Методичка (Для студентов очной формы обучения института ИТ) (1021367), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Разложить в ряд Фурье периодический сигналu (t ) с периодом T  2l . Исследовать сходимость полученного рядаФурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье. Найти амплитудныйспектр An an2  bn2 , где an и bn - коэффициенты Фурье.Варианты 13-16.Разложить функцию, заданную на полупериоде 0; l  , в ряд Фурье, продолжая ее на интервале  l ;0 функцией, равной нулю.

Исследовать сходимость полученного ряда Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье. Записать равенство Парсеваля.вариантy  2 x  6, x  0;3123y  4  2 x, x  0;2y  3x  3, x  0;1вариантu(t )  4t , l  91011u(t )  3t  1, l  u (t )  2t , l  2045678y  8  2 x, x  0;4y  6  4 x, x  0;3u(t )  2t  3 , l  12y  1  3x 2 , x  0;1xy  cos , x  0;3 3xy  2 sin , x  0;1,5 3y  2 x 2  3, x  0;213y  x  2, x  0;414y  1  x, x  0;215y  2 x  5, x  0;516Задачи по ТФКП№15. Заданы два комплексных числа z1 и z 2 в алгебраическойформе.1) Представить комплексные числа z1 и z 2 в тригонометрической ипоказательной формах.2) Вычислить и изобразить ( z1 z2 )10 .№z112  2i22  2 3iz224i№z1z23 3 i 2i4 5  5ii№16.

Изобразить на комплексной плоскости область, заданнуюнеравенством или системой неравенств.1234562178910111213141516№17. Представить комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.12345678№18. Решить уравнение. Корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.13222456789101112cos 2 z  sin 2 z  2cos z  i sin z  2№19. Исследовать функцию f (z ) на аналитичность.№f (z )№f (z )94 z 2  5z  2iiz 2  3z  4iie 5iz  ziz 2  3z  4iRe( z 2 )  2 z  5i10ie 5iz  3z 2017| ie 5iz |  ziz Re( z  i)  cos 2 z11iz  sin 2 z12i | (1  i) z 2 |  Im(e 2iz )1357131517i | (1  i 3 ) z 2 | e 2 z3iz  ch2 zIm(ie 5iz )  4ize6 z  3zz Im(6 z  2)246816iz 2  3e  z  4i3iz  sh2 z18ch(2iz )  i sin 2 z14№20.

Получить все разложения функции f (z ) в ряд Лорана постепеням z  z0 .№z010f (z )ze4z№z0f (z )21 4 ( z  1) 4 cos z 1233-2 5 ( z  2) sin2  ( z  2) 4-250z( z  2)( z  3)6-270z2z 2 ( z  4)82ez  z( z  2)393z2z2  9100z2z 2 ( z  4)124z 3z 3  16 z140z4  z  1z2  916*01( z  2) 2110130150sin 2 3zz33iz  sh2 zz2e3z( z  1) 34z  5z 2  5z  61( z  2) z ( z 2  4)№21. Получить разложение функции f (z ) в ряд Лорана по степеням z  z0 в заданной области.f (z )f (z )№№z0  0 ,| z | 2z0  3 ,3| z  3 | 4z( z  1)( z  2)1( z  1)( z  2)1z0  0 ,2 | z | 4z0  2 ,41 | z  2 | 322z 1z 2  2z  84z  5z 2  6z  5№22.

Найти изолированные особые точки функции f (z ) , указатьих тип, вычислить вычеты.№f (z )№f (z )241z e5e8 zz2  9sin(z )35794z( z  2)(2 z  1)1z2z esin( z  1)( z  1)62 5 ( z  3)6 sinz34z4z 3  3z 26ez  1z 2 ( z  4i)8(2 z 3  1) cos(1 z )3iz 3  sh2 zz41  cos(z )1011sin 2 (3z )z 3 ( z  1) 213 z    2 sin  2( z  1) 12( z  1)3 ( z  5) 214e z 1  1( z  1) 2 z15cos(z )( z  2)2 (2 z  1)16ez 1( z  2i) 2 z17z 5 ch(1 z)  cos(1 z )18№23. Вычислить интеграл( z 2  6 z ) sin(2)z 3 f ( z)dz с помощью основной теоремыLо вычетах.f (z )№1sin zz ( z 2  9)L№| z  i | 32f (z )L1| z  2 | 12( z  2)( z  4)2535ezz 2 ( z  2i)z2( z 2  4) 2| z  i | 24| z  i | 26| z | 28zsin zze2 z  1sin z| z  2 | 3| z  i | 37sin 2 2 zz 3 (2 z   )9cos(z )z 2 (4 z 2  1)110| 2 z  1 |2ezz ( z  2) 2| z  1 | 2111  cos(z )z 3 ( z  2)| 2 z  1 | 4 121  cos zz 2 ( z 2  4)| z  i | 2| z | 11315iz 3  sh2 zz4e iz  1( z  2) z 2| z  1 | 2z3  z 2| z  i | 2142z  1cos z| z  1 | 216( z  3z  5)e21z| z  i | 2b№24.

