 0) ,а спустя еще 10 сек вторая была в точке B2 (0; 0;31) , Найти координаты обеих мух втот момент, когда расстояние между ними было наименьшим.1.4. В прямоугольном треугольнике АВС вдоль гипотенузы ВА = 65 см со скоростью13 см/мин ползет жук, а вдоль катета АС= 60 см –улитка со скоростью 3 см/мин. Жуки улитка отправились одновременно из вершин В и А соответственно. Найтинаименьшее расстояние между жуком и улиткой.1.5. Число 160 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так чтобы:(а) сумма куба одного и квадрата второго была наименьшей;(б) произведение квадрата одного на куб другого было наибольшим.1.6.
Число 4 представить в виде разности двух положительных чисел так чтобы:(а) разность междуквадратом первого и кубом второго была наибольшей;(б) отношение куба первого к квадрату второго было наименьшим.1.7. Число 216 представить в виде произведения трех положительных чисел, из которыхпервое число вдвое больше второго, а сумма первого, третьего и квадрата второгобыла наименьшей.1.8. Число 16 представить в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы третьечисло было втрое меньше первого, а произведение первых двух на квадрат третьегобыла наибольшим.1.9.
Разность арифметической прогрессии равна 2, а десятый ее член меньше 19. Какоенаибольшее значение может иметь произведение первого, четвертого и девятого еечленов?1.10. Про возрастающую арифметическую прогрессию известно, что ее второй членположителен, а произведение первых трех членов равно (–8). Какое наименьшеезначение может иметь третий член прогрессии?1.11. Первый член геометрической прогрессии, состоящей из положительных членов,равен 9.
Какое наименьшее значение может иметь разность между четвертым итретьим ее членами прогрессии?1© С.К. Соболев. Задачи практического содержания на максимум и минимум1.12. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии{an }равна 6. Какоенаибольшее и наименьшее значение может иметь величина B = 8a1 + 5a2 .1.13. Найти острый угол прямоугольного треугольника, заданной площади, имеющегонаименьшую сумму длин:(а) противолежащего катета и гипотенузы; (б) всех сторон треугольника.1.14.
Найти угол при основании равнобедренного треугольника наибольшей площади,имеющего заданную сумму длин:(а) всех его сторон; (б) боковой стороны и основания треугольника.1.15. Требуется изготовить закрытую картонную коробку (в форме прямоугольногопараллелепипеда) заданной вместимости V0 так, чтобы ее длина была в полтора разабольше ширины. При каком отношении высоты коробки к ее длине расход материалабудет наименьшим?1.16. Требуется изготовить коробку для подарков в форме правильной треугольнойпризмы с заданной площадью полной поверхности S. При каком соотношении междустороной основания и высотой коробки ее объем будет наибольшим? Чему равен этотмаксимальный объём?1.17.
Требуется изготовить цилиндрический бак заданной вместимости, причемстоимость единицы площади стенок составляет а рублей, а единицы площадиоснований b – рублей. При каком отношении высоты бака к диаметру его основания,стоимость материала для его изготовления будет наименьшей в случае, если бакизготовляется: (а) с крышкой; (б) без крышки?1.18. Найти отношение высоты и диаметра цилиндра наибольшего объема, имеющегозаданное значение периметра осевого сечения Р.1.19. Сумма периметра основания цилиндра и его высоты составляет 30 см.
Какойнаибольший объем может иметь цилиндр?1.20. Найти наружные размеры открытого ящика с квадратным основанием, внутреннейвместимостью 384 см3, толщиной боковых стенок 1 см, а днища – 1,5 см, при которыхна его изготовление будет затрачено наименьшее количество материала.1.21. Требуется изготовить раму для окна прямоугольной формы с полукруглымзавершением вверху, толщиной 5 см в нижнем основаниирамы и 3 см в остальной ее части с заданной площадьюпросвета S0 (см.
рис. 1). При каком отношении высоты h ирадиуса закругления r внутренней части рамы расходr=?материалов будет наименьшим?1.22. Какой наибольший объем может иметь правильнаяh=?3п-угольная пирамида, вписанная в сферу радиуса R?1.23. Какой наибольший объем может иметь имеет конус с5данной длиной образующей L?1.24. Какую наименьшую площадь полной поверхности можетРис. 1иметь правильная п-угольная пирамида, описанная вокругшара радиуса r?1.25. Какой наибольший объем может иметь цилиндр, вписанный в полушар?1.26.
В чашу глубиной h и диаметром d поместили спицу длиной L. Найти угол междугоризонтальной плоскостью и спицей в положении равновесия последней (положениеравновесия достигается, когда центр масс спицы имеет самое низкое положение извозможных; трением пренебречь). Ось симметрии чаши вертикальна. Решить задачудля случаев:а) L = 17 см, чаша имеет форму полусферы, d = 2h = 14 см;б) L = 32 2 см, осевое сечение чаши является параболой, d = 40 см, h = 25 см.2© С.К. Соболев.
