Л.Д. Покровский - Математические модели физических явлений (1035536)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Л.Д. ПокровскийРед.С.К. СоболевМатематические модели физических явлений.Занятия 1 – 2. Практические задачи на экстремум.Задача 1. Электрическая цепь состоит из переменного сопротивления R ибатареи постоянного тока с ЭДС равной E и внутренним сопротивлением r.Нарисовать график зависимости выделяемой мощности Р в зависимости от Rи определить, при каком значении R эта мощность будет наибольшей?Решение. Пусть R = x, x > 0 . Тогда ток i = E = E , а мощностьR+rP = i2R =x+rE xdP E ( r − x )=P(x),=. Максимум мощности при R = x = r .dx ( x + r )3( x + r )22Задача 2. Дождевая капля с начальной массой m0 начинает падать, испаряясьтак, что её масса убывает с постоянной скоростью.

Спустя τ секунд её массауменьшилась вдвое. Какая масса будет у капли в тот момент, когда еёкинетическая энергия E максимальна? Найти Emax .Решение. Пусть, m(t ) – масса капли спустя t секунд после начала падения.mmПо условию, m(t ) = m0 − kt и m0 − kτ = 0 , отсюда k = 0 . Поскольку22τскорость v = g t , то кинетическая энергияm0 g 2  2 1 3 g2 212E = m( t ) ⋅ v =t ( m0 − kt ) =t − t  = E (t ) .222 2τ 223t 2  m0 gdE m0 g Её производная=2t −=t ( 4τ − 3t )dt2 2τ 4τ8m0 ⋅ g 2τ 24τКинетическая энергия максимальна при t =, Emax =, при этом327m 4τ mмасса капли будет m = m0 − 0 ⋅ = 0 .2τ 33Задача 3.

Освещенность в точке прямо пропорциональна косинусу угла ϕпадения луча света и обратно пропорциональна квадрату расстояния d отэтой точки до источника света. При какой высоте h источника света надцентром круглого стола радиуса R освещенность на краю стола будетнаибольшей. Высота потолка над плоскостью стола равна Н.Решение. Пусть h = x , по условию, 0 ≤ x ≤ H ,hxd 2 = R 2 + h 2 , cos ϕ = =.22dx +RПокровский Л.Д. Практические задачи на экстремумОсвещенность на краю стола J =Её производнаяk cos ϕkx=2dx2 + R2()32,dJ k ( R 2 − 2 x 2 )=.5dx22 2x +R()R, то освещенность максимальна при h = H ,2RRа если H ≥, то освещенность максимальна при h =.22Задача 4. Сечение цилиндрического желоба согнутого из полосы жестишириной а, имеет форму кругового сегмента с центральным углом ϕ .

Прикаком значении угла ϕ (в радианах) вместимость желоба будетмаксимальной?Решение. Пусть R – радиус закругления, тогда a = Rϕ , и площадь S сегмента,как известно из курса планиметрии, равна:R2a 2 ϕ − sin ϕS=⋅ (ϕ − sin ϕ ) =⋅= S (ϕ ) .22ϕ2Ответ: если H <Понятно, что 0 < ϕ ≤ 2π .Находим производнуюdS a 2 2sin ϕ − ϕ (1 + cos ϕ ).=⋅dϕ 2ϕ3Применим формулы понижения sin ϕ = 2sin t ⋅ cos t , 1 + cos ϕ = 2 cos2 t , гдеt=ϕ2, 0 < t ≤ π , получим:2dS a cos t (sin t − t ⋅ cos t )=.dϕ4t 3Пусть f (t ) = sin t − t ⋅ cos t , тогда f ′(t ) = t ⋅ sin t > 0 при 0 < t < π .Поэтому f (t ) > f (0) = 0 при 0 < t ≤ π .dSπСледовательно,= 0 только при cos t = 0 ⇒ t = ⇒ ϕ = π , и производная вdϕ2этой точке меняет знак с плюса на минус.Ответ.

Площадь сечения максимальна, когда сечение – полукруг, т.е. приa2.ϕ = π , Smax =2πЗамечание. Ответ вытекает и из общего решения изопериметрическойзадачи: из всех плоских фигур с данным периметром P = 2a наибольшуюплощадь имеет круг.Ред. Соболев С.К.2Покровский Л.Д. Практические задачи на экстремумЗадача 5.

От канала ширины а отходит под прямым углом другой каналшириной b. Найти наибольшую длину бревна, которое сможет пройти изодного канала в другой, сохраняя горизонтальное плавучее положение.Этот пример иллюстрирует, как важно удачно выбрать независимуюпеременную.Решение. Искомая максимальная длина бревна ℓ, очевидно, равнанаименьшей длине L отрезка с концами на положительных полуосяхкоординат, проходящего через точку M (a; b) . ( a , b > 0 ): ℓ max = Lmin .В качестве независимого аргумента возьмем угол ϕ между этим отрезком иотрицательным направлением оси ОХ, 0 < ϕ <π . Тогда длина L отрезка2равнаL(ϕ ) =ab+,cos ϕ sin ϕеё производная:dL a sin ϕ b cos ϕ a sin 3 ϕ − b cos3 ϕ a ⋅ cos ϕ  3b=−==tg ϕ −  .22222dϕ cos ϕ sin ϕasin ϕ cos ϕsin ϕ 23 2bМинимум достигается при ϕ = arctg 3 и Lmin = ( a 3 + b 2 ) = ℓ max .a3Ред.

Соболев С.К.3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги