Методичка по решению задач (1019798), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Подставив значение τ и l в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем E=2,18 кВ/м.Определим потенциал электрического поля в точке «0». Дляэтого сначала найдем потенциал dϕ, создаваемый точечным зарядом dQ в точке «0»:τdldϕ=4πε0 rЗаменим r на R и, учитывая, что l=2πR/3, произведем интегрирование:τ lτϕ= 4πε R ∫ dl = 6ε =188 В.000Ответ: ϕ=188 В.Задача 4. Электрическое поле создано длинным цилиндромрадиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотно-30стью τ=20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точекэтого поля, находящихся на расстояниях a1=0,5 см и a2=2 см отповерхности цилиндра в средней его части.Решение:Взаимное расположение точек поля и заряженного цилиндра показано на рисунке. Для определения разности потенциаловвоспользуемся известным соотношением между напряженностьюполя и изменением потенциала: E = −grad ϕ .RДля поля с осевойсимметрией, каким являет1ся поле цилиндра, это соa1τотношение можно записать2в виде:a2dϕили dϕ = E=drEdr .Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на r1 и r2 от оси цилиндра:r2ϕ2 - ϕ1= - ∫ Edr .(1)r1Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его среднейчасти, то для выражения напряженности поля, создаваемого заряженным цилиндром, можно воспользоваться формулой:τ.E=2πε0 rПодставив выражение для E в равенство (1) и интегрируя,получим:ϕ2 - ϕ1= или: ϕ1 - ϕ2=τrln 22πε0 r1τ2πε0drτr=−ln 2r2πε0 r1r1r2∫.Представив r1 и r2 как: r1=R+a1 и r2=R+a2, получим ϕ1ϕ2 =250 В.Ответ: ϕ1-ϕ2=250 В.31Задача 5.
Электрическое поле создано тонким стержнем,несущим равномерно распределенный по длине заряд τ=0,1мкКл/м. Определить потенциал ϕ поля в точке, удаленной отконцов стержня на расстояние, равное длине стержня.Решение:Геометрия задачи показана на рисунке. Заряд, находящийсяна стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственноприменить для вычисления потенциала формулу:Qϕ=,(1)4πε0 rсправедливую только для точечных зарядов,Aнельзя. Но, если разбитьстержень на элементарdατные отрезки dl, то зарядrdQ = τdl , находящийся наαα1каждом из них, можноdl0xрассматривать как точечный и тогда формула (1)будет справедлива.
Применив эту формулу, получим:τdl,(2)dϕ=4πε0 rгде r - расстояние от точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня. Из рисунка следует, что dlcosα=rdα.Подставив dl из этого выражения в формулу (2), находим:dϕ=τdα.4πε0 cosαИнтегрируя последнее выражение в пределах от α1 до α2,получим формулу для потенциала, создаваемого всем зарядом,распределенным на стержне:α2τdαα 1 4πε0 cosαϕ= ∫.В силу симметрии расположения точки A относительноконцов стержня, имеем α1=α2=π/6 и, поэтому, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/6, а результат удвоим:322τϕ=4πε0α1dα∫ cosα .0Проинтегрировав и подставив пределы интегрирования, получим ответ:ϕ=2τππ2τπ(ln tg − ln tg ) =ln tg4πε 0344πε 03= 990 В.Ответ: ϕ=990 В.Задачи для самостоятельного решения.Задача 6.
При перемещении заряда Q=20 нКл междудвумя точками поля, внешними силами была совершена работаA=4 мкДж. Определить работу A сил поля и разность потенциалов Δϕ этих точек поля.(Ответ: A= -4 мкДж, Δϕ=200 В.)Задача 7. Определить потенциал ϕ электрическогополя в точке, удаленной от зарядов Q1= -0,2 мкКл и Q2=0,5 мкКл,соответственно, на r1=15 см и r2=25 см. (Ответ: ϕ=6 кВ.)Задача 8. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=10 нКл/м.Определить потенциал ϕ в точке, лежащей на оси кольца нарасстоянии a=5 см от центра. (Ответ: ϕ=505 В.)Задача 9. На отрезке тонкого прямого проводникаравномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=10нКл/м.
Вычислить потенциал ϕ, создаваемый этим зарядом вточке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка. (Ответ: ϕ=62,4 В.)Задача 10. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной a.
Стержни заряжены с линейной плотностьюτ=1,33 нКл/м. Найти потенциал ϕ в центре квадрата. (Ответ:ϕ=84,7 В.)Задача 11. Две бесконечные параллельные плоскостинаходятся на расстоянии d=0.5 см друг от друга. На плоскостях33равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ1=0,2 мкКл/м2 и σ2=-0,3 мкКл/м2. Определить разность потенциалов Δϕ между плоскостями. (Ответ: Δϕ=141 В.)Задача 12. Сто одинаковых капель ртути, заряженныхдо потенциала ϕ1=20 В каждая, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал ϕ образовавшейся капли? (Ответ: ϕ =432В.)Задача 13.
Напряженность E однородного электрического поля равна 120 В/м. Определить разность потенциалов Δϕмежду двумя точками, лежащими на одной силовой линии и находящимися на расстоянии Δr=1 мм. (Ответ: Δϕ=0,12 В.)Задача 14. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R=10 см. Он заряжен с линейной плотностью τ=300нКл/м.
Какую работу A надо совершить, чтобы перенести зарядQ=5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольцана расстоянии a=20 см от его центра? (Ответ: A=47 мкДж.)Задача 15. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал ϕ поля в точке, удаленной отзаряда на r=12 см, равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциала в этой точке. (Ответ: ⏐gradϕ⏐=200 В/м,градиент направлен к заряду.)Тема 3.
Электроемкость. КонденсаторыПримеры решения задач.Задача 1. Найти электроемкость С уединенного металлического шара радиусом R=1 см.Решение:Электрическая емкость уединенного проводника по определениюравна:C=qϕ,где q - заряд, сообщенный проводнику, ϕ - потенциал проводника. Потенциал металлического шара ϕ равен потенциалу на егоповерхности:34ϕ=q4πε0 R,поэтому электроемкость металлического шара определяется выражением:C = 4πε0 R .Принимая во внимание, что электродинамическая постоянная ε0равна 8,85⋅10-12 Ф/м, и подставляя численное значение для радиуса шара R=0,01м, получаем С=1,11⋅10-12 Ф =1,11 пФ.Ответ: C=1,11 пФ.Задача 2. Два металлических шара радиусами R1=2 см иR2=6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь.
Шарам сообщен заряд Q=1 нКл. Найти поверхностныеплотности σ1 и σ2 зарядов на шарах.Решение:Обозначим заряд первого шара через q1. Так как суммарный заряд на обоих шарах равен Q, то заряд второго шара будет q2=Qq1. Так как емкостью соединительного проводника можно пренебречь, то шары можно рассматривать как уединенные, и определять емкости каждого шара по формулам C1=4πε0R1 иC2=4πε0R2, соответственно. Пользуясь формулой емкости уединенного проводника:C=qϕ,найдем потенциалы шаров:ϕ1 =q14πε0 R1иϕ2 =Q − q1.4πε0 R2Так как шары соединены проводником и представляют собойединый металлический предмет, то их потенциалы равны междусобой ϕ1=ϕ2 или:q14πε0 R1=Q − q1.4πε0 R2Решая полученное уравнение относительно q1, находим зарядпервого шара:35q1 =R1Q ,R1 + R2а затем и заряд второго шара:q2 = Q − q1 =R2Q.R1 + R2Так как площадь поверхности шара S связана с его радиусом Rсоотношением S=4πR2, то поверхностные плотности зарядов шаров будут равны:σ1 =q1Q=24πR1 4πR1( R1 + R2 )σ2 =q2Q=.4πR22 4πR2 ( R1 + R2 )иПодставляя численные значения Q=1 нКл=10-9 Кл, R1=0,02 м иR2=0,06 м, получаем σ1=49,8 нКл/м2 и σ2 =16,6 нКл/м2.Ответ:σ1=49,8 нКл/м2 , σ2= 6,6 нКл/м2.Задача 3.
