Дуда Р., Харт П. - Распознование образов и анализ сцен (1033979), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Таким образом, двойной ряд моментов дает полное описание объекта, а частичное описание объекта можно получить, используя некоторое подмножество моментов. Читатель может теперь заподозрить, что множество моментов состоит нз коэффициентов разложения в ряд некоторого полного опнса- «) Из рабаты Брилла «С)гага«!ег Песоапп!оп Н!а Гоипег 0«пег!р!ога», %еасоп, Рарег 25/3 (1968). 391 У.д. описание формы ния объекта. Это и в самом деле так. Определим порождающую моменты функцию М(и, о) для некоторой функции интенсивности д(х, у) с помощью формулы В М(и, о) = ~~ ехр(их+ ау)д(х, у) «(х«(у.
й Заметим, что это определение напоминает определение спектра Фурье функции д. Наше допущение, что функция д «хорошая», позволяет разложить порождающую моменты функцию в степенной ряд следующим образом: Ф Ф М(и, о) =х « ~' ар„—,—,. рьа«ьа Мы утверждаем, что коэффициенты ар представляют собой в точности моменты функции д. Чтобы убедйться в этом, оценим частную производную разложения в ряд порядка (р, д) в точке (О, О) и полу» чим дР+«М (О, О) диР др« Р«' С другой стороны, из определения порождающей моменты функции частная производная функции М порядка (р, д) равна д д Дх~у~ехр(их+ау)у(х' у)с(х«(у — Ф и поэтому ар, — — — — ' — — Дх~у«д(х, у) «(хйу=тр . да+«М (О, О) 7 Порождающая моменты функция играет заметную роль в статистике, где функция у(х, у) интерпретируется как функция плотности распределения.
Заметим, что в нашем случае момент нулевого порядка т„представляет собой просто объем, заключенный под поверхностью д(х, у). Поскольку мы интерпретируем д как характеристическую функцию объекта, величина т„представляет собой его площадь. В статистике два момента первого порядка т„и т„ являются средними значениями функции плотности вероятности по осям Х и У. Приблизительно то же справедливо и для нашего случая. вселение величин т,„ и т., на т„ нормирует их по отношению к площади объекта и дает координаты Х и У его центра тяжести. Гл. У.
О««сании линии и формы Родственное множество моментов составляют центральные моменты функции д(х, у), определяемые формулой р =-Д(х — ' — ") (у — — '') й(х, у)«(хну. О Этот вариант сводится к изменению системы координат таким образом, чтобы оси Х и У пересекались в центре тяжести объекта. Очевидно, что первые центральные моменты объекта )«,. и р««равны нулю. Вторые моменты (»»«, р„и бм представляют собой моменты инерции и аналогичны дисперсиям иковариации функции распределения для двух переменных. Собственные векторы матрицы вторых центральных моментов задают направления, относительно которых объект имеет максимальный и минимальный моменты инерции.
Собственные значения суть главные моменты, отношение которых описывает в некотором смысле толщину или тонкость объекта. Глядя со стороны, мы можем интерпретировать метод моментов как своего рода уловку для осуществления того, чего нельзя осуществить простым разложением в ряд Тейлора характеристической функции объекта, Разложение в ряд Тейлора здесь «не работает» потому, что характеристическая функция множества «плохая»с она претерпевает разрыв непрерывности всюду вдоль границы множества. Однако функция с разрывами непрерывности, грубо говоря, имеет гладкий спектр Фурье, который представляет собой «хорошую» функцию и может быть разложен в степенной ряд.
Порождающая моменты функция играет роль аналога спектра Фурье и позволяет нам получать описание обьекта нужной информативности„ отбирая все большее число коэффициентов разложения. Теперь было бы поучительно обобщить исследованные нами способы описания объекта. Мы рассмотрели по крайней мере четыре различных метода получения полного описания: сам объект (т. е. как математический элемент характеристическую функцию объекта), спектр Фурье объекта (или функции интенсивности), скелетную пару объекта и его порождающую моменты функцию. Как правило, не особенно полезно просто заменять одно полное описание другим.
В конечном счете информация в них одна и та же, а в видоизмененной форме она часто воспринимается с ббльшим трудом, чем в форме исходного объекта. Ценность преобразования одной формы описания в другую заключается прежде всего в том, что для другой формы некоторые операции упрощения могут оказаться особенно естественными или легко реализуемыми. Лучшим примером, возможно, служит преобразование Фурье, с помощью которого элегантную интерпретацию получают такие действия, как фильтрация н сравнение с эталоном.
В случае скелетной пары для упрощения скелета можно естественным образом использовать функцию гашения. 393 У.З. Олисание фалам Однако, что касается способовописання, для которых геометрическая интуиция и прозрение наталкиваются на ббльшие трудности, то они, как правило, оказываются менее полезными в анализе сцен. 9.3.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПИСАНИЯ Интегральная геометрия — это сформировавшаяся математи. ческая дисциплина, имеющая дело с вычислением вероятностей разного рода случайных геометрических событий.
