AOP_Tom2 (1021737), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(Как отмечалось в ~лаве 1, слово "алгоритм" произошло от его имени.) Книга аль-Хорезми была переведена на латынь и оказала значительное влияние на Леонардо Пизано (Фибоначчи) (Ьеопагбо Р!эапо (Г!Ьопасс!)), чья книга по арифметике (1202 г.), в свою очередь, .сыграла решающую роль в распространении индо-арабских методов работы с числами в Европе. Интересно отметить, что в результате такого двойного перевода порядок записи чисел (слева направо) не изменился, хотя арабы пишут справа налево, а индусы и европейцы — слева направо.
Подробно процесс распространения десятичной нумерации и арифметики по всей Европе с 1200 по 1600 год описан в книге Ваг!6 Епбепе 8ш!1Ь Нппогу оГМа1Ьетапсэ 1 (Воэ1оп: С!пп ап6 Со., 1923), гл. 6 и 8. Вначале десятичная система счисления применялась только к целым числам (для операций с дробями она не использовалась). Арабские астрономы, которым для составления карт звездного неба и других астрономических таблиц приходилось применять дроби, продолжали пользоваться системой знаменитого греческого астронома Птолемея, основанной на шестидесятеричных дробях. Эта система единиц— рудимент шестндесятеричной системы вавилонян — дожила до наших дней и используется для измерения угловых градусов, минут и секунд, а также для некоторых единиц измерения времени.
Использовались первыми европейскими математиками и шестидесятеричные дроби, когда приходилось иметь дело с нецелыми числами. К примеру, Фибоначчи приводил значение 1' 22' 7" 42сл 33ге 4' 40" в качестве приближенного корня уравнения тз -ь 2хз+10х = 20. (Правильный ответ: 1' 22' 7" 42гл 33'~ 4' 38"' 30гп 50еш 15'» 43 ) Кажется, не так уж много нужно изменить, чтобы использовать десятичные обозначения для десятых, сотых и других угловых и временных параметров, но, конечно, ломать традиции всегда трудно, тем более что шестидесятеричные дроби имеют преимущество перед десятичными дробями в том, что такие числа, как —, 1 могут быть записаны точно и просто.
Китайские математики — кстати, никогда не пользовавшиеся шестидесятеричной системой, — вероятно, были первыми, кто стал работать с величинами, эквивалентными десятичным дробям, хотя их числовая система (без нуля) и не была в строгом смысле позиционной. Китайские единицы мер и весов были десятичными, так что Цзу Чун-Чи (умер в 501 г.) смог аппроксимировать число я в следующем виде: 3 чана, 1 чжи, 4 цуня, 1 фзн, 5 ли, 9 хао, 2 мяо, 7 ху. Здесь чан, ..., ху — единицы длины, 1 ху (диаметр шелковой нити) равен 1/10 мяо и т. д. Использование дробей, столь похожих на десятичные, получило в Китае довольно широкое распространение после примерно 1250 года.
Начальная форма истинно десятичных дробей появилась в 10 веке в трактате по арифметике, написанном в Дамаске неизвестным математиком, который подписался именем валь-Уклидиси" (последователь Евклида). Он ввел обозначение места размещения десятичной точки, в частности в связи с проблемой умножения 135 на (1.1)п для 1 < и < 5.
(См. А. Я. БаЫап, Тйе Аг!йшейс оГ а1-СдЫ7зу (Погг(гесМ: П. Не!Йе!, 1975), 110, 114, 343, 355, 481-485,) Но аль-Уклидиси не развил идею до конца, и его трактат вскоре был забыт. Из датированного 1172 годом трактата аль-Самайяля, который жил и работал в Багдаде и Баку, следует, что ему был известен способ вычисления ъ710 = 3.162277..., но он не нашел подходящего способа записи результата. Через несколько столетий десятичные дроби были заново открыты арабским (среднеазиатским) математиком аль-Каши, умершим в 1429 году*. Аль-Каши был весьма искусен в выполнении всяческих вычислений и нашел следующее значение для 2и, содержащее 16 правильных десятичных знаков. Дроби Целые 0 6 2 8 3 1 8 5 3 0 7 1 7 9 5 8 6 5 Это было наилучшее приближение к и до тех пор, пока Лудольф ван Цейлен (Ьнг!о!р!г 1ап Сен!еп), выполнив в течение 1596 — 1610 годов огромный объем работ, не вычислил 35 десятичных знаков.
Самый ранний пример операций с десятичными дробями в Европе обнаружен в одном тексте, написанном в 15 веке, где, например, 153.5 умножается на 16.25 и в ответе получается 2494.375. Используемый при атом метод был назван "турецким". В 1525 гаду Кристоф Рудольф (С!7г!зго! Ннг(о)!Г) из Германии самостоятельно открыл десятичные дроби, но, как и работа аль-Уклидиси, его работа осталась практически незамеченной. Франсуа Виет (Ргапчо!з У!еде) зту идею высказал снова в 1579 году. Наконец, в 1585 году приобрел популярность трактат по арифметике, написанный Симоном Стевином (Бнпоп Яееу!и) из Бельгии, который самостоятельно пришел к идее десятичных дробей. Работа Стевина и последовавшее вскоре открытие логарифмов привели к тому, что в течение 17 века десятичные дроби стали общепринятыми повсюду в Европе.