Определить электроемкость С плоского слюдяного конденсатора, площадь S пластин которого равна 100 см2, арасстояние между ними равно 0,1 мм. Диэлектрическая проницаемость слюды ε =7,0.Решение:Электрическая емкость плоского конденсатора определяетсяпо формуле:C=εε0 Sd,где d - расстояние между пластинами, S - площадь пластин,ε - диэлектрическая проницаемость среды, ε0=8,85⋅10-12 Ф/м электрическая постоянная.
Используя численные значения задачиS=10-2 м2 и d=10-4 м, получаем С=6,2⋅10-9 Ф.Ответ: С=6,2 нФ.Задача 4. Две концентрические металлические сферы радиусами R1=2 см и R2=2,1 см образуют сферический конденсатор.Определить его электроемкость С, если пространство между сфе-36рами заполнено парафином. Диэлектрическая проницаемость парафина ε =2,0.Решение:Электрическая емкость сферического конденсатора определяется по формулеC = 4πε0εR1R2.R2 − R1Используя численные значения задачи R1=0,020R2=0,021см и ε0=8,85⋅10-12 Ф/м, получаем С=93,3⋅10-12 Ф.Ответ: С=93,3 пФсм,Задача 5. Конденсаторы соединены так, как это показано нарисунке.С1С3С2С4Электроемкости конденсаторов: C1=0,2 мкФ, C2=0,1 мкФ,C3=0,3 мкФ, C4=0,4 мкФ. Определить электроемкость C батареиконденсаторов.Решение:Конденсаторы C1 и C2 соединены параллельно, поэтому ихэквивалентная емкость C ′ равна C1+C2.
Аналогично, эквивалентная емкость конденсаторов C3 и C4 равна C ′′ =C3+C4. Конденсаторы C ′ и C ′′ соединены последовательно и, следовательно, общаяемкость батареи конденсаторов может быть определена из условия:1 11=+.C C ′ C ′′Выражая из последнего соотношения C и подставляя в результат C ′ и C ′′ , находим окончательное выражение для емкостибатареи:37C=( C + C2 )( C3 + C4 )C ′C ′′= 1.C ′ + C ′′C1 + C2 + C3 + C4Подставляя численные значения, получаем C =0,21мкФ .Ответ: C =0,21мкФ.Задачи для самостоятельного решения.Задача 6. Определить электроемкость С металлическойсферы радиусом R=2 см, погруженной в воду. Диэлектрическаяпроницаемость воды ε =81. (Ответ: С=180 пФ.)Задача 7. Шар радиусом R1=6 см заряжен до потенциалаϕ1=300 В, а шар радиусом R2=4 см - до потенциала ϕ2=500 В.
Определить потенциал ϕ шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводникапренебречь. (Ответ: ϕ=380 В.)Задача 8. Между пластинами плоского конденсатора находитсяплотно прилегающая стеклянная пластинка ( ε = 7.0 ). Конденсаторзаряжен до разности потенциалов U1 = 100 В. Какова будет разность потенциалов U2 , если вытащить стеклянную пластинку изконденсатора?. (Ответ:U2=700В)Задача 9. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 1.33 мм, площадь S пластин равна 20 см2. В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоядиэлектриков: слюды толщиной d1=0.7 мм и эбонита толщинойd2=0,3 мм. Определить электроемкость С конденсатора. Диэлектрические проницаемости слюды ε1 =7.0, эбонита ε2 =3.0, воздухаε3 =1.0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
