Методичка (Для студентов очной формы обучения института ИТ) (1021367), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

– М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003.10. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Лань, 2005.11. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций.М., Мир, 2009.12. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Том 4.Функции комплексного переменного (теория и практика). М., URSS,1999.8ЧАСТЬ 1ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧдля подготовки к контрольным работам и экзаменуВ этой части пособия приведены задания для подготовки к успешнойсдаче контрольных работ и экзамена.

Рекомендуется выполнить все задания. Материал части 1 можно рассматривать как небольшой задачник поматематическому анализу 3-го семестра для самостоятельной работы студентов очного отделения института ИТ.Задачи по теории рядов№1. Найти сумму S числового ряда.11n 1n( n  1)2341 (2n  1)(2n  1)n 11 (3n  2)(3n  1)n 1191011 n(n  3)121n 1(2n  1)( 2n  5)13n 15678n 1n142n  1n2 nn2  12n  12n  12nn 1 2 3n  2 nnn 1 6 2 n  (1) nn 13n1n 14n2n  2 n 1 n  21n 11 n(n  1)( n  2)n 1 1n 115 1n 1nn 1 7 3n  2 nn 1166n10 (n  16)( n  17)n 19№2. Установить расходимость числового ряда на основе необходимого условия сходимости.13 (2n  3) sin( 5n  4 )n 123n2arctg (n 1681011 2n  12 172)5n  62n  53n  712 cos(1314n 13n 17)3n 1 100n5n 52 n 2 (1  cos n )n 1 5n 24893 n3 (e n  1)n 1 3n 2n n  n ln  n  100 n 1n 3n  1  2  3n  5 n 1n15162 n  1  n2  n  1 3n  1 5n  3 ln  n  10 n 12 2nnn 13n 1n  6n 5n 2  1   2 n 1 5n  8 3n  1 n 10n  11n 18n 14n 2  2n  19 n 5 (e n52 1)n 1№3.

Установить сходимость или расходимость числового ряда наоснове признаков сравнения.1212n 1n  6n  10 ln nn 1 n9n  n 1n 110 n3arctg (n 13n  155)1033n  2 nnn 134 4n4n 3  1n 13n2551n  2n(n  1) 2n 1nn  2 n  52n 1671112n3  6n  10  (3n  1)1 ln n  1n 1n 11314n 12  3n215 1 arcsin 6 n  5n 12n1n 4 (e nn 18sin 2 nn 15  4n8 3n 2  1   3 n 1 4n  7 n2  51 1) sin  n 2tg4n1n 116№4.

Установить сходимость или расходимость числового ряда на основе признака Даламбера.1(5n  6)3n 123452n3n  1n 1 n 5n3891012 2n10n2n 15n  n  41368nn 1 n!14 4) 42nn  13nn 1nn 13n 1(3n11n 1 n!n!8n  2n  n 2 sin n 12n  1!nn 1 3 nn n!n 1 n!2nn 1 sin  n 9 1178n 1 n n!8n  1n 1n31512nn  153nn 116n7n 4  1213nn 1№5. Установить сходимость или расходимость числового ряда наоснове радикального признака Коши или интегрального признака Коши.1 n 1   3n  4 n 12 3n  1 n 1  3n  4 3n 1ln4810n11n  112n29n 3n ln nln ln n  5n  1   5n  7 n 11n 1n  (2 lnn 3n  2 n  (ln n)n ln nln ln n  n2  1   2 n 1 8n  5 1314en 1n216n  5)3133n11  n  1 n n n 12  5n  2   4n  1 n 11 5n  2 n  ln n7n21 n  ln nn2692n5n15nn 4  3n arcsin n  n  1 n 1162n 9n n 1  9n  4 n212 n№6.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный ряд.12 1n 112 49n  2n  5 1nn  2 n  ln n  ln n56 1n 1n2n ln n  1n 17n  3n  lnn  (ln ln n)6n 1  7 n  1 (1)7n5n 112 n  1ln  n 8 1n 1n n!n2nn13n 1n 11  1 (2n  3) sin ( )nn 18n 12n11 1 tg  n  1 1n (5n  4)n 1210 1n 1n 1n 1n 1 4n  1  196n 1n  64n  3 1 nn 13  114n 115n 1n 9n  17n4)n5  3n  1  1n 1n  arcsin(n 1n 11 1n 1 n16n  arctg (n21n 64№7.

Исследовать на сходимость числовой ряд, используя признаки сходимости числовых рядов.1 6n  7  3n   6n  4 n 12n 13411(1  cos( ))n5n2cos 4 nn 1n  (7 lnn  4)5n 1(3n  5) 5n232n 2  19n!(n  3)!n 1 ( 2n)!1011123n  nn2n 18  n ln( n  5)n 1n55 n 2 (1  cos( n  2 ))n 1)1359 (3n  2) (10 n  1)5513n 1n 16(3n  1) 2n 1nn  4  9n  5 n 1  n  3n 11435n 1(n  2)  ln( n  2)8 (n  4) arcsin(n 14 n5n 14n  52)n 3  2n ln  n  2 151  2nnnn 27(n  1)!16(5n  1) n3nn 12n№8. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.1( x  6) n (n  1) ln( n  1)n 1239n  1x 2n 1n 134n 152 n ( x  1) n711n  n 122n  1  1 nn  1 x nn 1n  1n 1n 1n 1n  212( x  5) nnn  1x  4nn n 1x  10n  1nn  1n 1n 1nn( x  100) n3n3  3ln n  1x  7 nn 1 n  113n 3n  1   3n  2  ( x  1) nn 13nx  12n 1n n 16102n9 2n   2n  5 n 1n( x  7) nn 114 ( x  3) n (1  cos(n 1155 ( x  4) n actg ( n )n 12n4))148  1n 1n 13n  1x  1nnn  116(n  1)!( x  5) nn 1n3  2№9.

Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точкиx0 . Указать область сходимости полученного ряда.Указание. Использовать разложения элементарных функций в степенные ряды.1y  ( x  4)3 e3 x 5 ,9x0  4y  (3x 2  x  1)e2 x 1,2x0  03y  e x4y  1  x 5 e 3 x  4 , x0  126x10, x0  3y  6  ch(5 x), x0  012y  8  sh(7 x), x0  2y  ( x  4) ln 3  2 x ,67813x0  7yx4x2  3, x0  014 y  4 sin 2 3x 2  6 x 7 ,15x0  0y2x  3x 2  5x  6y  ( x  5)e3 x  4 , x0  511y  ( x  7)3 tg  x  7 ,5( x  5)3y, x0  58x  1, x0  116x0  4x0  1y  ( x  2)5 tg  x  2,x0  22 xy  ln , x0  12x№10.

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать, что функциональный ряд сходится равномерно в указанной области.sin nx , x  0;nnxn 119 x 2e  nx , x  0;n 1y  ln 2 x 2  3x  2 ,1521xsin , x  0;  nncosnx n 13n 1enn xxnn 1n x44n 126nsin 3nx 22n nxnn 1n, x   2;22, x   ;2  , x   ;n 18, x   1;1n x4n 1 x  3n cos nx74xn5, x   ;2 22x1011n 1n4n 1n412x2, x   1;15n 12x5, x   ;, x  0;nx3nn35xn2 x25xn 1n2, x   ;nx 215x466n 1n  xn 1n14, x   ;n2 x213xnx455, x  0;, x  0;cos3 nx , x   ;nn1n 116№11.* Найти область сходимости функционального ряда.(Задача не является обязательной, включается в программу поуказанию преподавателя).вариант1вариантn 1n2 sinn 111x12 2n 1n 2 e n xx1n 11 3101nx2n1n 1n12nx 2x   x  1n 1n16sin nx 4n 1567 nx  2 n 1 2nx  1 n2 x  2n  x ntgn 113cosnx n 1e nx2 enx14n 1 x1516n 1n2nn1 2x  1 n 3x  5 n 11n 1nn  arctg 2 nx №12*.