[Подробности и ссылки на литературу можно е В ВСЭ приведен другой год смерти — около 1436-1437. — Прим. нерее. найти в книгах Р. Е. Ят!СЬ, Нсвгогу ауМаСЛеспагссв 2 (Воз!оп: О!пп апй Со., 1925), 228-247, и Ч. 3. Касс, А Нгзсогу оГ МасЛетаС1св ( чеп Уогй: НагрегСо1!шв, 1993).! Двоичная система счисления имеет собственную интересную историю. Известно, что многие племена, ведущие в наше время первобытный образ жизни, используют двоичную, или парную, систему счета (группирование по два, а не по пять или десять), но было бы ошибкой утверждать, что они действительно считают в двоичной системе, так как при этом степени двойки никоим образом не выделяются. Интересные подробности о примитивных числовых системах можно найти в статье АЬгаЬагп ЯеЫепЪегй ТЛе Рсйивсоп ог' Саигссшб Ргасбсев (лнч.
аС' Сас)б Рибй 1п МаСЛ. 3 (1960), 215-300. Другой "примитивный" пример двоичной системы— музыкальная нотация (для обозначения ритма и длительности нат). В 17 веке предметом обсуждения в Европе были недесятичные системы. В течение многих лет астрономы от случая к случаю использовали шестидесятеричную арифметику как дня целых, так и для дробных частей чисел, главным образом, при выполнении умножения (см.
ЛоЬп %а!!!в, Тгеасгве о1 А18еЪга (Ох(отсс, 1685), 18 — 22, 30). Тот факт, что любое целое, большее 1, может служить основанием для системы счисления, впервые опубликован около 1658 года Блезом Паскалем (В!шве Равса!) в Ре Хитегсв Ми!Сср11ссбив. !См. полное собрание сочинений Паскаля СЕичгев Сотр!еСев (Раг!в: Ес(!С!опв с1и Яеи!1, 1963), 84 — 89.) Паскаль писан: 'Репапа еппп ех !пвйСиго Ьопппшп, поп ех песевв!СаСе пагигш иС чи!8ив агЪ!Сгагиг, еС вапе ваС!в !норге, ровйа евг", т.
е. "Десятичная система построена довольно неразумно, в соответствии с человеческими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей". Он утверждал, что было бы желательно перейти к двенадцатеричной (по основанию двенадцать) системе, и предложил правило проверки делимости двенадцатеричного числа на 9. Эрхард Вайгель (ЕгЬагс( Рйе!8е!) в ряде публикаций начиная с 1673 года пытался пробудить интерес к четверичиой (по основанию четыре) системе счисления. Подробное обсуждение арифметики по основанию двенадцать было проведено Джошуа Джордэйном (Лов!ша Зогба!пе) в работе Риог1есста1 АНсЛтес!сЛ (Ьопс(оп, 1687). Хотя в арифметике иа протяжении всей этой эпохи применялась почти исключительно десятичная система счисления, системы мер и весов редко основывались (если вообще основывались) на кратности десяти, и для ведения многих торговых операций требовалась изрядная доля умения складывать величины наподобие фунтов, шиллингов и пенсов.
Поэтому на протяжении столетий купиы учились складывать и вычитать величины, выражаемые специфическими денежными единицами, единицами мер и весов, а это фактически была арифметика в недесятичной системе счисления. Особого внимания заслуживают, в частности, основные единииы измерения объема жидкости в Англии, установившиеся еще в 13 веке или даже раньше.
2 джипа = 1 полуштоф 1 пинта 2 полуштофа = 2 пинты = 1 кварта 1 потл 2 кварты = 2 потна = 1 галлон 2 галлона = 1 пек 2 пека 2 полубушеля 2 фиркина 2 килдеркина 2 барреля 2 хогсхеда 2 пайпа 1 полубушель 1 бушель или фиркнн 1 килдеркин 1 баррель 1 хогсхед 1 пайп 1 тан Объемы жидкости, выраженные в галлонах, потлах, квартах, пинтах и т. д., по существу, записывались в двоичной системе. Быть может, подлинными изобретателями двоичной арифметики были английские виноторговцы! Насколько сейчас известно, впервые чисто двоичная система счисления появилась в 1605 году в нескольких неопубликованных работах Томаса Хэрриота (ТЬошав Нагг>ос) (1560 — 1621).
Хэрриот был личностью творческой и приобрел известность по прибытии в Америку в качестве представителя сэра Уолтера Рэлея (Жа!гег Ва(е>8Ь). Он изобрел (среди всего прочего) символы для обозначения отношений "меньше" и "больше", используемые и ныне, но по некоторым соображениям предпочел не публиковать большинство своих открытий. Выдержки из его заметок по двоичной арифметике воспроизведены Джоном У. Ширли (ЛоЬп %.
Яййг1еу) в журнале Атег. Х РЪув!св 19 (1951), 452 — 454. Впервые заметки Хэрриота относительно двоичной системы были процитированы Марли (Мог!еу) и появились в журнале ТЬе Яс!егм!бс Мопгй!у 14 (1922), 60 — 66. Первый опубликованный анализ двоичной системы появился в работе испанского священника Хуана де Карамюэля Лобковица (3нап бе Сагашпе1 ЬоЪЬоьт>гг) Майез!в В!сера 1 (Сагпрап!ж, 1670), 45-48. Карамюэль рассмотрел представление чисел в системах по основаниям 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 10, 12 н 60, но не привел никаких примеров арифметических операций в недесятичных системах, кроме шестидесятеричной системы. Наконец, статья Г. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
