Айвазян С.А., Бухшгабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. - Прикладная статистика (1027378), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Размах значений ОЕ по оси Оу делится на число строк, а размах значений по оси Ох — на число интервалов. Полученные частные и являются масштабами измерений. Меняя задаваемое на ДР число строк и интервалов, можно добиться таким образом и изменения масштабов. Рнс. 18.1. Проеввнв точек, воннентрнруюшахсв вокруг параболической правой На рис. 18.1, а представлено облако точек, которые концентрируются вокруг некоторой кривой.
Сжатие по оси Ох делает эту структуру более выраженной, что и демонстрирует рис. 18.1. б. При построении ДР часто используются и нелинейные преобразования координат ОЕ, например логарифмический масштаб и т. д., что в ряде случаев позволяет выявить дополнительные структурные особенности в данных. 18.2.3. Динамические формы диаграмм рассеивания Многооконные ДР.
Новые возможности для визуального анализа представляет одновременное изучение нескольких ЙР для одного и того же множества ОЕ. На экране дисплея создается несколько окон, в каждом из которых высвечивается своя ДР. При этом отображения исходной матрицы данных могут быть получены как в рамках применения одного какого-либо статистического метода (например, главных компонент), так и при применении нескольких методов (например, целенаправленное проецирование для выделения кластерной структуры (см.
5 19.4) и главных компонент (см, гл. 13)). Конечно, рассмотрение изображений на нескольких ДР полезно и в статическом режиме. Однако введение динамических элементов позволяет использовать качественно новые возможности [!83, 315]. Простым, но эффективным приемом является использование подвижного окна, положение и размеры которого управляются пользователем. Окно движется по одной из ДР и ОЕ, попавшие внутрь этого окна, маркируются одновременно на всех ДР. Для каких целей может быть использовано подвижное окно? Приведем только некоторые возможные применения. Одно из возможных использований — проверка предположения о том, что выделяемое сгущение ОЕ на какой-либо ДР действительно представляет собой кластер в исходном многомерном пространстве, а не является просто свойством данной проекции. Для этого подвижное окно накладывают на сгущение и наблюдают, как расположены те же самые точки на других ДР.
Если на какой-либо ДР ВЭ, соответствующие выделенным с помощью подвижного окна ОЕ, разбросаны равномерно по всему экрану, то, значит, сгущение не является кластером. Если же на всех экранах выделенная совокупность ОЕ распределена компактно, уверенность в том, что полученное образование действительно некоторый кластер. возрастает, Конечно, ДР нужно выбирать так, чтобы расстояния между ОЕ на них были бы величины одного порядка. Другое возможное использование состоит в изучении условных распределений. Действительно, фиксация точек внутри подвижного окна на какой-либо из ДР соответствует тому, что рассматриваем на других ДР распределение ОЕ, удовлетворяющих условиям х~ ( х ( х„уз ( у ( у„, где хь х„, уа, у, — границы окна; х, у — координаты точек на ДР с подвижным окном.
На рис. 18.2 показана ситуация, когда точки, достаточно равномерно распределенные внутри подвижного окна на левой ДР (рис. 18.2, а), концентрируются вокруг некоторой кривой линии на другой ДР (рис. 18.2, 6). Наконец, наиболее обыденный путь использования подвижного окна состоит в использовании его для идентифика- Рис. 18.2. Дае проекции едкого и того же множества объектов: а) пунктиром дано положеиие подиижиого окна, крестами амделены точки, попавшие апутрь подкожного окна; б) положение тек же точек иа другой проекции в трехмерное пространство (например, пространство трех первых главных компонент или трех направлений целенаправленного проецирования по какому-либо из критериев и т.
д.). Расположим оси Ох и Оу на экране дисплея, а ось Ог— перпендикулярно к нему. Начнем теперь вращать пространство вокруг оси Ох или Оу, а направление проекции пусть остается ортогональным экрану. Выберем для определенности ось Ох. Координаты ОЕ вдоль этой оси не меняются, а вертикальные координаты получаются из следующих уравнений: у(1) =усовй+гз)па ()В.
)) или у(1) =У(1 — ()+22. 16 Закал ЗВ 29! (18.2) 481 ции ОЕ. Для этой же цели может служить и подвижный маркер в виде креста, стрелки и т. д. Вращение. Другим приемом, позволяющим изучать ДР в динамике, является получение последовательности ДР, полученных путем вращения трехмерного облака ОЕ вокруг некоторой оси, и изучения его двумерных проекций в фиксированном направлении. Таким образом, можно выбрать наиболее интересные двумерные проекции трехмерных точек. Итак, пусть имеем некоторое отображение наших ОЕ Если координаты у и г были нормированы, то новая координата у также нормирована (имеет единственную дисперсик>). Обычно значение ! берется с малым шагом и, если ЭВМ позволяет пересчитывать и подавать на экран дисплея ДР достаточно быстро, возникает плавная картина модификации изображения, своего рода фильм.
