AOP_Tom2 (1021737), страница 180
Текст из файла (страница 180)
1о34 2 = -'.] 6. По индукции и согласно упр. 5 Рг(Я„(п) для некоторого з, 1 < / < Ь) = ) Рг(51(п)). Когда Ь -э оо, последняя является монотонной последовательностью, ограниченной 1, так что она сходится и Рг(51(п) для некоторых / > 1) > ) Р!'(52(п)) для всех Ь В качестве контрпримера. показывающего, что равенстяо будет не всегда, не трудно устроить так, что 52 (и) будет всегда нерио для иеквглврмх 1, однако Рг(о! (и)) = О для всех 1. 7. Пусть р, = 2,>, Рг(5,„(п)). Результат предыдущего упражнения можно обобщить так; Рг(5,(п) дли некоторого у > 1) > 2,>г Рг(5,(п)) для любит, непересекающихся утверждений 5,(п). Так что получим 1 = Рг(5ч(п) для некоторых гс,у > 1) > 2,>г Рг(5о(п)для некоторого / > 1) > 2 г>, р, = 1 и, следовательно, Рг(5, (и) для некотоРого У > 1) = Р,.
Зададим с > 0; пУсть 1 достаточно велико, так, что 2., г Р, > 1 — с. Пусть ф,(Х) = (число и < Х с 5б (и) справедливых для некоторого / > 1)/гг'. Очевидно, что 2",', ф,(угг) < 1, и для всех достаточно больших Ж получим ) г ф,(1г") > р, — с; следовательно, фг(Х) < 1 — фг(Х) — " — фг(гг) < 1 — рг — — рг + с < 1 — (1 — с — рг)+ с = рг+ 2с. Это доказывает что Рг(5г (и) для некоторого у > 1) < рг+2с. Значит, Рг(5м(п) для некоторого / > 1) = рг и требуемый результат получается для г = 1.
Из симметрии гипотез следует, что ан справедлив для любого значения г. 8. Сложите вероятности для /, ! + 4, 1 + 24, ..., гп -ьу — 4 в определении Е. 9. !ппэпр„(а +6„) < !!пгввр„„ьа„-Ь !!щвор„, 6; отсюда найдем, что !пи вор((рг — а) + + (р „— о) ) < юог — 2юог +.пгог = О. и это может происходить только тогда, когда каждая (р,„— а) стремится к пулю, 10. В оценке суммы в равенстве (22). 11 (Ррг ) 1с-распределена, если (1ь,) (2, 2й — 1)-распределена. 12. Примените теорему В с /(хг,..., хь) = [п < игах(хп..., хь) < с[. 13.
Пусть рг = Рг(с Г„начинается серия длиной )г — 1) = !гг(С.-~ б [ "5), ~'- Ф [ "5), ", ('-т — Ф [ "/1): П + — б [* 5)) =р'(! — р)' ' Остается преобразовать это выражение в вероятность того, что /(и) — /(и — 1) = 1с. Пусть иь(п) = (число у < и с /(/) — /(1 — 1) = 1с); пусть рь(п) = (чишю у < п с 61 началом серии длиной к — 1) и пусть р(п) также равно числу 1 < / < и с Гг Е [а ..
Д). Получим дг(/(и)) = иь(п), 1г(/(гг)) = и. Когда и -+ сю, мы должны получить /(и) — г са. Следовательно, пь(гг)/и = (рь(/(и))//(и)) ' (/(и)/р(/(и))) -э рь/р = р(! — р)» [Здесь используется только тот бгакт, что последовательность (к + 1)-распределена.) 14. Пусть рь = Рг(11„начало серии длиной к) =Рг(П„, г >!',; «П .г-г >(Г ь) =„.„,(("; )(", и", и',")-) й )с+1 ()с т 1)! (к + 2)! (см. упр.
