Главная » Просмотр файлов » Конспекты лекций по дискретной математике

Конспекты лекций по дискретной математике (1023563)

Файл №1023563 Конспекты лекций по дискретной математике (Конспекты лекций по дискретной математике)Конспекты лекций по дискретной математике (1023563)2017-07-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)

Лекции по


1 курс

Москва 2000

Лекция 1

Множество. Алгебра множеств.

Введем обозначения.

R – множество действительных чисел.

X e R – элемент X принадлежит множеству R.

Равные множества – множества, состоящие из одинаковых элементов.

A = B – множество А равно множеству B.

0 – пустое множество.

A<= C – Множество А является подмножеством множества С.

Если А не равно С и А <= C, то А < С. (строго).

Если A <= C и C <= А, то А = С.

Пустое множество 0 является подмножеством любого множества.

Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть n – число элементов данного множества А. Это число называется мощностью данного множества.

У множества рациональных чисел мощность является счетной (т.е. все элементы можно пронумеровать).

У множества иррациональных чисел мощность – континиум. Обозначается (С).

Основное правило комбинаторики (показано на примере)

Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.

Аналогично с множествами

U = {a1,a2… an-1, an}

Пусть U = {a1, a2, a3}

Выпишем множество всех подмножеств множества U.

P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}.

Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.

Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2n.

Операции над множествами

  1. Объединение множеств (A U B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А ИЛИ множеству В.

  2. Пересечение множеств (A n B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В.

  3. Дополнение множества А. (С = А ) – не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А.

Свойства операций над множествами.

  1. A U B = B U A – коммутативность

. A n B = B n A

  1. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C – ассоциативность.

  2. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) – дистрибутивность.

  3. Поглощение A U A = A, A n A = A.

  4. Существование универсальных границ.

А U 0 = A

A n 0 = 0

A u U = U

A n U = A

6. Двойное дополнение

A = A

7. A U A = U

A n A = 0

8. Законы двойственности или закон Де – Моргана

(AUB) = A n B

(AnB) = A U B





Пересечение множеств

Объединение множеств

Дополнение множества



Лекция 2

Теория булевых функций. Булева алгебра.

Определение.

Множество M с двумя введенными бинарными операциями (& V), одной унарной операцией (*) и двумя выделенными элементами называется булевой алгеброй, если выполнены следующие свойства (аксиомы булевой алгебры). Названия операций пока не введены.

  1. X & Y = Y&X, X V Y = Y V X – коммутативность.

  2. (X & Y) & Z = X & (Y & Z), (X V Y) V Z = X V (Y V Z) – ассоциативность.

  3. (X V Y) & Z = (X & Z) V (Y & Z), (X & Y) V (Y & Z) = (X V Z) & (Y & Z) – дистрибутивность.

  4. Поглощение – X & X = X, X V X = X.

  5. Свойства констант

X & 0 = 0

X & I = X, где I – аналог универсального множества.

  1. Инвальтивность (X*)* = X

  2. Дополнимость X V X* = I, X & X* = 0.

  3. Законы двойственности – (X & Y)* = X* V Y*, (X V Y)* = X* & Y

Булева алгебра всех подмножеств данного множества.

U = {a1, a2… an)

[U] = N

[P(U)] = 2n

Легко показать, что свойства операций над множествами совпадают со свойствами (аксиомами) булевой алгебры. То есть, множество P(U) с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй.

Oбъединение эквивалентно V, пересечение - &, дополнение - *, пустое множество – 0, а универсальное – I.

Все аксиомы булевой алгебры справедливы в операциях над множествами.

Булева алгебра характеристических векторов.

Пусть A <= U, A <- P(U) - характеристический вектор этого подмножества.

A = {, 2 ..n)

n = [P(U)]

i = 1, если ai <- A (принадлежит).

i = 0, если ai не принадлежит A.

U = {1 2 3 4 5 6 7 8 9}

A = {2 4 6 8}

B = {1 2 7}

A = {0 1 0 1 0 1 0 1 0}

B = {1 1 0 0 0 0 1 0 0}

или

A = 010101010 – скобки не нужны

A= 110000100

Характеристические векторы размерностью n называются булевыми векторами.

Они располагаются в вершинах n – мерного булева куба.

Номером булевого вектора является число в двоичном представлении, которым он является

1101 – номер.

Два булевых вектора называются соседними, если их координаты отличаются только в одном разряде (если они отличаются только одной координатой).

Совокупность всех булевых векторов размерности n называется булевым кубом размерностью Bn.

Б

0 1

улев куб размерности 1

Булев куб размерности 2


00

01

10

11


Б улев куб размерности 3

001

011


111


101


000

010


100

110


0 – нулевой вектор.

I

Логическое умножение

– вектор из одних единиц.


Логическое сложение

XY

X&Y

X V Y

00

0

0

01

0

1

10

0

1

11

1

1

Отрицание

X = 0 Y = 0

_ _

Х = 1 Y= 1

Для размерности n операции над векторами производятся покоординатно.

Логическая сумма двух векторов – вектор, координаты которого являются логическими суммами соответствующих исходных векторов. Аналогично определено произведение.

Утверждение

Между множеством всех подмножеств множества U и булевым кубом Bn, где n= =[U] можно установить взаимное соответствие, при котором операции объединения множества соответствует операции логического сложения (их характеристических векторов), операции пересечения множеств соответствует операция логического умножения их характеристических векторов, а операции дополнения – операция отрицания. Пустому множеству соответствует нулевой вектор, а универсальному – единичный.

Следствие

Множество всех характеристических векторов является булевой алгеброй.

Булева алгебра высказываний (алгебра логики)

Высказыванием об элементах множества U называется любое утверждение об элементах множества U, которое для каждого элемента либо истинно, либо ложно.

U = {1 2 3 4 5 6 7 8 9}

A = «число четное»

B = «число, меньшее пяти»

Множеством истинности высказывания называется совокупность всех элементов, для которых это высказывание истинно.

SA = {2 4 6 8}

SB = {1 2 3 4}

Высказывание, для которого множество истинности пусто, называется тождественно ложным, а для которого SB = U называется тождественно истинным.

Высказывания, для которых множества истинности совпадают, называются тождественными или равносильными.

Равносильные высказывания объединим в один класс Р.В. и не будем их разделять, т.к. все они имеют одно и то же множество истинности.

Операции над высказываниями

Дизъюнкция высказываний (V, ИЛИ, OR)

Дизъюнкция высказываний – высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний.

Конъюнкция высказываний (&, И, AND).

Конъюнкцией высказываний называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны все высказывания.

Отрицание высказываний (- над буквой, НЕ, NOT).

Отрицанием высказывания называется высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно.

A B

A & B

A V B

Not A

Л Л

Л

Л

И

Л И

Л

И

И

И Л

Л

И

Л

И И

И

И

Л

Л – ложно.

И – истинно.

Утверждение (основа всей алгебры логики)

Между множеством всех классов эквивалентных высказываний об элементах множества U и множеством P(U) можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором операция дизъюнкции высказываний соответствует операции объединения множеств истинности, а конъюнкция соответствует операции пересечения. Операция отрицания соответствует операции дополнения.

Следствие. Множество классов эквивалентных высказываний является булевой алгеброй.

Теорема

Существуют 3 булевых алгебры:

  1. P(U)

  2. Bn

  3. Множество классов эквивалентных высказываний.

Три булевых алгебры являются изоморфными, если между их элементами можно установить такое однозначное соответствие, при котором операции сохраняются.

Договоримся конъюнкцию обозначать точкой (как знак умножения в алгебре чисел). Конъюнкция выполняется раньше дизъюнкции (аналог выполнения операций сложения и умножения в алгебре чисел).

Лекция 3

Определение и способ задания булевых функций

Булевой функцией от n аргументов называется однозначное отображение n – мерного булева куба на одномерный булев куб.

Способы задания функций

  1. Табличный

X1 X2 X3 … XN

F(X)

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1

n

значение функции от данных аргументов.

Порядок возрастания векторов по мере возрастания их номеров называют лексикографическим.

  1. Векторный

F = (n)

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
253,5 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее