Главная » Просмотр файлов » Алгоритмы - построение и анализ

Алгоритмы - построение и анализ (1021735), страница 148

Файл №1021735 Алгоритмы - построение и анализ (Алгоритмы - построение и анализ) 148 страницаАлгоритмы - построение и анализ (1021735) страница 1482017-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 148)

Если )с = О, то кратчай(ь) ший путь из вершины ( в вершину 7' не содержит промежуточных вершин. Таким образом, (о) ~ ЫП. если 1=7'или гас = со, если ( ф 7' и сску < оо. Если при к > 1 получаем путь с - й - у, где lс ф 7', то выбранный нами предшественник вершины 7' совпадает с выбранным предшественником этой же вершины на кратчайшем пути из вершины (с, все промежуточные вершины которого принадлежат множеству (1,2,...,)с — 1).

В противном случае выбирается тот же предшественник вершины 7, который выбран на кратчайшем пути из вершины с', у которого все промежуточные вершины принадлежат множеству (1, 2,..., /с — Ц. Выражаясь формально, при /с > 1 (/с-1) (ь-)) < (ь-1) (ь-ц сг," если с(,у < с(,.„+ с(„у яе (ь-ц ,(/с-1),(Ь-1),(Ь-1) ЯЬ ЕСЛИ ас > ПС„+ а, (25.7) Вопрос о том, как включить вычисление матрицы П(~) в процедуру Р(.Оуп %АкзнА(.(., предлагается рассмотреть в упражнении 25.2-3 самостоятельно.

На рис. 25.4 показана последовательность матриц П(ь), полученных в результате обработки алгоритмом графа, изображенного на рис. 25.1. В упомянутом упражнении также предлагается выполнить более сложную задачу, — доказать, что подграф предшествования С„; является деревом кратчайших путей с корнем (. Еще один способ реконструкции кратчайших путей представлен в упражнении 25.2-7. Транзнтивное замыкание ориентированного графа Может возникнуть необходимость установить, существуют ли в заданном ориентированном графе С = (К Е), множество вершин которого Ъ" = (1, 2,..., и), пути из вершины ( в вершину ) для всех возможных пар вершин (,7' Е Ъ'. Транзиигивное замыкание (1гапз111те с1озпге) графа С определяется как граф С' = = (К Е*), где Е* = (((, у): в графе О имеется путь из вершины г в вершину Я.

Один из способов найти транзитивное замыкание графа в течение времени Е) (пз) — присвоить каждому ребру из множества Е вес 1 и выполнить алгоритм Флойда-Варшалла. Если путь из вершины ( в вершину 7' существует„то мы получим с(1 < и; в противном случае с(г = оо. Имеется и другой, подобный путь вычисления транзитивного замыкания графа С в течение времени Е) (пз), на практике позволяющий сэкономить время и память. Этот метод включает в себя подстановку логических операций Ч (логическое Глава 25. Кратчайшие пути между всеми парами вершин 723 ИЛИ) и Л (логическое И) вместо использующихся в алгоритме Флойда-Варшалла арифметических операций плп и +.

Определим значение 1," при 1,3, й = = 1,2,..., и равным 1, если в графе С существует путь из вершины 1 в вершину 7', все промежуточные вершины которого принадлежат множеству (1,2,..., Й); в противном случае эта величина равна О. Конструируя транзитивное замыкание С* = (г', Е'), будем помещать ребро (г, 7) в множество Е" тогда и только тогда, югда 1," = 1. Рекурсивное определение величины 1,", построенное по аналогии (ь) (ь) с рекуррентным соотношением (25.5), имеет вид (о) ] О если1~,у и (1,3') Ф Е, ]~ 1 если 1 = 3 или (г, 7) Е Е„ а при /с > 1 выполняется соотношение (ь) (ь-з) ~ (ь-з) (ь-1)) О О \ съ ь3 (25.8) Как и в алгоритме Флойда-Варшалла, матрицы Т(") = ~1,, ~~ вычисляются /(Ю в порядке возрастания /с: ТКАхБ)т!че Сьоязке(С) 1 и — ЩС]] 2 1ог 1 - 1 1о и 3 йо 1ог 3 — 1 1о п 4 йо!1 1 = 7' или (г, 7) Е Е]С] 5 1йеп 1(~) — 1 6 е)ае 1(") — О 7 (огй — 11ои 8 йо 1ог з +- 1 1о п 9 йо$ог7' -11оп 10 ао Р 1(", "Ч (1(" "Л1(".

") о Π—,- (,. 11 ге1пгп Т(п) На рис. 25.5 приведены матрицы Т("), вычисленные процедурой ТкА)чз)т(че С1.оз()кн для приведенного графа. Время работы процедуры Тклнштвн С(.озлил, как и время работы алгоритма Флойда-Варшалла, равно 9 (пз). Однаю на некоторых компьютерах логические операции с однобитовыми величинами выполняются быстрее, чем арифметические операции со словами, представвпощими целочисленные данные.

Кроме того, поскольку в прямом алгоритме транзитивного замыкания используются только булевы, а не целые величины, ему требуется меньший объем памяти, чем алгоритму Флойда-Варшалла. Обьем экономящейся памяти зависит от размера слова компьютера. 724 Часть Ч1. Алгоритмы для работы с графами 1 О О О О 1 1 1 О 1 1 О 1 О 1 1 1 О О О О 1 1 1 О 1 1 1 о 1 О О О о О 1 1 О о Т (о) Т(') = Т(Я) = 1 О О О О 1 1 1 О 1 1 1 1 1 1 1 1 О О О 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Т(3) Т(4) Рнс.