З.З.2-13). Сейчас поступим, как в предыдущем упражнении, чтобы преобразовать это выражение в Рг(/(и) — /(и — 1) = )с). [Только нужно предположить, что последовательность (1с + 2)-распределенная.) 15. Пусть для г, ! > 0 р,)=Рг(хч 11 — г=л„гт г)ьх -гт 1Ф .Фх )их,= =х ь*тьхяь ы) 2 — т — гт — г для ! > 0 пусть 9~ = Рг(Л„гт — г = Х г, 1 ~ -- ф Х„-1) = 2 ' '. Согласно Упр. 7 Рг(Х не начало множества кУпонов) = 2 1>о 91 = з! г Рг(Х„начало иножества купонов длиной г + 2) = ~„>о рм = г 2 ' Поступим, как в упр, 13. 19. (Решение Р. П.
Стенли (В. Р. Бгап!еу).) Всякий раз, когда появляется подпоследовательность о = (Ь вЂ” 1), (Ь вЂ” 2), ..., 1, О, О. 1, ..., (Ь вЂ” 2), (Ь вЂ” 1), множество купонов должно закончиться в правой части Я, так как некоторое множество купонов находится полностью в первой половине 5. Вычислим вероятность того, что множество купонов начинается с позиции и, используя вероятность, что последнее предшествующее появление Я произошло на позиции и — 1, п — 2 и т.
д., как в упр. 15. 18. Поступите, как в доказательстве теоремы А, чтобы вычислить Рг и Рг. 19. (Решение Т. Герцога (Т. Неггоб).) Да. Например, примените упр. 33 к последовательности ((/(„(г) ), когда (К,) удовлетворяет определению В4 (или даже его слабой версии). 20. (а) 2 и —. (Когда и возрастает, разделяем („ пополам). 1 (1) (Ь) Каждая новая точка разделяет один интервал на две части, Допустим, р равно П)Ю11 О((П + Л) !( )1). Тогда 1 = 2 ", !(1 < 2 '„' 1 !( )„< 2 ь ' Р/(тт+ Л) = р !и 2+ О(1/и). Так что для бесконечного множества тп выполняется та! > 1/!п2+ О(1/тп).
(1) " (с) Чтобы проверить указание, предположии, что ! „выбирается из интервала с (1) конечными точками О„и Ьты, и положим аь = шах(тп — п,т' — п,1). Тогда, если р = Пнлг„" „<1 та!Ы ), 1 = 21" 1 !() > 2 г" 1 р/(и+ аг) > 2р2,", 11/(П+ Л); СЛЕдаеатЕЛЬНО, 2р < 1/(Нг — Нь) = 1/!и 2+ О(1/и). (Й) Мы получим (1„'),..., 1,(," ) = (!8 аЛ),!8 вЗ~г,...,!8 г",), так как (и+ 1)-я точка всегда делит наибольший интервал на интервалы длиной !8 ~"~' и !8 ~„"~~.
[1пт(аяагтапсз Ма(Л. 11 (1949), 14 — 17.) 21. (а) Нет! Мы получим Рг(И'„< -') > !пизпр „и((2Я '(~1)/!2" '(~1 = 2 — )/2 и Рт(И' < -') < !(ш)п1„~~ и(2")/2" = 1/2 — 1, поскольку тт()2" ' ~!) = и(2") 1ч-™ (21~1)г' 21)+О(„) (Ь,с) Си. 1пт(айаг)опоя Магй. 40 (1978), 527-541. 22. Если последовательность Л-распределена, то предел равен нулю согласно ~еореме В и значению интеграла. Обратно, заиетим, что если /(х),, хь) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье а(с),...,сь) ехр(2гн(с1хт + + сьхь)), /(х),..., хь) = -се<с!... 1<ьг та МЫ ПОЛУЧИИ !!Шд-т,тт ф 2, „<, /(6~,..., Н ЬЬ 1) = а(0,..., 0) + Е„ГДЕ (е,) < ~ )а(с(,...,сь)), «тьх((тт(,...,)сг()) так что <, можно гделать произвольно иалым.