(Применение степенных рядов)(Задача не является обязательной, включается в программу по указаниюпреподавателя).Варианты 1-4. Найти производную n-го порядка функции f (x) вточке x0 , используя разложения элементарных функций в степенныеряды.nвариантf (x)2271f ( x)  ( x  2) 20 e x  4 x , x0  2801, x0  1f ( x) 23x2  2x  7f ( x)  x 25 sin 2 8 x , x0  0904f ( x)  ( x  3)5  arcsin( 5x  15) , x0  3100Варианты 5-8. Решить задачу Коши, используя теорию рядов.Вариант612xy' '  xy' y  e , y(0)  1, y' (0)  07y' '  xy2  y' , y(0)  2, y' (0)  38y ' '  x sin( y ' ), y (1)  0, y ' (1) 5y '  y 2  x3 , y (0) 217Варианты 9-12. Вычислить приближенные значения определенного интеграла с точностью до 10 4 , используя теорию рядов.вариантвариант0.590 1 x0.5-x 210e0.5dx4dx1100.21200ln 1  x 2x2dxarctg (2 x)dxxВарианты 13-16.

Вычислить сумму числового ряда, используяразложения элементарных функций в степенные ряды.вариант1n  2 n!132141 1 1 1n 1   ...  ...n  1!2! 3! 4!15169 273n4  ...   ...2! 3!n!1 1 1n1    ...  ...3 52n  1№13.* Вычислить сумму ряда, используя дифференцированиеили интегрирование степенного ряда.(Задача не является обязательной, включается в программу по указаниюпреподавателя).12 3n 11   2  ...  n  ...5 5522  2 4  23 6  252n  22n 1 3  5  ...

 ...2 n 13333183 n 18 2 8 3 8 4n 1 8 ...  (1) ...1 2 2  3 3  4n  (n  1)42  2 3  22(n  1)  2n1 2  ...  ...n33356789101112131415162 2  23 3  25n  22n 1 3  5  ...  2n 1  ...3333 n 11 51 5 2n 1 5 ...  (1) ...1 2 2  3 3  4n  (n  1)2 4 62n  3  5  ...

 (1) n 2n 1  ...3 3 33n n 17  9  2 7 2  9  3 73  9  4n 1 7  9 ...  (1) ...1 2233 4n  (n  1)3 2 4 3 5 4n  (n  1)2 2  3  ...  (1) n ...n244441111n1...(1) ...n3  3 5  32 7  33(2n  1)  3n2  5 3  52n (n  1)51 2  ...

 (1) ...777n1 2 3n 3  5  ...  (1) n 1 2n 1  ...5 5 551111 ...  ...2 3 1! 4  2!(n  2)  n!1 21222nn ...  (1) ...2 3 1! 4  2!(n  2)  n!31 3 2 333 nn 1 ...  (1) ...1 4 2  5 3  6n  (n  3)1 2 3n   ...  ...2 3! 4!(n  1)!19№14. Варианты 1−4. Разложить функцию, заданную на интервале 0; l  , в ряд Фурье по синусам. Исследовать сходимость полученногоряда Фурье.

Нарисовать график суммы ряда Фурье. При помощи полу(1) kченного разложения вычислить сумму числового ряда .2k1k 0 1Записать равенство Парсеваля, найти сумму ряда2k 1k.Варианты 5−8. Разложить функцию, заданную на интервале0; l  , в ряд Фурье по косинусам. Исследовать сходимость полученногоряда Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье. При помощи полученного разложения вычислить сумму числового ряда2k  0 2k  1Записать равенство Парсеваля, найти сумму ряда14k  0 2k  1Записать равенство Парсеваля, найти сумму ряда116k 1k...Варианты 9-12.

Характеристики

Список файлов книги