Стентон Гланц - Медико-биологическая статистика (1034784), страница 33
Текст из файла (страница 33)
3 и 4 мыбрали нормально распределенную совокупность, находили параметры распределения (среднее µ и стандартное отклонение α),затем находили выборочные оценки этих параметров ( X и s) иГЛАВА 8222использовали их для оценки значимости различий между группами, например получавших препарат и не получавших.
Теперь мытакже будем иметь дело с нормально распределенной совокупностью, но группа будет только одна. Интересовать же нас будетсвязь между двумя количественными признаками, характеризующими членов этой группы, например между дозой препарата иэффектом, ростом и весом. Мы ограничимся случаем линейнойзависимости двух переменных*.Сколько весит марсианин?Итак, начнем с совокупности. Совокупность марсиан нами ужедостаточно хорошо изучена, особенно что касается роста.
Новедь мы их еще и взвешивали! Разберемся, как связаны вес ирост. Вы, конечно, помните, что на Марсе живет 200 марсиан. Вгл. 2 мы обнаружили, что их рост подчиняется нормальномураспределению со средним µ = 40 см и стандартным отклонением σ = 5 см. Оказывается, что вес марсиан тоже подчиняетсянормальному распределению с параметрами µ = 12г и σ =2,5г.Но самое замечательное, что отчетливо видно на рис. 8.1, — этозависимость веса от роста. Как правило, чем больше рост марсианина, тем больше вес, причем эта зависимость линейна.Посмотрим, сколько весят марсиане, чей рост равен 32 см.Таких марсиан четверо, а их вес равен соответственно 7,1; 7,8;8,3 и 8,8 г. Таким образом, средний вес марсиан ростом 32 смравен 8 г. Восемь марсиан ростом 46 см весят 13,7; 14,5; 14,8;15,0; 15,1; 15,2; 15,3 и 15,8 г.
Их средний вес 15 г. Если для каждого значения роста мы подсчитаем соответствующий ему средний вес, то окажется, что найденные значения лежат на прямойлинии, как изображено на рис. 8.2.Теперь, выбрав какой-то рост, мы всегда сможем примерноопределить вес марсианина этого роста. Точнее, мы сможем оп*Линейная зависимость у от х определяется формулой у = α + βх. Возможна нелинейная зависимость, например у = α + βх2. Возможна и множественная зависимость, когда определяющих признаков более одного, например у = α + βх + γz.
Она рассматривается в книге S. Glantz, В.Slinker. Primer of applied regression and analysis of variance. McGrawНill, New York, 1990.АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ223Рис. 8.1. Рост и вес марсиан. Как известно, число обитателей Марса составляет 200;каждый из них был измерен и взвешен, результат нанесен на график в виде кружка.Распределение марсиан по росту и по весу нормально. Более того, средний вес марсианопределенного роста связан с ростом линейной зависимостью; разброс значений весадля всех ростов одинаков.
Чтобы к совокупности можно было применить регрессионный анализ, она должна обладать всеми этими свойствами.224ГЛАВА 8Рис. 8.2. Если рассчитать средний вес марсиан разного роста и нанести полученныезначения на график, окажется, что они образуют прямую линию. Иначе говоря, среднийвес марсиан линейно зависит от роста.АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ225ределить средний вес марсиан этого роста, поскольку для каждого роста существует определенный разброс веса. Разброс этот,кстати, можно оценить, рассчитав стандартное отклонение весадля каждого роста.
Оказывается, какой бы рост мы ни взяли,стандартное отклонение веса составит 1 г, что заметно меньшестандартного отклонения веса для всей, не разделенной по весам, совокупности марсиан.УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИПрежде чем перейти к обобщению этих закономерностей, дадим несколько определений. В уравнении регрессии одна изпеременных, х, называется независимой переменной, а другая, у, —зависимой. Набор значений у, соответствующих определенному значению х, обозначим у|х.В примере с марсианами рост мы будем рассматривать какнезависимую переменную, а вес — как зависимую. Понятно, чтоэто не означает, что одна переменная действительно определяетдругую. Просто по значению одного признака мы предсказываемзначение второго.
В условиях эксперимента мы произвольно меняем независимую переменную и смотрим, как меняется зависимая. При этом речь действительно идет о зависимости, то естьо причинной связи. В прочих же случаях выявление статистической связи двух переменных указывает на возможность причинной связи, но не доказывает ее.
Разобраться в причинах и следствиях вообще невозможно чисто статистическими методами. Необходимо, в частности, найти биологический механизм, порождающий выявленную связь. Например, эпидемиологические данные о связи пассивного курения с заболеваемостью ишемической болезнью сердца еще не доказывают, что пассивное курениеспособствует развитию ИБС. Может быть, и то и другое — следствие какой-либо неизвестной причины, например нервной обстановки в рабочем коллективе. Однако экспериментальные данные* о том, что пассивное курение и отдельные компоненты та*О том, как анализировать совокупность эпидемиологических и экспериментальных данных для выявления причинных связей, можнопрочесть в работах: S.
A. Glantz, W. W. Parmley. Passive smoking andГЛАВА 8226бачного дыма вызывают поражение сердца у лабораторных животных, говорят в пользу именно причинной связи.Вернемся к нашим марсианам. Для каждого значения независимой переменной х (в нашем примере это рост) рассчитаемсреднее значение зависимой переменной у (вес). Это среднее вточке х обозначим µy|x. Тогда обнаруженная нами линейная зависимость описывается уравнениемµy|x = α + βx.Здесь α — значение у в точке х = 0 (коэффициент сдвига), β —коэффициент наклона*. В нашем примере при увеличении ростана 1 см средний вес увеличивается на 0,5 г, поэтому β =0,5.
Хотяпредставить марсиан весом –8 г не легче, чем ростом 0 см, тем неменее для прямой с рис. 8.2 имеем α = –8 г. Таким образом, прямая средних (для каждого роста) весов задается формулойµy|x = –8 + 0,5x.Теперь посмотрим, как распределены веса марсиан одногороста. В данном случае это нормальное распределение со средним µy|x и стандартным отклонением σy|x. Но этого еще недостаточно для применения методов, которые мы рассмотрим ниже.Помимо нормальности распределения требуется, чтобы σy|x былоодинаковым для разных х. Иначе говоря разброс значений зависимой случайной переменной у должен быть неизменным при любом значении независимой переменной х.
В нашем примере этоусловие выполняется.Итак, значения переменных должны удовлетворять следующим условиям.• Среднее значение µy|x линейно зависит от х.• Для любого значения х значения у|х распределены нормально.• Стандартное отклонение σy|x одинаково при всех значениях х.Функция, задающая зависимость µy|x от х, определяется па-*heart disease: epidemiology, physiology, and biochemistry. Circulation,83:1—12,1991 и S. A. Glantz, W. W. Parmley.
Passive smoking and heartdisease: mechanisms and risk. JAMA, 273:1047—1053, 1995.Эти обозначения совпадают с обозначениями ошибок I и II рода. Будемнадеятся. что это не породит путаницы.АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ227раметрами α и β. Разброс значений у|х в точке х задаетсястандартным отклонением σy|x.
Оценим эти параметры.ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕСИИ ПОВЫБОРКЕВ реальной жизни редко удается получить данные обо всей совокупности, и исследователю приходится довольствоваться выборками. Допустим, мы располагали бы данными не о всех марсианах, а только о десяти. На рис.
8.ЗА они показаны чернымикружками среди 190 своих собратьев. На рис. 8.3Б данные показаны так, как их видит исследователь, изучивший эту выборку.Что можно сказать о совокупности, основываясь на этих выборочных данных?Похоже, что в этом случае исследователю повезло.
Зависимость веса от роста в выборке выглядит примерно так же, как ив совокупности в целом. Но ведь выборка может вводить взаблуждение. Вспомним пример с рис. 1.2. В выборке из 5 человек диурез отчетливо увеличивался с ростом дозы препарата (рис1.2А), тогда как на самом деле никакой зависимости не было(рис 1.2Б). Какова вероятность ошибочного заключения? Какмы скоро увидим, эта задача сводится к оценке параметров уравнения регрессии α и β по выборке.Метод наименьших квадратовСейчас нам предстоит оценить параметры уравнения регрессииα и β.
Обозначим их выборочные оценки соответственно а и b.Найти наилучшие оценки этих параметров — это то же самое,что провести наилучшую прямую через имеющиеся точки, поскольку у =а + bх — это уравнение прямой. Какую прямую считать наилучшей? Посмотрим на рис. 8.4. На нем изображены 4прямые. Прямая I явно не годится — все точки оказались по однусторону от нее.
Прямая II немного лучше, она хотя бы пересекаетобласть, где находятся наши точки. Однако она слишком крутоустремляется вверх. Какая из прямых III и IV является лучшей,сказать трудно. Почему прямая II кажется лучше прямой I, апрямая III — лучше прямой II? Очевидно, прямая тем лучше,228Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