Вычислить несобственный интеграл f ( z )dz с помощьюaвычетов.№135f (z )( a, b)x2  1(0,)( x 2  9)( x 2  16)1(,)2x  6 x  131(,)( x 2  4 x  13) 2№246f (z )x2( x 2  9) 21( x 2  4)3x2x4  6x2  5( a, b)(0,)(0,)(0,)2679*11*2x  3( x 2  4 x  8) 2cos 2 x( x 2  1) 2x sin x( x 2  1)( x 2  9)(,)8(,) 10*(0,)12*1x4  1x sin 2 xx2  9cos 2 xx4  6x2  5(0,)(0,)(,)Замечание: задачи, отмеченные «звездочкой», не являются обязательными для выполнения.ЧАСТЬ 2ТИПОВОЙ РАСЧЕТРешение задач типового расчета позволяет успешно подготовитьсяк выполнению контрольных работ и к сдаче экзамена.

Наличие выполненного типового расчета является необходимым условием допускастудента к сдаче экзамена по курсу.Задача №1. Исследовать на сходимость числовой ряд.вариант12вариант 6n  7 3  6n  4 n 1n2nn48n(e  1)15425n 1 n  (7 ln n  4) n 2 (1  cos(n 15n!nn 1 n5))n2n 1n!( n  3)!( 2n)!163n  nn n2n 1 817ln( n  5)n5n 1n131819cos 4 nn 15 (3n  5) n132n 2  111(1  cos( ))n5n276(3n  1) 2n 1 nn  4  9n  5207 n5ln n 2n 1218 2n  5 12 n  2n  1 n 19n 110n22223 (2n  3) sin 4 (n11)n 124 5n  3  3n 1  5n  4 25124n  9n 1 8n  1 9n  15261314n n2  1  2n1n 1 35n 1 ( n  2)  ln( n  2)(5n  1) n3nn3sin 2 nn 1 (6n  4) n2n( n  1)!n n2n 11  2n (n  4) arcsin( nn111n3  2 nn 123n 5n! n 1n 1  n  3 n1 n 4n  5 2)n n9 (3n  2) 4n  545(10n5 1)n 127nn2n 128n23 sin( n )  cos(n 15)n2Задача №2.

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.вариант12вариант( x  6) nn 1 ( n  1) ln( n  1)n 13n( x  7) n16 2n   2n  5 n 1173nx  4nx  12n 1n 1n  29n 2  1x 2n 1 nn 13 n n  115n n 1x  10n  1nn  1n 1n284n 152 n ( x  1) n7n  12n  1 nxnn  1 3n  1 n ( x  1)n 1  3n  2 n  1n 1n 1  1n 19111213141920n3  3 ln n  1n n  1 x  7n 1 ( x  3)n(1  cos(n 12))n4x  17nn 1 2n  1  ln 2n  13n  1x  1nnn  122 (n  1)!( x  5) nn3  2n 1n3n x  1 ln23n 1arctg nn n 2  x  5n 1 2 n  1242 n x  33n  12n 126nn1 3 x 3  2 n  2 n ln n n2n nn  n  3   x  2n 1nx  11  1nnn  2 ln n ( x  3)nsin(n 125n2 n  3n n ln  n x  2n 1321n( x  100) n( x  5) nn 110n 1nn  1n 18n  n2 1n 1618 ( x  2)n5n)3nn  (e  1)n 1x  5n n  lnn2273 ( x  4)n 128nn5actg ( )n ( x  3)n 1nsin 4 (1n)  tg (4)5n  1Задача №3*.

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать, чтофункциональный ряд сходится равномерно в указанной области.(Задача не является обязательной, включается в типовой расчет по указанию преподавателя).вариантвариант29123sin nx , x  0;n 1n n  xn 116cosnx , x   ;217, x   1;1185xnn 1n x4xn2078cosnx  n n , x   ;n 1xnn 1n91011 2x2n 1  x 2nn 12n, x   1;1n2  n 1 1  n!  x  n , x   2 ;2x n 1x33n 1n  x12, x   1;1, x  0;nxn2 2n 13 (1  n x )13nx3n 1n146n 1nx6nx6 x6, x   ;, x   ;, x   ;x2nxx44n2 x26 x6nx 2n 1n5 x5n, x   ;, x  0;n5  x5 , x  0;3n2 x255n 1n  x22, x   ;nx3n 1221, x   ; x44n 1nsin 3nx 2, x   ; 22n 1 x  3nn4  x2nn 1n, x   2;2 x 2enx , x  0;n 1n19n 1264n 11xsin , x  0;  nnn2n 1e  n x415, x  0;cos 3 nx n 1n n 1, x   ;arctg nx , x   ;23xnn 12324sin 4 2nx n 1n n4 1, x   ;25xnln(1  3 ), x  0;1nn 126( x  1) sin 2 nx , x  [3;0]n n 1n 12728n1 x   , x  3;5nn 1  xn 1n  x  , x  2;3 nn 1230Задача №4.

Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестноститочки x0 . Указать область сходимости полученного ряда.Указание. Использовать разложения элементарных функций в степенные ряды.вариантвариант1y  ( x  4)3 e 3 x5 , x0  415y2y  (3x 2  x  1)e 2 x1 , x0  016y  ( x  5) 2 e3 x4 , x0  517y  6  ch(5 x), x0  0( x  5) 3, x0  58x  13ye4y  1  x  e 3 x4 , x0  118y  8  sh(7x), x  25y  ( x  7)3 tg x  7, x0  719y  ( x  4) ln3  2x, x0  46y20y  ln 2 x 2  3x  2 , x0  121y  ( x  2) 5 tg x  2, x0  22x  3, x0  1x  5x  6222 xy  ln , x0  12 xy  x 2 sin 9 x  cos 9 x, x0  02310y  x 5 cos 2 3x , x0  024y  x  (1  sin 2 6 x), x0  011y25y  8x 4 arcsin( 2 x), x0  012y  sin 4 x, x0  026y  1  3x 2 , x0  0131 xy  x ln, x0  01 x27y  ( x  4)3 ln 3x  18, x0  414y  x 4 e5 x28y  5x 3 arctg(4 x), x0  0 x 2 6x, x0  35x4x  32, x0  0 7y  4 sin 2 3x 2  6 x 7 , x0  08y923x  2, x 0  22x  2x  3332, x0  02x  2y3x  7, x0  2Задача №5.

Разложить функцию y  f (x) , заданную на полупериоде 0; l  , в ряд Фурье по косинусам для четных вариантов и по синусам для нечетных вариантов. Исследовать сходимость полученного рядаФурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.31№f (x)l№1y  1 3x1162y  4  4x21733184195y  1 2 xy  1 xy  4  4x220y  2  2xy  3  3x6y  3x  2321y  3x  11224239y  4  2xy  1 2 xy  4x 142410y  2  3x325y  2  4xy  2  2xy  4x  3y  2x  211y  4x  3y  1 xy  2x 1y  1 4 xy  x 1226y  3x  2127228129y  4x  2y  4x  2y  3  4x430y  3x  347812131415f (x)y  4x  1y  3x  1y  3x  3l212212141221212Задача №6. Решить уравнение.

Корни уравнения изобразить накомплексной плоскости.№123453267891011121314151617181920213322232425262728Задача №7. Исследовать функцию№№123456789101112на аналитичность.3413141516171819202122232425262728Задача №8. Найти все изолированные особые точки функцииустановить их тип и найти вычеты в особых точках.№№12345678,35910111213141516171819202122232425262728Задача №9. Вычислить интеграл по замкнутому контурупомощью основной теоремы о вычетах.№12с3634567891011121314151637171819202122232425262728Задача №10. Вычислить несобственный интегралмощью вычетов.№с по-38123456789101112131439151617181920212223242526272840ЗАКЛЮЧЕНИЕТеория рядов имеет широкое применение в различных дисциплинах, используется при решении прикладных задач.В математическом анализе степенные ряды применяются, например, для вычисления предела функции, при выполнении приближенныхвычислений, вычислении значений производной функции в точке.

Теория рядов используется в теории функций комплексной переменной. Вкурсе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядоврешают задачу Коши. Для математической физики методом Фурье решают уравнения колебаний струны, теплопроводности и др.В теории вероятностей и в теории случайных процессов к рядамобращаются при рассмотрении вопросов нахождения характеристикслучайных величин, нахождении производящей функции, дляспектрального разложения стационарных случайных процессов.В курсе радиотехники с помощью рядов Фурье изучаютсяпериодические сигналы, строятся амплитудные и фазовый спектры.

Наоснове интеграла и преобразования Фурье изучаются спектрынепериодических сигналов.Теория функции комплексного переменного – один из важнейшихразделов математического анализа, тесно связанный с теорией рядов.Основные положения ТФКП широко применяются при решении многихприкладных проблем.41СОДЕРЖАНИЕВведение…………………………………………………………………….3Методические указания……………………………………………………4Часть 1. Основные типы задач для подготовки к контрольным работам иэкзамену……………………………………………………………………..8Часть 2. Типовой расчет………………………………………………......26Заключение……………………………………..………………………….40.

Характеристики

Список файлов книги