Следовательно, предел равен Г' Г1 а(0,...,0)=/ "/ /(х),...,хь)т(хт...т(хь о о и (8) выполняется для всех достаточно гладких функций 7. Осталось доказать, что функцию в (9) можно аппроксимировать гладкими функциями с любой требуемой точностью. 23. (а) Немедленно спецует нэ упр. 22. (Ь) Аналогичным путем используйте дискретное преобразование Фурье; см. П. Е. КппсЛ, АгИАг 75 (1968), 260 — 264. 24. (а) Пусть с — любое не равное нулю целое число. Покажем согласно упр. 22, что к-г 1 — е '" "-+О при Аг-гоп.
Аг =о Это выполняется потому, что если К вЂ” любое положительное целое число, то получим „егем "+' = К 2„„Со е ~" " + 0(К ). Следовательно, по неРавенствУ Каши 3 л- к- А К """ = '' ° К К """' +О( — ) к-г к — г 2 < —., ~ ~~ ег""г" " +О( — ) г=о о=о к — г ~ о<г<ь<к =о (Ь) Когда г1 = 1, то из упр. 22 следует, что ((ага<гав) пнк1 1) равнораспределена тогда и только тогда, когда аг — иррациональное число. При г1 > 1 можно воспользоваться (а) и игьчукцией по гг. (Асса ЫагЬ. 56 (1931), 373-456. Результат в (Ь) ранее был получен более сложным методом Е Вэйлом (Н.
Ч'еу1, Агас1ггс Сезейзс1гаРГ г1ег Иггзж Сбытйеп, Ыа11г.-РЛуи. КЛ (1914), 234 — 244) С помощью подобных аргументов доказывается, что полиномиальная последовательность равнораспределена, если по крайней мере один из козффициентов аю, аг иррациональное число.) 25. Если последовательность равнораспределена, то знаменатель в следствии Б приближается к †., а числитель — к значению, полученному в атом упражнении. г гг 26. См. Ыагб. Сащр. 17 (1963), 50 — 54. [Рассмотрим также следующий пример А.
Дж. Вотермена (А. С. %'асегщшг) г пусть (У„) — равнораспределенная (О .. 1)-последовательность и (Х„) — оо-распределенная двоичная последовательность. Пусть 1о = Ьг1 „1 или 1 — (г', „„1 соответственно, когда Х„равно 0 или 1. Тогда (1' ) равнораспределена и белан, однако Рг(Ъ; = И,г.г) = -'. Пусть И„= (1'„— е„) гпод1, где (со) — любая убывающая монотонно к 0 последовательность, тогда (И'„) равнораспределена и белая, однако Рг(И'„< И'„„.,) = з.) 28.
Пусть ((У„) оо-распределена. Рассмотрите последовательность (-'(Х„+ (г„)). Она З-распределена, если использовать тот факт, что (Ьг„) (16,3)-распределена. 29. Если х = хгхг...хг — любое двоичное число, то можно рассмотреть число и„ (и) к случаев, когда Х„... Хрхг г —— х, где 1 < р < п и р четное Аналогично пусть иа(п) —- число случаев, когда р нечетное. Пусть и,'(и) + и (и) = и,(п) Тогда к о ио'(и) = ~ го',* ° (и) ~ г.о. ° (гг) ~~' г',.о *(и) .. ~ и.„о(гг), где и, в этих суммах имеют 2й нижних индексов, 2й — 1 из которых — звездочки (обозначающие, что по ним суммируют — каждая сумма берется по 2з" ' комбинаций нулей и единиц), и где " " означает приближенное равенство (за исключением ошибки самое большее 2й вследствие условий на концах). Поэтому находим, что -'„2яие (и) = ~ (2 и*о- .(п) + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
