Диссертация (1024744), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Размерности этих векторов равны (m+1).МатрицыD1иD2определяют первую и вторую разностнуюпроизводные соответственно.0 L 0 0 −2 20 1 −2 100−22L0 0 1 −2 1D1 = 0 00 − 2 L 0 , D2 =  0 01 −2L L L L L LL L L L0 000 −2 2010 0LLLL−2000L1(2.5)β Наилучшая в среднем квадратичная линейная оценка вектора f k =  2k  ω 0,k определяется по наблюдению ξ k для каждого k = 2,..., n − m .Для этого полагается, что если наблюдение (2.2) имеет результатомзначение вектора ξ , то условное математическое ожидание вектора D2ν k в (3)равно нулю, условное математическое ожидание случайной матрицы Ak − N kравно Ak = (D1ξ k ξ k ) , где N k = (D1ν k ν k ) , ковариационный оператор вектора60D2ν k равный Λ = σ 2 D2 D2* , ковариационная матрица вектора Ak f k − N k f k равнаWk = (D1ξ kξ k )Fk (D1ξ k ξ k )* ,ϕ 20 где Fk =  k ,1 2  . 0 ϕ k ,2 Выражение для наилучшей линейной оценки вектора βk f k =  2  по ω0,k наблюдению вектора ξ k имеет вид [133]fˆk = Fk Ak* ( Ak Fk Ak* + Tk + Λ ) −1 D2ξ k ,(2.6)где Tk = σ 2 ⋅ ϕ k2,1 ⋅ ( D1 ⋅ D1* ) + σ 2 ⋅ ϕ k2, 2 ⋅ IСогласнопредставленнойматематической(2.7)моделивычислений,погрешность оценки дается матрицей ковариации, равной [134]S k = Fk − Fk Ak* ( Ak Fk Ak* + Tk + Λ ) −1 Ak Fk .(2.8)Элементы ее главной диагонали являются дисперсиями определяемыхвеличин β k и ω02, k соответственно.Показателем достоверности имитационного моделирования являетсясравнение величины rk (ξ ) с числом m точек отсчета, соответствующихвременному интервалу, на котором собственную циклическую частоту икоэффициент затухания можно считать постоянными.Dξ Dξ rk (ξ ) =  ( Ak Fk Ak* + Tk + Λ ) −1 2 2 k , 2 2 k ττ (2.9)***Здесь D2 , (D1ξ k ξ k ) , D1 , Ak* - транспонированные матрицыЕсли rk (ξ ) >> m , то надежность модели низкая, что свидетельствует отом, что на рассматриваемом участке сигнала циклическую частоту икоэффициент затухания нельзя считать постоянными.Решение задачи для случая, когда законы изменения β (τ i ) иω20(τ i )линейны, не представляет принципиальных трудностей.

Наибольший интерес61представляет решение задачи для случая, когда законы изменения β (τ i ) иω20(τ i ) не линейны.Примерыβ (τ i ) = 1 ⋅ (1 + t 2 ) ,имитационногоω0моделированияданыдляслучая(τ i ) = 50(1 − t 2 ) .Рис. 2.2.Результаты наблюдений при восстановлении коэффициента затухания β (τ i ) ,для m = 5 , Eβ k2 = 1Рис. 2.3.Результаты наблюдений при восстановлении собственной циклическойчастоты ω 0 (τ i ) , для m = 5 , Eβ k2 = 100062Рис. 2.4.Графики относительных погрешностей измерений, заданных в %, значенийкоэффициента затухания β (τ i ) и собственной циклической частоты ω 0 (τ i ) приопределении параметров «стареющей» колебательной системыПолученныерезультатыопределенияпараметровкоэффициентазатухания «стареющей» колебательной системы, как видно из Рис.

2.2,плотно сосредоточены относительно исходного значения β (τ i ) , а отклоненияот заданного значения β (τ i ) не превышают величины дисперсии Eβ k2 = ϕk2,1 .Относительная погрешность измерения составляет 10 −2 − 10 −3 %.Полученныерезультатыопределенияпараметровсобственнойциклической частоты «стареющей» колебательной системы, как видно изРис. 2.3, имеют систематическую погрешность, которая устраняетсявведением поправки. Результаты повторяют восстанавливаемое значениеугловой частотыдисперсииω0(τ i ) , а отклонения от него не превышают величины( )2 = ϕk2,2 .E ω02, kсоставляет 10 −3 − 10 −4 %.Относительнаяпогрешностьизмерения63Следует отметить, что в зависимости от закона измененияω 0, kменяется и поведение всей системы. При этом точность решения обратнойзадачи зачастую изменяется в зависимости от скорости измененияпараметров системы β k и ω02, k во времени.Относительная погрешность измерения параметров «стареющей»колебательной системы зависит от шага квантования ∆τ.

При постепенномонотонномуменьшении∆τотносительнаяпогрешностьизмеренияуменьшается, при каком-то значении остается неизменной, но приопределенном пороговом значении ∆τ она резко возрастает, что объясняетсянакоплением погрешности квантования и уменьшением скорости пересчета.При увеличении ∆τ скорость пересчета увеличивается ввиду увеличенияпериода, но при этом теряется часть полезной информации.Данные наблюдения свидетельствуют о том, что погрешность здесьимеет выраженный минимум.Надежность модели rk (ξ ) ≈ 1⋅ 10 4 , ∆τ = 0,0001 с, m = 2.Матрица ковариации равнаЭлементы ее главной диагонали являются дисперсиями определяемыхвеличин β k и ω02, k соответственно.

Разность между истинным значениемизмеряемой величины и измеренным есть погрешность измерения. Любойпроцесс измерения по сути своей есть процесс квантования. В качествекванта выступает минимальная единица измерения, при наличии средстваизмерения - цена деления, в данном примере - величина ∆τ разбиенияинтервала.Погрешностьквантованияявляетсяабсолютнойметодическойпогрешностью, она равна разности между значением непрерывной функциии значением, полученным в результате квантования (определения величины).64На практике удобнее использовать относительную погрешностьизмерения искомой величины, так как она наглядно показывает величинуошибки.Принимаем ∆τ равным тому значению, при котором ∆β(τ) принимаетнаименьшее значение. Из Рис. 2.5 и 2.6 видно, что при неизмененномзначении шага квантования (∆τ = 0,00001 с) относительные погрешностиизмерения β k будут тем меньше, чем меньше σ .Рис.

2.5.Относительная погрешность определения коэффициента затухания придисперсии σ = 0,001Рис 2.6.65Относительная погрешность определения коэффициента затухания придисперсии σ = 0,012.2. Математическое моделирование процесса измерительногоконтроля деградации конструкционного материала упругого элементана примере линейного осциллятораИзвестны случаи, когда упругие свойства материала в процесседлительных циклических нагрузок изменяются гораздо меньше, чемреологические.В связи с этим предлагается математическая модель процессадеградации конструкционного материала упругого элемента (напримерпружины) на примере линейного осциллятора с переменными параметрами, атакже показана возможность наблюдения за изменением его свойств.

[135]Для данного случая уравнение движения осциллятора может бытьпредставлено в виде:&x& + 2β (t ) x& + ω0 2 x = 0 ,(2.10)здесь x - отклонение от положения равновесия, β (t ) - коэффициентзатухания, медленноизменяющийся вовремени,ω0- собственнаяциклическая частота.Известная замена переменной− β ( t )dtx = υ (t )e ∫(2.11)позволяет преобразовать исходное уравнение к видуυ&& + Ω 2 (t )υ = 0(2.12)•где Ω 2 (t ) = ω 0 2 − β 2 (t ) − β (t ) .(2.13)Применение производящей функцииϕ=1mΩ(t )υ 2 ctgQ2(2.14)обеспечивает переход с использованием формализма Гамильтона от66переменных p,υ [119] к каноническим переменным действие – фаза (P, Q)и получить уравнения движения осциллятора в новых переменных [120]:& (t )1ΩQ& = Ω(t ) +sin 2Q2 Ω(t )(2.15)& (t )ΩP& = − Pcos 2QΩ(t )(2.16)где Ω 0 = Ω(t ) t =0 и Ω& 0 = Ω& (t ) t =0 - константы, удовлетворяющие условиям&Ω0Ω02•= ε 2 << 1 , Ω 0 t m << Ω 0 ,0 < t < tm , tm - мерный временной интервал, накотором выполняются условия Ω(t ) ≥ Ω(t m ) ,&Ω=ε2.2ΩСистема уравнений (2.15) - (2.16) описывает поведение линейногоосциллятора с коэффициентом затухания, изменяющимся во времени.

[136]В целях повышения точности в основу измерительного контроляположенпереходотамплитудныхизмеренийкфазо-временным,характеризующим движение линейного осциллятора.Измерительный контроль изменения периода колебаний осцилляторапозволяет зарегистрировать изменение коэффициента затухания, и, какследствие, вязкого трения в материале.Из уравнения (2.15) следует выражение для приращения фазы Q наинтервалах tn −1 , t n :& (t )1 nΩ= ∫ Ω(t )dt + ∫sin 2Qdt2Ω(t)tn −1tn −1tnQn−1,nПри условииt(2.17)&Ω<< 1 справедливоΩ2tnQn−1,n ≅∫ Ω(t )dt(2.18)t n −1Согласно (4),•Ω 2 (t ) = ω 0 − β 2 (t ) − β (t )2(2.19)67•β (t )поскольку 2 < δ 2 << 1 , зависимость β = β (t ) - медленно меняющаясяβ (t )функция времени и при проведении предварительной оценки, можнодопустить, что в пределах одного периода ее изменением можно пренебречь.Тогда:Qn−1,n ≈•ω0 2 − β − β 2 (t n − t n −1 )(2.20)Так как изменение фазы Q за один период происходит на 2π, тоцелесообразно рассматривать соотношение (2.20) последовательно длякаждого периода колебаний.Величина t n − t n −1 = Tn - разница значений временных отсчетов, равная n- ому периоду колебаний.

Оценка для β получается с использованием (2.20) в•пренебрежении β :β2n= ω0 − (2π 2)Tn(2.21)Рис. 2.7.Измеренное и исходное значения коэффициента затухания линейногоосциллятора β, с −168Циклическаячастотасобственныхколебанийосциллятораω0определяется по результатам измерения начального (нулевого) периода.Для оценки приращения β предположим, с учетом (2.21), что:•βn ≈tn −1 , t n -гдеβ n − β n−1t n − t n−1=β n − β n−1(2.22)Tnмоменты прохождения осциллятора через положениеравновесия, отстоящие друг от друга на период;коэффициентазатухания,полученноеизβ n−1- значениепредыдущегоизмеренияполупериода; β n - значение коэффициента затухания, полученное последнимизмерением периода; Tn - значение n-го периода, сек.Величина β n−1 определяется из предыдущего измерения коэффициентазатухания, а начальное значение β 0 - исходя из величины первого периода:β12 = ω 0 2 −4π 2.T 21Таким образом, величина приращения коэффициента затуханияопределяется исходя из наблюдаемых в эксперименте величин,& (t )1 nΩ= ∫sin 2Qdt служит2 tn −1 Ω(t )tВторое слагаемое уравнения (2.17) ∆Qn−1,nпоправкой для изменения фазы колебаний линейного осциллятора.Относительно уточненной зависимости закона изменения фазы отвремени внутри периода колебаний Qn−1,n (t ) , исходя из выражения (2.18),предполагается, что в пределах одного наблюдаемого периода законизменениякоэффициента•затуханияноситлинейныйхарактер•β n = β n −1 + β n −1 (t − t n −1 ) , где β n −1 - производная по времени коэффициентазатухания на (n-1)-ом периоде, t - текущее время, с.Тогда погрешность фазы оценивается выражением:∆Qn−1,n ≅ 2(β 7 2) β Tn t m δ 6ω0(2.23)69tm - мерный временной интервал, на котором выполняютсяЗдесь,условия Ω(t ) ≥ Ω(t m ) ,Как&Ω=ε2.Ω2показалирезультатырасчетовприматематическоммоделировании, погрешность определения фазы Q зависит от коэффициентаβ : чем больше значение β , тем большая погрешность при определении фазыколебаний линейного осциллятора.Построена математическая модель измерительного контроля процессадеградации конструкционного материала упругого элемента линейногоосциллятора.Предполагается,чтопроцессдеградацииматериалаопределяется изменением его внутренней вязкости, что может иметь место вслучае «старения» материала, претерпевшего технологическое воздействие.В основу подхода положено измерение интервалов времени, а неамплитудных характеристик.Применение методов редукции измерений и формализма Гамильтона всочетании с фазохронометрическим методом открывает принципиальноновые возможности исследования свойств конструкционных материалов,оценки технического состояния элементов конструкций, измерение девиацииво времени упругих и реологических свойств деталей машин.Результаты математического моделирования показывают возможностьполучения результатов измерений с относительными погрешностями, непревышающими тысячные, а иногда и менее, доли процентов.2.3.материаловКонтрольвдеградациипроцессепараметровэксплуатациинаконструкционныхосновеизмерительно-вычислительных технологийХарактерной особенностью использования фазохронометрическогоподхода является измерение параметров конструкционных материаловнепосредственно на функционирующих объектах в режиме их непрерывногофункционирования.

Кроме того, полученные результаты могут быть70использованы при проведении фундаментальных исследований эволюцииили деградации свойств материалов (таких как модуль упругости,коэффициент Пуассона и др.).На Рис. 2.8 представлена схема измерений параметров «стареющего»линейного осциллятора в виде струны в дискретные моменты времени τ i .Рис. 2.8.Схема измерения параметров «стареющего» линейного осциллятора в видеструны в дискретные моменты времени τ iСостояниепараметровконструкционныхматериаловоказываетнепосредственное влияние на надежность и безопасность эксплуатацииоборудования машиностроения. Одной из ключевых проблемсозданиесистемпрогнозированиядиагностикиостаточногоиоценкиресурсатехническогоиаварийнойявляетсясостояния,защитыэксплуатируемого оборудования транспортных и энергетических объектов.Важными составляющими при оценке технического состояния и продлениисрока безопасной работы, включая расчеты остаточного ресурса, являются71обследование деформационного состояния элементов конструкций, замерыостаточных деформаций, оценка текущего состояния материала.

Характеристики

Список файлов диссертации