Вращение. задаваемое уравнением (18.1), отличается от задаваемого (!8.2). Чтобы увидеть это, продифференцнруем их по й Имеем у'(1) =а соз1 — уз>п1;, у' (1) = г — у. (!8.3) (!8.4) 482 Скорость изменения положения точек по вертикали для вращения (18.2) не зависит от й В то же время для вращения (18.1) скорость изменяется с изменением угла вращения и в начале вращения скорость зависит толь>«о от неотображаемоп визуально координаты г(это явление называется параллакс-эффектом 1183!). 18.2.4. Обработка диаграмм рассеивания с помощью статистических методов.
Рассмотренные ранее приемы манипуляцииии ДР, хотя и оказываются аффективными на практике, носят тем не менее техническии характер. Способы обработки ДР, приведенные в настоящем параграфе, основаны на статистических идеях, и их цельк> является повышение «контрастности» структур, представленных на ДР, что позволяет легче обнаружить их визуально. Рассматриваемый ниже подход основан на выделении й-ближайших соседей (см. гл. 7) для каждой ОЕ на ДР. При этом й-ближайших соседей выделяются либо в двумерном пространстве, соответствующем ДР, либо в исходном 1>- мерном пространстве.
В качестве метрик может использоваться практически лк>бая метрика, перечисленная в гл. 6, 11. Таким образом, данная процедура управляется тремя факторами: числом соседей; типом метрики; пространством переменных. После выделения л-ближайших соседей получаем для каждой точки радиус минимальной сферы, в которук> попали соответствуя>щие >«-соседей. Радиус такой сферы является монотонно убывак>щей функцией от оценки плотности распределения в данной точке по методу >г-ближайших соседей. Теперь можно поступить по крайней мере двумя способами: 1) удалить заданный процент (5, 10, 20 "о) точек с минимальной локальной плотностью; 2) позволить точкам дви- гаться в направлении градиента оценки плотности (подробнее см.
(2331). Если на ДР есть какая. либо структура (например, кластерная), то обычно в результате одной из этих процедур она становится более выраженной визуально (см. (323)). Преобразования данных в разведочном анализе данных 18.3. В данном параграфе речь идет о нелинейных преобразованиях исходных данных, представленных в виде матрицы «обьеьт — признак», Нелинейные преобразования могут быть использованы в РАД: а) для линеаризации зависимостей между переменныыи. б) для упрощения структуры данньж. Лииеаризация зависимостей между переменными. Цель использования таких преоб>разований состоит в переходе к новому набору переменных, зависимость между которыми является.
возможно, более близкой ь линейной. Если такое преобразование удается найти, то дальше к новой матрице данных можно с большим основанием применять такие линейные статистические методы, как главные компоненты, факторныи анализ, линейную регрессию и т. д. Будем рассматривать только преобразования вида у!'> =>р>(х!'>) (!'= 1, р), где >р! (х>>>) — функции из некоторого класса допустимых функций Ф. В качестве критерия, по которому ищется преобразование, можно использовать, например, критерий г!»д (18.5) ><>' >, /= 1 16» аналою>чный критерию П7.30). Получить приближенное решение можно, если переменные х"> предварительно градуировать (область значения переменной х<'> разбить на 1! градаций) и дальше использовать алгоритм из й !7.3.
Естественно, после градуирования для получения преобразованийй >(, (х,) можно использовать и множественный анализ соответствий. Дальше, в 3 19.6, будет необходим случай максимизации (18.5), когда число переменных р = 2. Из регрессионного анализа известно П2, гл. 5), что, когда имеются две слу- чайные величины у(з> и х(~>, наилучшим, в смысле средней квадрз>лческой ошибки, регрессором вида (р, (х(") для случайнои величины у('> (т.
е. для регрессии вида у(в = = >р> (х('>) + е) будет условное математическое ожидание этой случайной величины при х<», т. е. (р, (х('>) — Е (у(н/ х('>), и, следовательно, функция Е (у('>/ х('>) имеет максимальный коэффициент корреляции с у('>. Аналогично верно и для регрессии у('> на х(з>. Поэтому функции >р, (х(з>) и (р, (х('>) должны удовлетворять уравнениям < (р> (х('>) = с, Е ((рз (х('>)/х('>); (18.6) (Р,(х(з>) = сз Е (Ч»(х('>)/х('>).
Константы с, и с, не влияют на коэффициент корреляции. Кроме подхода, связанного с предварительным градуированием переменных, можно использовать и некоторые семейства монотонных преобразований, например преобразования Бокса — Кокса [1961: <уш ((х( >)ч( — 1)/а> а> че О; <у(п=1пх('>, а>=0 или более обширное двухпараметрическое семейство <уш (х(>> а )ч> /а а>,ув О. <уев =!п(х>0 — <3>), а> =О. (18.8) з х Р [ — ~ (х~) — 91 х (х> — в> ], (18.9> с Коэффициенты корреляции г„являются теперь функциями от аю р„(й = 1, р) и задача (18.5) есть задача максимизации по этим параметрам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
