Radiolokacionnye_sistemy_SFU_elektronnyy _resurs (1021137), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Уточнение апостериорной плотности вероятности измеряемогопараметра Р(α/y) по результатам наблюдения реализации yТаким образом, для получения оптимальной оценки α̂ opt измеряемогопараметра радиолокационных сигналов необходимо:1) задаться априорным распределением Р(α);2) получить в явном виде апостериорную плотность Р(α/y) с учетомпринятой реализации y; Радиолокационные системы. Учеб.287ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ3) задаться функцией стоимости r ( αˆ α ) ;4) найти значение α, обеспечивающее минимум условного среднегориска, т.
е. αˆ = αˆ opt .6.1.2. УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВОптимальной оценке α̂ opt соответствует условие∂r ( αˆ y ) = 0∂αˆαˆ = αˆ opt .Правило нахождения оценок зависит от вида функции r ( αˆ α ) . Характерными разновидностями таких функций являются:а) простая функция (рис. 6.2):ˆ )=r ( α,α−δ ( α − αˆ ) + const;б) квадратичная (рис. 6.3):ˆ =r α,α( α − αˆ ) .2r ( α̂ α )α̂αРис.
6.2. Простая функция стоимости ошибокr ( α̂,α )α Радиолокационные системы. Учеб.288ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВРис. 6.3. Квадратичная функция стоимости ошибокУсловный риск ошибок измерения параметра для простой функциистоимости (потерь) определяется следующим выражением:r ( αˆ y ) =− Р ( αˆ y ) + const.Его минимум соответствует оценке α̂opt ( y ) , обеспечивающей максимум послеопытной плотности вероятности.
Воспользуемся далее квадратичнойфункцией потерь. Тогдаr ( αˆ =y)∫ ( α − αˆ ) Р ( α y )dα2(α)и соответственно∂ r (α y )∂αˆ=ddα 2 Р ( α y ) dα − 2 ∫ α Р ( α y ) dα +∫dαˆ ( α )dαˆ ( α )αˆ = αˆ opt+dαˆ 2 Р ( α y ) dα = 2 ∫ αˆ Р ( α y ) dα − 2 ∫ αР ( α y ) dα = 0,∫dα̂ ( α )(α)(α)α̂ opt =∫ αР ( α y )dα.(6.8)(α)Оптимальной оценкой в этом случае является оценка условного (послеопытного) МО измеряемого параметра.Таким образом, оптимальные оценки будут изменяться в зависимостиот выбранной функции потерь, которая определяется назначением измерителя.При симметричной функции Р(α/y) оценка (6.8) совпадает с максимумом Р(α/y), т. е.
для получения оптимальной оценки (рис. 6.4) достаточнонайти экстремум функции Р(α/y) по условию Радиолокационные системы. Учеб.289ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ∂ Р (α y )= 0,=α αˆ opt .∂αmax Р(α/y)α̂αРис. 6.4. Получение оптимальной оценки параметра α по максимуму Р(α/y)Установим связь операций получения оценок с операциями обнаружения сигналов.
Для этого введем условное отношение правдоподобияΛ(y/α) = Р(y/α)/Рп(y),где Рп(y) – плотность вероятности реализации y при наличии одной помехи.Выражая Р(y/α) через Λ(y/α) и подставляя в формулу (6.5), получаемР(α /y) = [1/Р(y)]Р (α)Рп(y)Р(y/α) = KР(α)Λ(y/α),(6.9)где К = Рп(y)/Р(y) не зависит от α и находится из условия нормировкиK=∫(α)1.Р ( α ) Λ ( y α ) dαПолагаем, что до проведения измерений возможные значения α равновероятны, т.
е. Р(α) = const (отсутствуют априорные данные) и функцияР(y/α) симметричная.Тогда оценка (6.8) совпадает с максимумом Λ(y/α). Следовательно, α̂ optявляется максимально правдоподобной и может быть найдена из условия Радиолокационные системы. Учеб.290ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ∂Λ ( y α) α =αˆ opt =0.∂αЛогарифмируя (6.9), приходим к выражениюln Р(α/y) = ln Р(α) + ln Λ(y/α) + const.(6.10)Из соотношения (6.10) следует, что для нахождения послеопытнойплотности вероятности, а значит, получения оценок α̂, применимы те жеоперации вычисления ln Λ(y/α), которые используются в радиолокационныхобнаружителях.Кроме того, из монотонной связи Λ(y/α) и lnΛ(y/α) следует возможность определить α̂ opt как решение уравнения∂ ln Λ ( y α )=α αˆ=0.opt∂α(6.11)Таким образом, оптимизация измерений должна производиться покритерию min r или минимума условного риска. Основная информация дляоценки параметров радиолокационных сигналов содержится в апостериорной плотности вероятности Р(α/y).
Операции получения оптимальных оценок совпадают с операциями, осуществляемыми в оптимальных обнаружителях.6.1.3. УСТРОЙСТВА ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВПринципы построения оптимальных измерителей (устройств оценивания) параметров радиолокационных сигналов определяются в основномметодами поиска оптимальной оценки в соответствующем уравнении оптимальности. Уравнения оптимальных оценок α̂ opt , как показано выше, заˆ α ). Так, для простой функциивисят от вида функций стоимости r ( α,стоимости оптимальная оценка соответствует максимуму распределенияпослеопытной плотности вероятности, а для квадратичной функции стоимости – центру тяжести этого распределения.
