Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В ходе развития математической логики сформировались три направления обоснования математики, создатели которых по-разному пытались преодолеть возникшие в математике трудности. В каждом из них были получены фундаментальные результаты, оказавшие влияние на развитие не только математической логики, но и всей математики. Основоположником одного из направлений — логицизма— явился немецкий математик и логик Г. Фреге (1848 — ! 925).
Он стремился всю математику обосновать через логику, применил аппарат математической логики для обоснования арифметики, построив первую формальную логическую систему, включавшую значительную часть арифметики. Кроме того, им и независимо от него Ч.Пирсом были введены в язык логики предикаты, предметные переменные и кванторы, что дало возможность применить этот язык к вопросам обоснования математики.
Задачу аксиоматического построения арифметики, геометрии и математического анализа ставил перед собой итальянский математик Дж. Пеано (1858 — 1932). Сведение чистой математики к логике продолжили в своем трехтомном труде Основания математики» (1910— 1913) английские математики Б.рассел (1872 — 1970) и А.Уайтхед (186! — 1947). Данное направление не увенчалось полным успехом (в частности, оказалось невозможным вывести из чисто логических аксиом существование бесконечного множества), однако был создан богатый логический аппарат, без которого математическая логика не смогла бы оформиться как полноценная математическая дисциплина.
Немецкий математик Д. Гильберт (1862 — 1943) предложил свой путь преодоления трудностей в основаниях математики, базирующийся на применении аксиоматического метода, с помощью которого все математические утверждения записываются в виде логических формул, некоторые из которых выделяются в качестве аксиом, а остальные логически из них выводятся. Это направление получило название формализм. Открытие в 1930 — 1931 гг.
австрийским математиком К. Геделем (1906 — 1978) неполноты формализованной арифметики показало ограниченность гильбертов- ской программы обоснования математики. Тем не менее работы Гильберта и его последователей привели к глубокой разработке аксиоматического метода и окончательному осознанию его фундаментальной роли в математике. 10 Представители направления, возникшего в начале ХХ в. благода- Р я трудам голландского математика Л.
Брауэра (1881 — 1966) и получившего название интуиционизм, предложили отказаться от рассмотРения бесконечных множеств как завершенных совокупностей, а также от закона исключенного третьего. Ими признавались только такие математические доказательства, которые конструктивно строили тот или иной объект, и оспаривались чистые доказательства существования. Они построили специфическую математику, имеющую интересные особенности, еще раз подчеркнули различие между конструктивным и неконструктивным в математике. ХХ в. — время бурного развития математической логики, формирования многих ее новых разделов: построены различные аксиоматические теории множеств; на базе математической логики сформирована теория алгоритмов, с помощью которой были выработаны несколько формализаций понятия алгоритма. Теория алгоритмов получила такое развитие, что ее методы стали проникать в другие разделы математической логики и в смежные математические дисциплины.
В другие разделы математики стала проникать и сама математическая логика. Примером может быть теория моделей, возникшая на стыке современной алгебры и логики. Следует отметить и нестандартный подход к математическому анализу. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. Немалый вклад в развитие математической логики внесли и советские математики Н.А. Васильев, И. И.Жегалкин, А. Н. Колмогоров, П.С. Новиков, А.А.
Марков, А. И. Мальцев, С.А. Яновская. Кроме того, ХХ в. — зто период начала глубокого проникновения идей и методов математической логики в технику, прежде всего в процесс конструирования и создания ЭВМ, в программирование, кибернетику, вычислительную математику, структурную лингвистику. Математическая логика — логика или математика? Вопрос о соотношении логики и математики в математической логике издавна интересовал философов, близких к математике, и математиков, близких к философии. Является ли математическая логика в традиционном (философском) понимании логикой, т.е. изучает ли она формы мышления и методы, с помощью которых люди обычно делают выводы, или же она является чисто математической дисциплиной со своим абстрактным аппаратом, не имеющим ничего общего с реальным процессом мышления? Подобные вопРосы возникли потому, что посредством математической логики математика впервые проникла в гуманитарную область знаний, в ее святая святых — сферу человеческого мышления, ранее подвластную лишь философии.
Это проникновение было столь стремительным и успешным, что многие философы и мыслители сразу не осознали его преимушеств. Доказанная в 1931 г. австрийским математиком и логиком К. Геделем (1906 — 1978) теорема о неполноте формальной арифмети- 11 ки с большой силой показала, что математическая логика — это прежде всего логика и что к человеческому мышлению эта наука имеет самое непосредственное отношение. Пришло понимание того, что совершенно безнадежно рассчитывать на возможность создания полной и непротиворечивой системы аксиом для арифметики или какой-либо теории, содержащей арифметику.
(Полнота системы аксиом означает, что, исходя из нее, можно вывести все истинные предложения данной науки.) Из этого следует, что аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел не в состоянии охватить всю область истинных арифметических утверждений. Отсюда также вытекает, что то, что обычно интуитивно понимается под процессом математического доказательства, не сводится к использованию аксиоматического метода и законов традиционной и математической логики. Этот самоограничительный закон логики удалось установить только с помощью математической логики, что является убедительнейшим доказательством непосредственного отношения математической логики к мышлению и законам, по которым оно работает.
Известный российский логик П.С. Порецкий точно подметил, что математическая логика по предмету своему есть логика, а по методу — математика. Математическая логика в обучении математике. Логика и математика в процессе обучения математике взаимодействуют неизбежно. Важно, чтобы это дидактическое взаимодействие не было стихийным, а сознательно организовывалось и направлялось педагогом.
В нем можно вьщелить два аспекта. Во-первых, при обучении математике логика выступает как инструмент педагогики математики, т.е. как инструмент изучения математики. Для педагогики математики логика — это особый инструмент, причем это не метод, не средство и не форма обучения, а именно инструмент. Во-вторых, логика (как своеобразная часть математики) предстает как предмет педагогики математики, т.е. как объект, изучаемый в рамках математики и с помощью математики. Но и в этом своем качестве логика выступает как педагогика математики, ибо изучение логики с помощью математического материала в конечном итоге способствует более осознанному и глубокому изучению самой математики.
Чтобы сделать логику действенным инструментом процесса обучения математике, необходимо соблюдать ряд принципов— тех общих положений, связанных с логикой, которые имеют фундаментальное значение для методики обучения математике. Эти принципы отражают основные направления проникновения логики в методику, и их нарушение или несоблюдение их в процессе обучения математике приведет в итоге к искаженному видению обучаемым как общей картины математики, так и отдельных ее деталей. 12 1. Принцип обучения строению (струюпуре) математических утверждений.
Здесь в первую очередь необходимо научиться видеть логическую структуру математического утверждения, будь то определение или теорема, отчетливо видеть, где и какие логические связки участвуют в формулировке. При этом, если это определение понятия, то важно установить, какого оно типа — через ближайший род и видовое отличие, индуктивное, рекуррентное, генетическое или аксиоматическое. Если это теорема, то необходимо четко уяснить, что в ней дано и что требуется доказать, каковы структура условий и структура заключения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