Задачи практического содержания на максимум и минимум1.27. Сумма диаметров двух шаров равна 2 + 2 . Найти наименьшее значение суммыобъема первого шара и половины объема второго.1.28. Сумма объемов двух шаров равна 12π . Какое наибольшее значение может иметьсумма диаметра первого шара и половины радиуса второго?1.29. Даны три шара, из которых первые два одинаковы, а сумма площадей поверхностейвторого и третьего шаров равна 20π .
Найти наименьшее значение суммы объемовтрех шаров.1.30. Центры двух шаров находятся в точках А и В, расстояние между которыми равно9 + 6 . Третий шар, равный первому, расположен между первыми двумя, касается ихобоих и его центр находится на отрезке АВ. Какова должна быть площадь поверхноститретьего шара, чтобы сумма объемов трех шаров была наименьшей.1.31. Из медной болванки путем переплавки изготовили сплошные шар и куб. При какомотношении радиуса шара к стороне куба их суммарная полная поверхность будет: (а)наибольшей; (б) наименьшей?1.32.
Тонкий лист стекла переплавлен в два сосуда с той же толщиной стенок, что иисходный лист. Первый сосуд имеет форму полусферы, а второй – полого куба безкрышки. При каком отношении стороны куба к радиусу полусферы суммарнаявместимость обоих сосудов будет: (а) наименьшей; (б) наибольшей?1.33.
Какую наименьшую длину может иметь отрезок с концами на координатных осях,проходящий через точку М с координатами: (а) M (8; −1); (б) M ( −4; 13 12 );(в) M (a; b), (a ≠ 0, b ≠ 0) ?a?a•r•Lcrcba??aРис. 2Рис. 3Рис. 41.34. Какой наименьший периметр может иметь прямоугольный треугольник АОВ,вершины А и В которого лежат на координатных осях, а гипотенуза АВ проходит черезточку (а) М(2; 1); (б) М(9; 2); (в) М(a; b) (a, b>0)?1.35. Ширина одного из проходов Г-образного коридора равна а.
Какова может бытьнаименьшая ширина второго прохода этого коридора, чтобы через него можно былогоризонтально пронести балку длиной L > a (см. рис. 2).1.36. Отрезок MN с концами на координатных осях касается окружности радиуса R сцентром в точке C (a; b) ( R < a, R < b) . Найти наименьшую длину отрезка MN приусловии: (а) b = a; (б) a = 5, b = 3, R = 1 .1.37. Найти наибольшую длину стола шириной равной с, который можно пронестигоризонтально через Г- образный коридор имеющего ширину проходов а и b.
Решитьзадачу при условии:(а) стол имеет на обоих концах полукруглые завершения радиуса r = c = 0.35 м,2a = 0.9 м, b = 1.2 м (рис. 3); (б) стол имеет прямоугольную форму, b = a > c (см. рис. 4).3© С.К. Соболев. Задачи практического содержания на максимум и минимум1.38. На стене здания, на высоте 2м установлена мемориальная доска. На какомрасстоянии от стены следует установить на земле прожектор, чтобы освещенностьдоски была наибольшей? Длина электрического шнура прожектора равна L, розеткаустановлена в стене у земли прямо под доской (освещенность точки плоскости прямопропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональнаквадрату расстояния до источника света).1.39. В точке А письменного стола установлена штанга длины L, образующая угол1arc cosс плоскостью стола. На каком расстоянии от точки А следует укрепить3лампу на штанге, чтобы освещенность книги, лежащей на столе под штангой в 1 м отточки А, была наибольшей (книга и штанга находятся в одной вертикальнойплоскости)?1.40.
Турист находящийся в пункте А на берегу реки шириной 240 м, должен попасть впункт В, расположенный на другом берегу на расстоянии 400 м от А. Турист можетсначала доплыть на лодке из А до некоторой точки С на другом берегу, а остальнойпуть до В проделать пешком по берегу со скоростью 6 км/час. Какое расстояние СВтурист должен пройти пешком, чтобы общее время пути из А в В было наименьшим,если скорость лодки составляет: (а) 3,6 км/ч; (б) 5 км/ч.
Вычислить в каждом случаеэто наименьшее время (течением реки пренебречь).1.41. Пункт А находится в 24 км от прямолинейной железной дороги и в 30 км от пунктаВ, расположенного на этой же дороге. Требуется построить шоссе от А до некоторойточки С на железной дороге, чтобы перевозка груза из А в В сначала по шоссе АС, азатем по железной дороге из С в В была наиболее дешевой. Найти расстояние ВС, еслистоимость перевозки 1 т/км по железной дороге составляет 20 руб., а по шоссе: (а) 25руб.; (б) 52 руб.1.42. Пункты А и В расположены в диаметрально противоположных точках на берегуозера круглой формы. Спортсмен на автомобиле-амфибии должен попасть из А в В,сначала проплыв на нем по озеру до некоторой точки С на берегу, а затем проехав посуше вдоль берега по дуге СВ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