На практике, однако, пользуются единой оценкой максимума послеопытной плотности вероятности.Последнее обусловлено регулярным характером проводимых измерений. Радиолокационные системы. Учеб.291ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВРегулярным будем называть измерение, для которого зависимость lnР(α/y) от измеряемого параметра α является однопиковой (унимодальной),дифференцируемой и симметричной.Условие регулярности измерения предполагает, что и функции Р(y/α),Λ(y/α) и ln Λ(y/α) удовлетворяет указанному свойству. При этом однопиковость перечисленных функций обеспечивается соответствующим выборомформы сигнала, который во избежание многозначности измерений долженобладать однопиковой автокорреляционной функцией в области возможногоизменения измеряемого параметра. Симметрия этих функций имеет местодля большого отношения сигнал/помеха на выходе устройства обработки,при котором измерения являются достаточно достоверными.Дифференцируемость функций Р(y/α), Λ(y/α) и ln Λ(y/α) является следствием ограниченности полосы пропускания реальных устройств обработкисигналов, в силу чего огибающие последних являются относительно «гладкими» функциями.
Если указанные условия не выполняются, то наблюдаются аномалии измерений, когда последние становятся недостоверными.Выполнение условий регулярности измерений позволяет аналитическирассчитывать оценки параметров радиолокационных сигналов и их точность.В частности, при регулярных изменениях, когда априорное распределениеР(α) является пологим по сравнению с функциями Р(y/α), Λ(y/α) или lnΛ(y/α), оценки находят из уравнения (6.11).Логарифм отношения правдоподобия ln Λ(y/α) для флюктуирующихсигналов является монотонной функцией модуля или квадрата модуля корреляционного интеграла z(α). Следовательно, max ln Λ(y/α) должен совпадать сmax z(α) и оптимальная оценка α̂opt получается путем решения следующихуравнений:∂ z (α)=α αˆ=0 – для сигналов, флюктуирующих по фазе;opt∂α∂ z (α)∂α(6.12)2=α αˆ opt= 0 −для сигналов, флюктуирующихпо фазе и амплитуде(6.13)Таким образом, оптимальный радиолокационный измеритель долженопределить оценку α̂opt , соответствующую экстремуму корреляционногоинтеграла.Различают измерение неизменяющихся и изменяющихся во временипараметров.
Измерение неизменяющихся во времени параметров называютнеследящими. Радиолокационные системы. Учеб.292ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВСледящим называют многоэтапное или непрерывное измерение изменяющегося во времени параметра.При неследящем измерении параметра α измеритель строится в видекорреляционно-фильтрового или фильтрового приемника с параллельновключенными каналами (рис. 6.5).z ( α0 )∫òXDx(t,α0)y(t)z ( α0 + ∆α )∫XDx(t,α0 + δα)z ( α0 + n∆α )∫XDx(t,α0 + nδα)Рис.
6.5. Неследящий измеритель на основе корреляционно-фильтрового приемникаКаждый канал работает по алгоритму вычисления z(α)или z(α)2:z (α) =∞∫ y ( t ) x ( t ,α ) dt ,−∞=z (α)2∞2∞∞( t ) x ( t ,α ) dt ∫ y ( t ) x ( t ,α ) dt ⋅ ∫ y ( t ) x ( t ,α ) dt.∫ y=*−∞−∞−∞Оцениваемые сигналы x(t,α), подаваемые в каждый канал, отличаютсядруг от друга на величину, кратную δα. Под δα, как правило, понимаетсяразрешающая способность по измеряемому параметру α. Число каналов измерителя Nα выбирается из условия обеспечения разрешающей способностипо измеряемому параметру, т.
е.Nα =αmax − αmin,δα Радиолокационные системы. Учеб.293ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВгде αmax, αmin – максимальное и минимальное значения измеряемого параметра.Оценка величины параметра α̂opt осуществляется по номеру канала, навыходе которого напряжение максимально, т. е. α̂opt = arg max z(α).Максимум z(α) можно также определить, решив уравнения (6.12),(6.13).
Для этого следует найти производные:∂ z (α)=∂αα=α opt∞∂=∫−∞ y ( t ) ∂α x ( t ,α ) dt 0,(6.14)учитывая, что z(α)2 = z(α).z*(α)∂ z (α) ∂z * ( α ) ∂z ( α ) *= 2Re ⋅ z ( α=⋅ z ( α ) ,) 2Re ∂α ∂α ∂α2и∞∞∂ z (α)∂x* ( t ,α ) = Re ∫ y ( t ) x ( t ,α ) dt ⋅ ∫ y ( t ) ⋅ =dt 0.∂α∂α−∞ −∞α=αˆ opt2(6.15)Решить уравнения (6.14) и (6.15) можно с помощью устройств, представленных на рис. 6.6. Радиолокационные системы. Учеб.294ГЛАВА 6 ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ6.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВy(t)òX∂ˆ)x ( t,α∂α∫Uco ( ε )ФазовыйдетекторUco(ε)∫Xy(t)Dx ( t , αˆ )X∫X∂x* ( t ,αˆ )∂αРис.
6.6.Схемы дискриминаторов для получения оптимальныхоценок изменяющихся параметровСигнал на выходе этих устройств зависит от рассогласования оценки α̂и истинного значения α, т. е. ε= α − αˆ .При равенстве ε= α − αˆ = 0 сигнал ошибки также равен нулю. Следовательно, равенство нулю напряжения Uco(ε), например, на выходе второйсхемы, свидетельствует о получении оптимальной оценки.Рассматриваемые устройства принято называть дискриминаторами.Они позволяют получать оптимальные оценки изменяющихся параметров.При этом дискриминатор включается в контур автоматического управления(рис. 6.7).y(t,α)U co ( ε )ДискриминаторСглажив.цельИсполнит.устройствоαРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