25.5. Ориентированный граф н матрицы Т(Я), вычисленные алгоритмом тран- знтнвного замыкания Упражнения 25.2-1. Примените алгоритм Флойда-Варшалла ко взвешенному ориентированному графу, изображенному на рис. 25.2. Приведите матрицы Р("), полученные на каждой итерации внешнего цикла. 25.2-2. Покажите, как найти транзитивное замыкание с использованием методики из раздела 25.1. 25.2-3. Модифнцируйте процедуру Рното %лизнил.

таким образом, чтобы в ней вычислялись матрицы Поо в соответствии с уравнениями (25.6) и (25.7). Дайте строгое доказательство того, что для всех г б У граф предшествования С„( — дерево кратчайших путей с корнем г. (Указание: чтобы показать, что граф С„( — ациклический, сначала покажите, (ь) (/с) что из равенства х; = 1 в соответствии с определением )г," следует, что ((( > (1н + ц)(~.

Затем адаптируйте доказательство леммы 24.16.) ()4) (ь) 25.2-4. Как было показано, для работы алгоритма Флойда-Варшалла требуется объем памяти, равный 6 (и ), поскольку мы вычисляем величины ((„у з ((4) для 1, т', й = 1,2,..., и. Покажите, что приведенная ниже процедура, в которой все верхние индексы просто опускаются, корректна и для ее работы требуется объем памяти 6 (пз): Глава 25. Кратчайшие пути между всеми парами вершин 725 Рьоуп %Акзнлы.'(И~) 1 п — гово [И'] 2 27 -И' 3 $огк — 1гоп 4 йо(огг'+-1(оп 5 йо 1'ог 7' — 1 (о и б 60 6[3 плп ( (В г(Ъ + Ы 7 гетпгп 27 Предположим, что мы модифицируем способ обработки равенства в урав- нении (25.7): 25.2-5. (ь) я, если с(, < Н,„+ Н,- (я-1) (ь-1) (ь-1) (ус-1) ау (ь-1) (ь — з) (я-з) (0-1) яь, если с(; > 0,.„+с(„.

Корректно ли такое альтернативное определение матрицы предшество- вания П? Как с помощью выходных данных алгоритма Флойда-Варшалла устано- вить наличие цикла с отрицательным весом? 25.2-6. В одном из способов, позволяющем восстановить в алгоритме Флойда 25.2-7 25.2-8 25.2-9 Варшалла кратчайшие пути, используются величины ф; при (,7',(с = (ь) = 1,2,...,п, где ф, — промежуточная вершина с наибольшим номером, принадлежащая кратчайшему пути из вершины г в вершину 7', все промежуточные вершины которого принадлежат множеству 11, 2,..., й). Дайте рекурсивное определение величин фу,модифицируйте процеду(ь) ру Р~.оу(> %Анзнлы. таким образом, чтобы в ней вычислялись эти величины, и перепишите процедуру Рк()чт Аи.

РА(кз Бноктнзт РАтн так, чтобы в качестве ее входных данных выступала матрица Ф = (ф; ). Чем матрица Ф похожа на таблицу а, которая используется в задаче о перемножении цепочки матриц, описанной в разделе 15.27 Сформулируйте алгоритм, позволяющий вычислить транзитивное замыкание ориентированного графа С = (У, Е) в течение времени О (У Е). Предположим, что транзитивное замыкание ориентированного ациклического графа можно вычислить в течение времени ( (Щ, (Е)), где ("— монотонно возрастающая функция величин ~Ц и )Е!. Покажите, что время поиска транзитивного замыкания С' = ('(г, Е*) ориентированного графа общего вида С = (1г, Е) равно У ()Ц, (Е)) + О (У + Е*). Часть Ч1.

Алгоритмы для работы с графами 25.3 Алгоритм Джонсона для разреженных графов Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени О (Ъ'з 1к 1' + Ъ' Е). Для разреженных графов в асимптотическом пределе он ведет себя лучше, чем алгоритм многократного возведения матриц в квадрат и алгоритм Флойда-Варшалла.

Этот алгоритм либо возвращает матрицу, содержащую веса кратчайших путей для всех пар вершин, либо выводит сообщение о том, что входной граф содержит цикл с отрицательным весом. В алгоритме Джонсона используются подпрограммы, в которых реализованы алгоритмы Дейкстры и Беллмана-Форда, описанные в главе 24. В алгоритме Джонсона используется метод измеиения веса (гетте1я1зг1пя), который работает следуюшим образом. Если веса всех ребер ы в графе С = (Ч, Е) неотрицательные, можно найти кратчайшие пути между всеми парами вершин, по одному разу запустив алгоритм Дейкстры для каждой вершины.

Если неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде пирамиды Фибоначчи, то время работы этого алгоритма будет равно О (1™ 1к Ъ' + 1' Е). Если в графе С содержатся ребра с отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом, можно просто вычислить новое множество ребер с неотрицательными весами, позволяющее воспользоваться тем же методом. Новое множество, состоящее из весов ребер и, должно удовлетворять двум важным свойствам. 1. Для всех пар вершин и, с Е Ъ' путь р является кратчайшим путем из вершины и в вершину е с использованием весовой функции тс тогда и только тогда, когда р — также кратчайший путь из вершины и в вершину и с весовой Функцией ю. 2. Для всех ребер (и, е) новый вес и (и, и) — неотрицательный. Как вскоре станет понятно, предварительную обработку графа С с целью определить новую весовую функцию и можно выполнить в течение времени О (Ъ' Е).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
18,3 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее