Шпора по матану 3 семестр (1021453)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Числовые ряды.

1) Сходящийся ряд и его сумма.

Рассмотрим последовательность действительных чисел {a_n}

(a_n  R  n).

Опр. 1 Выражение вида a₁+a₂+...+a_n+... называется числовым

рядом. В данном ряду a₁, a₂,.. являются членами ряда. Выражение

a_n=f(n) – общий член ряда, являющееся функцией натурального

₀₀

аргумента. Сокращенная запись ряда: a₁+a₂+...+a_n+...= a_n .

ⁿ⁼¹

Опр. 2 Сумма первых n членов ряда называется n-ой

частичной суммой ряда, т. е.

_n

S_n = a₁+a₂+...+a_n = a_k

^k=1

S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S_n=a₁+a₂+...+a_n.

{S_n} – числовая последовательность частичных сумм.

Опр. 3 (главное!) Если существует lim S_n = S = оо, то ряд

_оо ^n->оо

 a_n называется сходящимся, а число S – его суммой (S -

ⁿ⁼¹

конечное число).

Если lim S_n = оо или не существует, то ряд называется

^n->оо

расходящимся.

Опр. 4 Ряд, полученный из данного отбрасыванием первых m

Членов, называется m-ым остатком ряда и обозначается r_m:

_{oo oo}

a₁+a₂+...+ a_m+a_m+1+... , т. е. r_m =  a_n. Т. о.  a_n = S_m + r_m

^{n=m+1 n=1}

Утверждение 1 Если ряд сходится, то любой его остаток

тоже сходится.

Утверждение 2 Если сходится хотя бы один остаток ряда, то

сходится и сам ряд.

Следствие из Утв. 1 и утв. 2: отбрасывание конечного числа

членов ряда не влияет на характер его сходимости, но в

случае сходимости ряда сумма меняется.

Утверждение 3 Остаток сходящегося ряда стремится к нулю,

_оо

т. е. если  a_n – сходится, то lim r_m = 0.

1. ^n->oo

2) Геометрическая прогрессия

Это важный случай числового ряда. a_n=a_oq^n-1, qR ( q = 1) –

знаменатель прогрессии.

_оо

 a_n = a_o+a_oq+a_oq²+...+a_oqⁿ+...

ⁿ⁼¹

Если |q| > 1, то lim S_n=lim(( q/(1-q) ) – ( qⁿ⁺¹/ (1-q) ))=oo =>

^{n->oo n->oo}

прогрессия расходится.

Если |q| < 1, то lim S_n=lim( ( q/(1-q) ) – ( qⁿ⁺¹/ (1-q) ) ) =

^{n->oo n->oo}

= (q/(1-q)) = const => прогрессия сходится.

Аналогично для a_o = q.

И так, _oo

 a_oq^n-1 |q| < 1 сходится и S = (a_o/(1-q))

ⁿ⁼¹

|q| > 1 расходится

3) Необходимый признак сходимости ряда

_oo

Т. Если ряд  a_n сходится, то lim a_n = 0

^{n=1 n->oo}

Следствие. Если не существует lim a_n или существует lim a_n = 0,

^{n->oo n->oo}

то ряд заведомо расходится, т. к. если бы он сходился, то

lim a_n = 0

^n->oo

4) Критерий Коши сходимости ряда.

_oo

Теорема 1 (без доказательства). Ряд  a_n сходится <=> 

ⁿ⁼¹

существует такое N():  n >= N() и  p  N:

|a_n+1 + a_n+2 +...+ a_n+p| < 

Теорема 2 (отрицание критерия Коши).

Если существует :  k  N и существуют n>=k и p  N:

|a_n+1 + a_n+2 +...+ a_n+p| >= .

_oo

Итак, ряд (1/n),называющийся гармоническим рядом, расходится.

ⁿ⁼¹

5) Обобщенный гармонический ряд.

Опр. Ряд вида  (1/n^) () называется обобщенным

ⁿ⁼¹

гармоническим рядом или рядом Дирихле. Мы показали, что при

=2 он сходится, а при =1 расходится. Позже мы докажем, что

_oo  > 1 сходится

(1/n^)

ⁿ⁼¹ 0 <  <= 1 расходится

_{oo oo}

 (1/n) расходится  (1/(nn)) сходится

^{n=1 n=1}

=1/2<1 =3/2>1

_oo

 (1/(³n⁷)) сходится

ⁿ⁼¹

=7/3>1

6) Комплексные числовые ряды.

Z_n = a_n + ib_n, a_n – действительная часть, b_n – мнимая часть.

 Z_n =  (a_n + ib_n)

Такой ряд сходится <=> сходятся ряды из его действительной и

мнимой частей:  Z_n <=> a_n, b_n

Геометрическая прогрессия с комплексными числами: С₀, qC

_{oo oo}

С_n = С₀q^n-1, |q| > 1 => расходится

^{n=1 n=1} |q| < 1 => сходится

q = q₁ + iq₂ => |q| = (q²₁ + q²₂)

1. Действия над сходящимися рядами

Теорема 1: Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где - const, тоже сходится и его сумма S, т.е.

Теорема 2: Запишем формулировку кратко:

Следствие из Т.1 и Т.2:

Это свойство линейности сходящихся рядов.

Замечание: Что можно сказать о сходимости ряда , где , если известно, что

1) - сходится, - расходится

2) и - оба расходятся?

В первом случае - расходится, а во втором может как сходиться, так и расходиться.

Теорема 3: Если ряд сходится, то можно группировать его слагаемые, не меняя их местами, получится ряд, сходящийся к той же сумме.

1. Ряды с положительными членами

(Положительные ряды, знакоположительные ряды, ряды-синонимы)

Определение: Ряд называется знакоположительным, если и , т.е. все его члены действительные, неотрицательные числа.

Теорема (Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами)

Ряд сходится последовательность , т.е. или

1. Признаки сравнения рядов с неотрицательными членами

Теорема 1 (Первый признак сравнения)

Если , то

Если сходится, то - сходится

Если расходится, то - расходится

Теорема 2 (Предельная форма признака сравнения или II-ой признак сравнения)
Пусть и

Тогда

1) и сходится или расходятся одновременно

2) из сходимости сходимость

3) из сходимости сходимость

Замечание: Удобно сравнивать с известными рядами

и

1. Признаки Даламбера и Коши в предельной форме

Теорема 1 (Признак Даламбера)

Если для ряда : , то

Теорема 2 (Радикальный признак Коши)

Если для ряда : , то

по асимптотической формуле Стирлинга:

Интегральный признак Коши

1. Теорема (интегральный признак)

Пусть функция f(x) принимает положительные значения и является монотонно убывающей ( ) и пусть .Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

1) Если ингеграл сходится, то

ряд сходится (по критерию сходимости

знакоположительных рядов).

2) Если интеграл расходится, то - неогр. =>

ряд расходится.

3) Аналогично в другую сторону. Если ряд сходится, то

и интеграл сходится.

4) Если ряд расходится, то .

2. Исследование поведение обобщенного гармонического ряда с помощью интегрального признака.

.

3. Оценка остатка знакоположительного ряда с помощью интегрального признака.

Из доказательства теоремы пункта 1 следует, что

1) . Это оценка суммы ряда.

2) . Это оценка остатка ряда (остаток - это ряд

с первым членом , далее как в 1) ).

6. Понятие об абсолютной сходимости.

Ряд с вещественными или комплексными членами (т.е. не

знакоположительный) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из

абсолютных величин (модудей) его членов: (знакоположительный).

Абсолютная сходимость более сильная, чем простая сходимость, т.е.

1) Если ряд сходится абсолютно, то он сходится

2) Если ряд сходится, то это не означает, что он сходится абсолютно.

К этому понятию мы подробнее обратимся позже, а сейчас только отметим,

что для исследования на абсолютную сходимость применяются признаки сх-ти

положительных рядов.

1. Знакочередующийся ряд Лейбница

Опр. Ряд называется знакочередующимся, если члены ряда попеременно положительны и отрицательны.

Пример:

Если

Теорема: (Признак Лейбница)

Если ряд такой, что:

1) (знакочередование)

2) (монотонное убывание)

3) ,

то ряд сходится и его сумма

Замечание: Ряд, удовлетворяющий теореме, называется рядом Лейбница или лейбницевский рядом.

Примеры лейбницевских рядов:

1. Оценка остатка ряда Лейбница

Рассмотрим ряд Лейбница и выделим в нем частичную сумму т остаток :

,

т.е.

остаток - тоже ряд Лейбница его сумма < по модулю его первого члена

Следствие: Если в ряде Лейбница заменить его сумму на n-ую частичную сумму (т.е. отбросить остаток ), то допущенная ошибка не превзойдет по абсолютной величине модуля первого отброшенного члена.

1. Абсолютная и неабсолютная сходимость вещественного и комплексного ряда.

Рассмотрим ряд ; имеет произвольный знак и может быть даже комплексным числом

Опр.: Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из его модулей

Напомним, что

Ряд знакоположительный вещественный ряд к его исследованию применимы все изученные ранее признаки сходимости знакоположительных рядов.

Опр.: Если ряд сходится, а расходится, то ряд называет условно сходящимся.

Теорема: (Сходимость ряда из модулей как достаточное условие сходимости исходного ряда)

Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Если ряд - сходится, то - сходится

1. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Свойство 1: Если ряды и абсолютно сходятся, то ряд так же абсолютно сходится

Свойство 2: Если ряд абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, так же абсолютно сходится, причем к той же сумме.

Свойство 3: Если ряды и абсолютно сходятся к суммам и соответственно, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, расположенных в порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна

Теорема Римана (о перестановке членов неабсолютно сходящегося ряда)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)