AOP_Tom2 (1021737), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Лейбница (О. 1У. Ье1Ъп>г) Мешо!гез де !'Асадеш!е Но>а!е г(ез Яс!епсеэ (Рапз, 1703), 110 — 116, в которой были описаны сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе, действительна привлекла к этой системе всеобщее внимание, и именно на эту статью ссылаются, говоря о рождении арифметики па основанию 2. Лейбниц и в дальнейшем очень часто обращался к двоичной системе счисления. Он не рекомендовал ее для практических вычислений, однако подчеркивал важность этой системы в теории чисел, так как закономерности поведения числовых последовательностей часто гораздо легче усмотреть в двоичной записи, чем в десятичной.
Он также вкладывал некий мистический смысл в тот факт, что все в мире можно выразить с похющью нулей и единиц. Неопубликонанные работы Лейбница показывают, что он интересовался двоичной системой счисления еще в 1679 году, когда ссылался на нее как на систему "Ъппа!" (аналогично "десятичной" ).
Подробное исследование ранних работ Лейбница по двоичным числам выполнено Гансом Й. Захером (Напк 3. Еасйег) в работе Р!е НаиргзсЬпйеп яиг Вуаг(!)г гоп О. Рг'. 1е!Ьп!я (РгапЫцгг аш Маш: К1озгегшапп, 1973). Захер отмечал, что, предложив способ вычислений при помощи камней, ориентированных на использование абаки по основанию 2, Лейбниц стал близок к так называемой "локаль- ной арифметике" Джона Непера. Непер в 1617 году опубликовал идею локальной арифметики в приложении к своей маленькой книге ВЬаЫо!о8!а. Эта идея может трактоваться как первая в мире "двоичная машина", тем более что она была самой дешевой машиной в мире, хотя Непер и чувствовал, что это не машина, а, скорее, игрушка. (См. обзор Мартина Гарднера (Магг!п Оагс1пег) Кпоггег! ВопяЛпигэ аиг! Огйег МагЛетас!са! Епгег!аттепгя (Хек Ъогйп Ргеегпап, 1986), гл.
8.) Интересно отметить, что в то время важная концепция отрицательных степеней числа справа от разделяющей точки еще не была по-настоящему осознана. Лейбниц попросил Якова Бернулли (Лашеэ Вегпон11!) вычислить х в двоичной системе счисления, и Бернулли решил задачу. Он вычислил 35-значное приближение к я, умножил его на 10э", а затем, выразив полученное целое число в двоичной системе счисления, получил искомый ответ! Для меньшего масштабного множителя это рассуждение выглядело бы как я - 3.14, а (314) ш = (100111010)ел следовательно, я в двоичной системе счисления равно 100111010! (См.
Ье1Ьп1г, МагЬ. Бсйг!Веп, ег!!гег! Ъу К. ОеЬгЬагнг, 3 (На!!е, 1855), 97; из-за ошибок в вычислениях два из 118 бит в ответе неверны.) Бернулли, скорее всего, выполнил эти вычисления, чтобы в таком представлении числа я выявить какие-либо простые закономерности. Шведский король Карл ХП, математический талант которого, возможно, превосходил таланты всех остальных королей в мировой истории, около 1717 года увлекся восьмеричной арифметикой. Скорее всего, это было его собственное изобретение, хотя он и встречался с Лейбницем в 1707 году. Карлу казалось, что основание 8 или 64 было бы более удобным для вычислений, чем 10, и он собирался ввести восьмеричную систему в Швеции, но погиб в битве, так и не успев провести эту реформу. (См.
Сочинения Вольтера (Ъо!еа!ге) 21 (РаНэ, Е. Н. ОнМоп1, 1901), 49; Е. Бпес1епЬог8, Оепс!ешап'э Ма8аг!пе 24 (1754), 423-424,) Восьмеричная система счисления была также предложена в Американских коланиях Хью Джонсом (Нн8Ь 3опеэ), профессором колледжа "Уильям и Мэри" около 1750 года (см. Оегг!!ешап'э Майагте 15 (1745), 377-379; Н. 11. РЬа3еп, АММ 56 (1949), 461 — 465). Спустя столетие выдающийся американский инженер, швед по национальности, Джон ьгистром (1оЬп %. Хуэггош) решил сделать еще один шаг в развитии идей Карла ХП и предложил полную систему нумерации, мер и весов, основанную на шестнадцатеричной арифметике.
Он писал: "Я не боюсь и не колеблюсь выступить в защиту двоичной системы в арифметике и метрологии. Я знаю, на моей стороне природа; если мне не удастся убедить вас в ее полезности и чрезвычайной важности для человечества, это не сделает чести ни нашему поколению, ни нашим ученым и философам". Нистром разработал специальные правила произношения шестнадцатеричных чисел; например, (00160)ьэ следовало читать как "вибонг, бнсантон" (чуЬопй, Ьуэапгоп). Полная система была им названа тональной и описана в Х Ргап!г!!и 1пэг. 46 (1863), 263-275, 337 — 348, 402 — 407. Аналогичная система, но использующая основание 8, была предложена Альфредом Б. Тэйлором (А1!ген В.
Тву!ог) и описана в Ргос. Агнес. РЬагтасеиВса! Аэяос, 8 (1859), 115 — 216; Ргос. Ашег. РЬ!!оэорЫса! Бес. 24 (1887), 296-366. Со времен Лейбница двоичная система счисления становится хорошо известной диковинкой, и Р. К. Арчибальд (Н. С. АгсЬ!ЬаЫ) собрал более 20 посвященных ей ранних работ [АММ 25 (1918), 139 — 142). Она применялась, главным образом, для вычисления степеней, как будет объяснено в разделе 4,6.3, а также при анализе некоторых игр и головоломок. Джузеппе Пеано (С!цверре Реапо) использовал двоичную систему как базис "логического" алфавита из 256 символов [Асс! с!е!)а Я. Ассаг(ет!и г)е)!е Бс!еггге г(! Тапио 34 (1898), 47 — 55[. Джозеф Боуден (3оверЬ Возег)еп) предложил систему обозначений для шестнадцатеричных чисел [прес!а! Тор)св т ТЛеагейсв! АНйтеНс (Саге)еп С!!у, 1936), 49[.
В книге Антона Глэйзера (Апсоп 6!авег) Н!я!огу оу Втагу апг! О!Лег Яопг!есина! Хишегас!оп (Ьов Апбе!ев: ТогпавЬ, 1981) приведена подробная информация и практически исчерпывающий анализ развития двоичной системы, включая перевод на английский язык многих работ, процитированных выше (см. Н!ягог!а Май. 10 (1983), 236 -243). Большинство современных числовых систем связано с развитием вычислительных машин. Из заметок Чарльза Бэббиджа (СЬаг!ев ВаЪЬайе) 1838 года понятно, гго он задумывался над использованием в своей аналитической машине недесятичных чисел (см. М.
У. 11!г!!Лев, Никола Май. 4 (1977), 421). Повышенный интерес к механическим устройствам для выполнения арифметических операций, особенно умножения, побудил в 30-х годах ряд исследователей обратить внимание на двоичную систему. Прекрасный отчет аб этих исследованиях вместе с записью дискуссии, состоявшейся после прочитанной им на данную тему лекции приведен в статье Э.
Уильяма Филлипса (Е. Ж!!!!аш Р16!!грв) иДвоичные вычисления" [,!оигпа! оЕ йе 7гзвв!Сиге о7 Ас!палев 67 (1936), 187 — 22Ц. Филлипс начал статью словами "Конечная цель (этой статьи) состоит в том, чтобы убедить весь цивилизованный мир отказаться от десятичной нумерации и заменить ее восьмеричной". Современные читатели статьи Фнллипса, возможно, будут удивлены, обнаружив, что система счисления по основанию 8 называлась в то время в соответствии со всеми словарями английского языка иосвопагуе или иос!опаГ, точно так, как система па основанию 10 называлась ибепагуи или обесппаГ.
Слово Уосса1и появилось в английском языке только после 1961 года, причем первоначально, скорее всего, как термин для описания конструкции цоколя определенного класса вакуумных электронных ламп. Слово "Ьехаг)ес!шаГ, которое вкралось в английский язык еще позже, представляет собой смесь греческого и латинского корней. Более корректными терминами должны были быть либо "веп!г)епагу", либо ивег!есина!", либо даже "вехаг)ес!гпаГ, но последний, пожалуй, для программистов звучал бы слишком рискованно. Высказывание Ф. Х. Уэйлса, приведенное в качестве одного из эпиграфов к этой главе, извлечено из записи дискуссии, опубликованной вместе со статьей Филлипса. Другой слушатель лекции указал на неудобства восьмеричной системы для деловых целей: 5% "превращается в 3.1463 рег 64, что звучит довольно ужасно" *.
Филлипса вдохновила возможность реализации его идей в устройствах, работающих на электронных лампах и способных выполнять вычисления в двоичном коде [С. Е. Жупп-1У!!!!ашв, Ргас. Яоу. Бос. Ьопг)огз А136 (1932), 312 — 324]. Во второй половине 30-х годов Джон В. Атанасофф (ЯоЬп Ч. А!авива(Г) и Джордж Р. Штибитц (Сеаг8е В. Бс!Ь!св) в США, Л, Куффигнал (Ь. Соц!68па!) и Р. Валга (В. гв!!а!) во Франции, а также Гельмут Шрейер (Не!пшь асЬгеуег) и " Поскольку елово "процент" ии английском языке пишется кик "рег сепр' (от лэт, "рег сепгпш"), и "сепг" (!00) эеменнетсн числом В4.— Прим, нерее.
Конрад Цузе (Копгас! Ецэе) в Германии разработали первые электромеханические и электронные машины для выполнения арифметических операций. Все они использовали двоичную систему счисления, хотя позже Штибитц разработал и двоичный код ис избытком 3" для десятичных цифр. Обобщенный обзор этих ранних достижений, включая переводы и копии наиболее значимых современных документов, содержится в книге Впап Напбе!1 Т!зе, Ог!я!пя ау О!6!са! Сошрнгегэ (Вегйп: ЯрНпбег, 1973).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