Ее применение в задачах описания объектов представляется привлекательным по следующим соображениям. Пусть нам дан односвязный объект, со- Рис. 9.27. Пересечение объекта случайными линиями. а) — случайные линии, пересекающие круг; б) — плотность распределения вероятности для длин хорд. держащий одну компоненту. Представим себе эксперимент, в котором на сетчатку, где воспроизводится объект, бросают случайные линии.
Предположим для конкретности, что нас интересуют две различные стороны эксперимента: во-первых, относительное число случайных линий, пересекающих объект, и, во-вторых, средняя длина хорды, вырезаемой объектом на пересекающих его линиях. Эти параметры, как и многие другие, подобные им, сильно зависят от вида объекта и, следовательно, могут использоваться для целей описа. ния. Чтобы проиллюстрировать нашу мысль, на рис. 9.27, а показан круглый объект с наложенными на него несколькими случайными линиями.
Распределение длин хорд, вырезанных кругом, изображено на рис. 9.27, б. Естественно предположить, что это распределение характеризует круглую форму объекта. Следовательно, параметры этого распределения, такие, как среднее и дисперсия, могут быть полезными для целей описания объекта. Традиционный способ предупредить неосторожного исследователя о тонкостях предмета интегральной геометрии заключается в изложении известного парадокса Бертрана.
Пусть мы взяли в ка- 394 Гл. 9. Описания линии и фауясл честве объекта круг единичного радиуса н вычисляем вероятность того, что случайная хорда этого круга имеет ббльшую длину, чем сторона вписанного равностороннего треугольника, Это эквивалентно бросанию случайных (бесконечных) линий на сетчатку и вычисле. нню условной вероятности того, что, если линия пересекает круг, длина ее хорды больше чем )с 3. Мы предлагаем читателю следующие решения. Во-первых, вследствие симметрии мы можем без потери общности предположить, что треугольник можно построить таким образом, чтобы один из концов хорды совпадал с его вершиной.
На рис. 9.28 /7 ясно видно, что хорда может быть я длинней стороны треугольника только в том случае, если другой ее конец лежит где-то на дуге, опирающейся на противоположную сторону. Следовательно, вероятность, которую мы ищем, в точности равна 1/3, Во втором варианте (снова по гс соображениям симметрии) мы можем точно так же предположить, что ориентация хорды фиксиро- 9 яа с4 9~ д р ц вана, скажем она горизонтальна парцхакса ьертряпа.
на рис. 9.28. Тогда, чтобы она бы- ла длинней стороны треугольника, она должна пересекать вертикальный диаметр где-либо между тЬчками А и В. Поскольку все точки пересечения вертикального диаметра равновероятны, ответ должен быть равен 1/2, И наконец, заметим, что всякая хорда единственным образом определяется основанием перпендикуляра, проведенного из центра круга. Следовательно, каждой точке круга соответствует единственная хорда.
Если мы выберем точку, лежащую внутри концентрического круга половинного радиуса, то, как подсказывает рис. 9.28, соответствующая хорда будет длинней, чем сторона треугольника; в противном случае она будет короче. Поэтому вероятность, которую мы ищем, равна отношению плошадей двух концентрических кругов, т. е. 1/4.
Таким образом, у нас есть три прямых метода вычисления искомой вероятности, дающие ответы 1/3, 1/2 и 1/4. Источник путаницы заключен в неоднозначности термина «бросать линию случайным образом». Чтобы уточнить этот термин, мы должны сначала задать параметры множества всех линий, а затем распределение вероятностей для этих параметров.
Полученные выше различные ответы соответствуют различным способам, с помощью которых можно выполнить такую операцию. Не вводя каких- 9.3. Описание формы либо дополнительных принципов, мы не можем сказать, что один из этих ответов правильный,— ясно лишь то, что они все различны. Принцип, к которому приходится обращаться при таких обстоятельствах, называется инвариантмослзью. Полное объяснение понятия инвариантности требует экскурса в теорию меры, без которого мы можем обойтись, но основная идея очень проста. Мы требуем, чтобы все наши результаты были инвариантны к переносам и вращениям объектов. Это значительно сужает возможности. Можно показать, что этому требованию удовлетворяет единственный способ задания параметров множества прямых линий: координаты (0, р), обсуж- з» У Рис.
9.29. Отображение точки иа плоскости (8, р) в линию иа плоскости (Х, У). давшиеся ранее. Говоря болееконкретно, произвольная прямая на плоскости (Х, У) описывается с помощью перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой линии (рис. 9.29). Длина перпендикуляра равна р, а угол, который он составляет с осью Х, есть угол 0. Таким образом, каждой точке на плоскости (0, р) соответствует прямая «(0, р) на плоскости (Х, У). Чтобы дополнить наше описание «случайности», мы должны теперь задать распределение параметров 0 и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
